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UniversiteReneDescartes

UFRdemathematiquesetinformatique

chapitre1

Resolutiondessystemeslineaires

MethodedeGauss

Methodesnumeriques2003/2004-D.Pastre

licencedemathematiquesetlicenceMASS 1

Resolutiondessystemeslineaires

Notations

a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+:::+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+:::+annxn=bnnequations ninconnues A=2 6 6 6 4a

11a12:::a1na21a22:::a2n:::

a n1an2:::ann3 7 7 7 5B=2 6 6 6 4b

1b2:::

b n3 7 7 7 5AX=B

Etudedessolutions:

Sidet(A)6=0(Areguliere)solutionunique

Exemple:

x+y=3 x+2y=5

Sidet(A)=0(Asinguliere)systemedegenere

(impossibleouindetermine)

Exemples:

2x+3y=4

4x+6y=5

2x+3y=4

4x+6y=8

2

Theorie

Expressiondessolutionsparlareglede

Cramer:

x k=detk(A) det(A)avec detk(A)= a

11:::a1;k1b1a1;k+1:::a1n

a

21:::a2;k1b2a2;k+1:::a2n

a n1:::an;k1bnan;k+1:::ann

Calcultheoriqued'undeterminant

det(A)=nX i=1(1)i+jaijmij oumijestledeterminantdelasous-matrice obtenueensupprimantdeAlaiemeligneetla j emecolonne

Exercice:evaluerlenombreNnd'operations

necessairespourcalculerundeterminanten utilisantcetteformule.

Aide:onchercherad'abordunerelationde

recurrenceentreNnetNn1. 3

MethodedeGauss

superieure

Exemple:

2x+y4z=8

3x+3y5z=14

4x+5y2z=16A=2

6 4214
335
4523
7 5B=2 6 48
14 163
7 5

Notation:A=

2148
335
14 452
16

1erpivot:2

2emeligne-1ereligne3/2

3 emeligne-1ereligne2 2148
03=21 2 036
0

2emepivot:3/2

3emeligne-2emeligne2

2148
03=21 2 004 4 4

3emepivot:4

D'ou: 4z=4

32y1=22x+2+4=8

z=1 y=2 x=1

Remarque:Touteslesmatricesintermediaires

ontlem^emedeterminantquiestdoncegala 23
24=12
5

Autrefacondeconduirelescalculs

(ligne1)/pivot2 (ligne2)-(nouvelleligne1)3 (ligne3)-(nouvelleligne1)4

11=224

03=21 2 036
0 (ligne2)/pivot3/2 (ligne3)-(nouvelleligne2)3 11224
012

3430044

(ligne3)/pivot4

11=224

012=3 4=3 001 1 D'ou: z=1 y=4=32=3z x=41=2y(2)z z=1 y=2 x=1

Remarque:LedeterminantdeAestegalau

produitdespivots,soit23 24=12
6

2emeexemple

A=2 6 4214
427
2113
7 5 la1ereetapedonne:2 6

411=22

001 0033
7 5

Lesystemeestimpossibleouindetermine

exemples B=2 6 48
15 93
7 5!2 6 44
1 13 7 5 B=2 6 48
15 53
7 5!2 6 44
1 33
7 5 z=13=1 8 :z=1 yquelconque x=2y=2 7

3emeexemple

A=2 6 4214
427
2213
7 5 la1ereetapedonne:2 6

411=22

001 0133
7 5 8

Resolution

2phases:

-substitutions!resolution

OnsupposequeAestderangn

1Onsupposea11nonnul(sinononfaitun

echangedelignes).

Onresoutlapremiereequationparrapporta

x

1etonremplacedanslesautresequations.

Onobtientlesystemeequivalent

a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a(2)

22x2+:::+a(2)

2nxn=b(2)

2 a(2) n1x1+a(2) n2x2+:::+a(2) nnxn=b(2) n avec a(2) ij=aijai1a1j=a11 b(2) i=biai1b1=a11pour2i;jn et a(2) i1=0pouri2 9

Iterations

Onrecommenceaveclepivota(2)

22supposenon

nulsinononfaitunechangedelignes,etc...

EnposantA:;n+1=BetA(1)=A,al'etape

k,aveclepivota(k) k;k6=0,onaA(k+1)=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)

11a(1)

12:::a(1)

1k a(1) 1;n+1 0a(2)

22:::a(2)

2k a(2) 2;n+1 0a(k) k;k a(k) k;n+1

00a(k+1)

k+1;k+1::: a(k+1) k+1;n+1

00a(k+1)

n;k+1::: a(k+1) n;n+13 7 7 7 7 7quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47