Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de Gauss L' algorithme
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Introduction
Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesCours 1: Autour des systèmes linéaires,Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux
matricesClément Rau
Laboratoire de Mathématiques de Toulouse
Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan
Module complémentaire de maths approfondies
Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreBut1Introduction
Définition d"un système linéaire
Exemples concrets en relation avec votre filière But2Cas des systèmes 22.Méthode graphique
Méthode par substitution
Méthode par addition
3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires
But de l"algorithme
Opérations autorisées
Un exemple avant la "théorie"
Mécanismes du Pivot
4Introduction aux matrices
Opérations sur les matrices
Inverse d"une matrice
Un critère d"inversibilité d"une matrice : le déterminant Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de GaussL"algorithme général
Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreBut1Introduction
Définition d"un système linéaire
Exemples concrets en relation avec votre filière But2Cas des systèmes 22.Méthode graphique
Méthode par substitution
Méthode par addition
3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les
sytémes linéairesBut de l"algorithmeOpérations autorisées
Un exemple avant la "théorie"
Mécanismes du Pivot
4Introduction aux matrices
Opérations sur les matrices
Inverse d"une matrice
Un critère d"inversibilité d"une matrice : le déterminant Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de GaussL"algorithme général
Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreBut1Introduction
Définition d"un système linéaire
Exemples concrets en relation avec votre filière But2Cas des systèmes 22.Méthode graphique
Méthode par substitution
Méthode par addition
3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les
sytémes linéairesBut de l"algorithmeOpérations autorisées
Un exemple avant la "théorie"
Mécanismes du Pivot
4Introduction aux matrices
Opérations sur les matrices
Inverse d"une matrice
Un critère d"inversibilité d"une matrice : le déterminant Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de GaussL"algorithme général
Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButDéfinition d"un système linéaire
On veut résoudre le système suivant :
8>>< >:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=y1
a2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxn=y2
a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxn=ynLesyiet lesai;jsont donnés, on cherche lesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButDéfinition d"un système linéaire
On veut résoudre le système suivant :
8>>< >:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=y1
a2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxn=y2
an;1x1+an;2x2+:::+an;nxn=ynLesyiet lesai;jsont donnés, on cherche lesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButCas particulier
Ex : Système 33
8< :a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
Cas des systèmes22.
Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButCas particulier
Ex : Système 338
:a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButVariante
On veut résoudre le système suivant :
8>>< >:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxny1
a2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxny2
a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxnyn Lesyietai;jsont données, on cherche les régions où se situentlesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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On veut résoudre le système suivant :
8>>< >:a1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxny1
a2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxny2
a n;1x1+an;2x2+:::+an;nxnynLesyietai;jsont données, on cherche les régions où se situentlesxi.Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreBut1Introduction
Définition d"un système linéaire
Exemples concrets en relation avec votre filière But2Cas des systèmes 22.Méthode graphique
Méthode par substitution
Méthode par addition
3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les
sytémes linéairesBut de l"algorithmeOpérations autorisées
Un exemple avant la "théorie"
Mécanismes du Pivot
4Introduction aux matrices
Opérations sur les matrices
Inverse d"une matrice
Un critère d"inversibilité d"une matrice : le déterminant Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de GaussL"algorithme général
Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 1
Une usine fabrique trois produits P1, P2 et P3. Ces produits passent dans trois ateliers différents A,B et C, avec les temps de passages suivants :P1 passe 2h dans l"atelier A, 1h dans l"atelier B et 1h dans latelier CP2 passe 5h dans l"atelier A, 3h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CP3 passe 3h dans l"atelier A, 2h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CQuestion :
Lors dun prog rammede f abrication,la charge
horaire des différents ateliers a été de 104h pour A, 64h pour B et 55h pour C. Quelles sont les quantités de P1, P2 et P3 fabriquées?Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 1
Une usine fabrique trois produits P1, P2 et P3. Ces produits passent dans trois ateliers différents A,B et C, avec les temps de passages suivants :P1 passe 2h dans l"atelier A, 1h dans l"atelier B et 1h dans latelier CP2 passe 5h dans l"atelier A, 3h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CP3 passe 3h dans l"atelier A, 2h dans l"atelier B et 2h dans l"atelier CQuestion :Lors dun prog rammede f abrication,la charge horaire des différents ateliers a été de 104h pour A, 64h pour B et 55h pour C. Quelles sont les quantités de P1, P2 et P3 fabriquées?Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 1
Pouri=1::3, soitnila quantité de produitsPifabriqués.L"énoncé se traduit par le système :
8< :2n1+5n2+3n3=104 n1+3n2+2n3=64
n1+2n2+2n3=55Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Pouri=1::3, soitnila quantité de produitsPifabriqués.L"énoncé se traduit par le système :
8< :2n1+5n2+3n3=104 n1+3n2+2n3=64
n1+2n2+2n3=55Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 2
La fabrication d"un produit artistique P exige l"assemblage de pièces de type 1 et de type 2. Une pièce de type 1 coûte 6 euros et necessite 3h de travail alors qu"une pièce de type B coûte 3 euros et nécessite 4h de travail.Contraintes économiques
: on souhaite que le pr ixdu produit P ne dépasse pas 180 euros. Par ailleurs, le temps de fabrication de P ne doit pas excéder 160h.Question :
Quels sont les valeurs possibles pour le nombre de pièces de type 1 et 2 pour la fabrication de PClément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 2
La fabrication d"un produit artistique P exige l"assemblage de pièces de type 1 et de type 2. Une pièce de type 1 coûte 6 euros et necessite 3h de travail alors qu"une pièce de type B coûte 3 euros et nécessite 4h de travail.Contraintes économiques
: on souhaite que le pr ixdu produit P ne dépasse pas 180 euros. Par ailleurs, le temps de fabrication de P ne doit pas excéder 160h.Question : Quels sont les valeurs possibles pour le nombre de pièces de type 1 et 2 pour la fabrication de PClément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreButExemple 2
La fabrication d"un produit artistique P exige l"assemblage de pièces de type 1 et de type 2. Une pièce de type 1 coûte 6 euros et necessite 3h de travail alors qu"une pièce de type B coûte 3 euros et nécessite 4h de travail.Contraintes économiques
: on souhaite que le pr ixdu produit P ne dépasse pas 180 euros. Par ailleurs, le temps de fabrication de P ne doit pas excéder 160h.Question : Quels sont les valeurs possibles pour le nombre de pièces de type 1 et 2 pour la fabrication de PClément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filière ButSoitx1etx2le nombre respectifs de pièces de type 1 et 2 pour fabriquer un produit P.On doit a voir:
8 >:x 10 x 206x1+3x2180
3x1+4x2160Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filière ButSoitx1etx2le nombre respectifs de pièces de type 1 et 2 pour fabriquer un produit P.On doit avoir : 8 >:x 10 x 206x1+3x2180
3x1+4x2160Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
Introduction
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filière ButSoitx1etx2le nombre respectifs de pièces de type 1 et 2 pour fabriquer un produit P.On doit avoir : 8 >:x 10 x 206x1+3x2180
3x1+4x2160Clément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéaires Introduction aux matricesDéfinition d"un système linéaire Exemples concrets en relation avec votre filièreBut1Introduction
Définition d"un système linéaire
Exemples concrets en relation avec votre filière But2Cas des systèmes 22.Méthode graphique
Méthode par substitution
Méthode par addition
3Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les
sytémes linéairesBut de l"algorithmeOpérations autorisées
Un exemple avant la "théorie"
Mécanismes du Pivot
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Trouver une méthode "automatique" pour résoudre les systèmes linéaires -> Fabriquer un algorithmeClément RauCours 1: Autour des systèmes linéaires, Algorithme du pivot de Gauss, Introduction aux matrices
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Methode plus "automatique" : le pivot de Gauss sur les sytémes linéairesIntroduction aux matricesMéthode graphique
Méthode par substitution
Méthode par addition1Introduction
Définition d"un système linéaire
Exemples concrets en relation avec votre filière But2Cas des systèmes 22.Méthode graphique
Méthode par substitution
Méthode par addition
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sytémes linéairesBut de l"algorithmeOpérations autorisées
Un exemple avant la "théorie"
Mécanismes du Pivot
4Introduction aux matrices
Opérations sur les matrices
Inverse d"une matrice
Un critère d"inversibilité d"une matrice : le déterminant Une méthode pour inverser une matrice : Pivot de GaussL"algorithme général
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