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SecondeFonction inverse. Fonctions homographiquesAnnée scolaire
2012/2013
I)La fonction inverse :
1) Définition :
La fonction f qui à x associe 1x est définie sur ℝ* = ]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[. f est appelée la fonction inverse.2) Variations :
Propriété :
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[ puiségalement sur ]0 ; +∞[.
Tableau de variations :
x- ∞ 0+ ∞Variations de
la fonction f Démonstration sur ]- ∞ ; 0[ :Soient x et y dans ]-∞ ; 0[ tels que x < y
alors : 1 x > 1y Donc f est bien décroissante sur ]- ∞ ; 0[On raisonne de même sur ]0 ; +∞[.
REMARQUE : (Attention !)
Il ne faut pas dire " f est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[∪]0 ; +∞[»En effet : si on prend x = - 2 et y = 1
On a : x < y et comme
1x = 1-2 et 1y = 1 d'où : 1x < 1y Le travail sur les variations se décompose en deux parties : sur]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
3) Représentation graphique :
La fonction inverse se représente graphiquement sous la forme d'une hyperbole. Cette courbe est constituée de deux " parties » : on dit deux arcs d'hyperbole.Tableau de valeurs :
x-6-5-4-3-2-1123456 1 Cette hyperbole présente un centre de symétrie : le point O, origine du repère.4) Application à la comparaison d'inverses :
Il est possible de démontrer certaines inégalités en utilisant la décroissance de la fonction inverse.Exemple :
De manière évidente, 3 -
1 A < 1 BII) Fonctions homographiques :
1) Définition :
Soient a,b,c et d , quatre nombres réels tels que c≠ 0. On considère la fonction f définie par f(x) = ax+b cx+d pour x ≠ - d cOn dit que f est une fonction homographique.
Exemple :
Soit f définie par f(x) = 4
x-1 7 x+2. f est une fonction homographique.Remarque :
On prend c≠ 0, sinon f(x) = ax+b
d = a dx + b d et alors f est une fonction affine.2) Ensemble de définition :
Une fonction homographique est définie sur ℝ sauf en la valeur de x qui annule le dénominateur. De manière pratique, pour déterminer le domaine de définition d'une fonction homographique, il suffit de regarder pour quelle valeur de x son dénominateur s'annule.Exemple :
Soit f définie par f(x) = 4
x-1 7 x+2 f est définie si et seulement si 7x + 2 ≠ 0Or, 7x + 2 = 0 ⇔ 7x = - 2 ⇔ x =
-2 7Donc : Df = ℝ \ {
-2 7}3) Représentation graphique :
Cliquer sur le lien suivant pour observer la représentation graphique d'une fonction homographique : ues.html Toute fonction homographique se représente graphiquement sous la forme d'une hyperbole.Exemples: a) On considère f définie par f(x) = 2 + 3 x-1 sur [-5;5] \ {1}On montre que f est homographique :
f(x) = 2( x-1) x-1 + 3 x-1 = 2 x-2+3 x-1 = 2x+1 x-1 (a = 2, b = 1, c = 1 et d = - 1) f est strictement décroissante sur [-5;1[ et également sur ]1;5] b) On considère g définie par g(x) = 2 - 3x-1 sur [-5;5] \ {1}On montre que g est homographique :
g(x) = 2( x-1) x-1 - 3 x-1 = 2 x-2-3 x-1 = 2 x-5 x-1 (a = 2, b = -5 , c = 1 et d = - 1) g est strictement croissante sur [-5;1[ et également sur ]1;5]Remarque :
- Pour la fonction f, ad - bc = 2x(-1)-1x1 = - 3 < 0 et f strictement décroissante - Pour la fonction g, ad - bc = 2x(-1) - (-5)x1 = -2 + 5 = 3 > 0 et g strictement croissante.4) Utilisation de la calculatrice : lectures graphiques et représentations
III)Equations-quotients :
1) Rappel :
A B = 0Soit B≠0,
AB = 0 ⇔ A = 0
2) Exemples de résolution :
Remarque importante : Avant de se lancer dans la technique de résolution d'une équation-quotient, on commence toujours par déterminer les éventuelles valeurs interdites. (ces valeurs sont celles qui annulent le dénominateur de l'écriture fractionnaire concernée) a) Résoudre l'équation suivante : 3 x+2 x-4 = 0 Il y a une seule valeur interdite : la solution de x - 4 = 0D'où la valeur interdite est 4
3 x+2 x-4 = 0 ⇔ 3x + 2 = 0 ⇔ x = - 23 Donc S = {- 2
3 }Remarque :
Si on pose f(x) = 3x+2
x-4 , alors f est une fonction homographique. L'équation précédente est équivalente à f(x) = 0 C'est-à-dire : la solution est l'antécédent de 0 . Autrement dit, l'abscisse du point de la courbe de f d'ordonnée nulle. b) Résoudre l'équation suivante : 5 x-1 2 x+7 = 1Valeur interdite :
2x + 7 =0 ⇔ x = -
7 2 On se ramène au cas d'équation étudié dans le a) : 5 x-1 2 x+7 = 1 ⇔ 5x-12x+7 - 1 = 0 ⇔ 5
x-1 2 x+7 - 2 x+7 2 x+7 = 0 ⇔ 5 x-1-2x-7 2 x+7 = 0 3x-82x+7 = 0
⇔ 3x - 8 = 0 ⇔ x = 83 Donc : S = {8
3}Remarques : - Pour la résolution de cette équation, on aurait pu utiliser le produit en
croix.En effet :
5x-12x+7 = 1 ⇔ (5x - 1)x1 = (2x + 7)x1
⇔ 5x - 1 = 2x + 7 ⇔ 3x = 8 ⇔ x = 83 - Graphiquement, on peut interpréter la résolution de cette équation
comme la recherche de l'abscisse du point d'intersection de la courbe de f si f est définie par f(x) = 5x-12x+7 avec la droite horizontale à l'ordonnée 1.
c) Résoudre l'équation suivante : 2 x+5 3 x-9 = 4x+7 6x-1Valeurs interdites :
3x - 9 = 0 et 6x - 1 = 0
x = 3 et x = 1 6 2x+53x-9 = 4
x+7 6 x-1 ⇔ (2x + 5)(6x - 1) = (3x - 9)(4x + 7) (produit en croix) ⇔ 12x2 - 2x + 30x - 5 = 12x2 + 21x - 36x - 63 ⇔ 28x - 5 = - 15x - 63 ⇔ 43x = - 58 ⇔ x = - 5843Donc : S = {-
5843}
Graphiquement, on a déterminé l'abscisse du point d'intersection de deux hyperboles : celle représentant une fonction homographique f définie par f(x) = 2 x+5 3 x-9 et celle représentant une autre fonction homographique g définie par g(x) = 4 x+7 6 x-1