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M0SE 1003La méthode de variation de la constante sur un exempleLa résolution d"un équation différentielle(E)se fait en4étapes:1Écriture de(E)sous la forme(E)y?(x) =a(x)y(x) +b(x).2Résolution de l"équation homogène(Eh)y?(x) =a(x)y(x)associée : on trouve une infinité desolutions

y

h=CeA(x),C?RoùA(x)est une primitive dea(x)..3Recherche d"une solution particulière de(E),yp.4Conclusion: l"ensemble des solutions de(E)est l"ensemble des fonctions{y=yp+yh}.Pour déterminer une solution particulière, on peut utiliser la méthode de variation de la constante, ce

qui se fait en5étapes:a) On choisit une solution de(Eh)qui ne s"annule pas (en pratique, le plus simple est de choisir laconstanteC= 1), par exempley0=eA(x).b) On écrit que l"on cherche une solution particulière sous la formeyp(x) =c(x)y0(x), oùc(x)estune fonction que l"on cherche à déterminer.

c) On écrit la dérivée dec(x): elle vautc?(x) =b(x)y

0(x).d) On trouvec(x) =?c?(x)en déterminant une primitive de la quantité ci-dessus.e) Conclusion:yp(x) =c(x)y0(x).Dans cette fiche, on détaille ce processus sur l"équation différentielle

(E) (x+ 1)y?(x) +xy(x) = (x+ 1)2.

1. Écriture de(E)sous la forme adaptée à sa résolution.

Ici,(E)n"est pas sous la bonne forme: il y a une fonction devant ley?et le membre enyn"est pas du bon côté de l"équation. On réécrit donc (E)?y?(x) =-xx+1y(x) +(x+1)2x+1=-xx+1y(x) + (x+ 1). et(E)est définie sur]- ∞,-1[et sur]-1,+∞[.

2. Résolution de l"équation homogène associée.

(Eh)y?(x) =-xx+1y(x).

1M0SE 1003La méthode de variation de la constante sur un exempleD"après le cours, les solutions sont les fonctions de la formeyh(x) =CeA(x),C?R, oùA(x)est une

primitive de-xx+1. Pour déterminer une primitive de cette fonction - en se souvenant de l"exercice3de

la feuille de TD sur l"intégration par exemple - on écrit que xx+ 1=-x+ 1-1x+ 1=-x+ 1x+ 1--1x+ 1=-1 +1x+ 1. On trouve doncA(x) =-x+ ln(|x+ 1|), et les solutions de(Eh)sont les fonctions y h(x) =Ce-x+ln(|x+1|),C?Rsoityh(x) =C(|x+ 1|)e-x,C?Rou encorey h(x) =C(x+ 1)e-x,C?R(on peut enlever la valeur absolue puisque la constante parcourt toutR).

3. Recherche d"une solution particulière de(E).

On cherche une solution particulière par la méthode de variation de la constante.

a) Choisissons une solution de l"équation homogène qui ne s"annule pas.y0(x) = (x+1)e-xconvient.

b) On cherche la solution particulière sous la formeyp(x) =c(x)y0(x) =c(x)(x+ 1)e-x. c)c?(x) =b(x)y

0(x)=x+1(x+1)e-x=ex.

d) Une primitive deexestex, doncc(x) =exconvient. e) Finalement, une solution particulière est donnée pary p(x) =ex(x+ 1)e-x=x+ 1.

4. Conclusion.

L"ensemble des solutions de(E)est obtenu en additionnant la solution particulière aux solutions de

l"équation homogène(Eh). Ce sont donc les fonctionsy(x) = (x+ 1) +C(x+ 1)e-x,C?R. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47