[PDF] 233 Exercices (méthode de Newton) PDF anum-td7.pdf

2 3 3 Exercices (méthode de Newton) Exercice 82 Corrigé en page 184 L' algorithme de Newton pour F(x, y) = Analyse numérique I, télé-enseignement, L3

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[PDF] Analyse Numérique

Analyse Numérique Corrigé du TD 5 EXERCICE 1 1 + e−α = 0 Par suite, d' apr`es l'exercice 1, la convergence de la méthode de Newton est quadratique

[PDF] Exercices corrigés

enseignant d'analyse numérique pour lui poser une question Exercice 7 ( ordre de convergence de la méthode de Newton) On rappelle ici la méthode de

EXAMEN 1 - Corrigé MAT-2910 : Analyse numérique pour l'ingénieur 4) Nous ne répondrons à aucune question concernant ces exercices, sauf si nous (v) [5 pts] Appliquer la méthode de Newton à l'équation de départ et faites 2 ité-

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Analyse numérique Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire Gloria Faccanoni i http://faccanoni univ-tln fr/enseignements html Année 2013 – 2014

[PDF] 233 Exercices (méthode de Newton)

2 3 3 Exercices (méthode de Newton) Exercice 82 Corrigé en page 184 L' algorithme de Newton pour F(x, y) = Analyse numérique I, télé-enseignement, L3

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2 5 Exercices du chapitre 2 4 4 2 5 Méthode des trapèzes corrigés 82 Un des buts de l'analyse numérique consiste justement à Ceci montre que la méthode de Newton converge de façon quadratique si elle converge

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Module : Analyse numérique Corrigé : Rappelons que le polynôme de Lagrange basé sur les points Retrouver α `a l'aide de la méthode de Newton

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6 4 Application à la méthode de Newton 4 EXERCICES ET PROBLÈMES En analyse numérique, une fonction f n'est souvent connue que par ses valeurs

[PDF] Recueil dexercices pour les cours MTH2210x

Ce recueil d'exercices d'analyse numérique est un outil complémentaire aux Systèmes d'équations algébriques non linéaires et méthode de Newton Q–

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Polynôme d'interpolation de Newton Devoir surveillé d'Analyse Numérique ( 2010) et son corrigé 97 Exercice1 Corrigé exercice 2 Algorithme numérique, méthodes numériques pour la résolution de syst`emes linéaires

2.3. MÉTHODE DE NEWTON DANSIRNCHAPITRE 2. SYSTÈMES NON LINÉAIRES

2.3.3 Exercices (méthode de Newton)

Exercice 82(Newton et logarithme).Suggestions en page 183 Corrigé en page 184

Soitfla fonction deIR?+dansIRdéfinie parf(x) = ln(x).Montrer que la méthode de Newton pour la recherche

de xtel quef(x) = 0converge si et seulement si le choix initialx(0)est tel quex(0)?]0,e[.

Exercice 83(Newton pour un système linéaire).Corrigé en page 184Soitfl"application définie surIRnpar

f(x) =Ax-boùAest une matrice inversible etb?IRn. Ecrire l"algorithme de Newton pour la résolution de

l"équationf(x) = 0et montrer qu"il converge pour toute condition initialex0?IRn. Exercice 84(Condition initiale et Newton).Corrigé en page 184L"algorithme de Newton pourF(x,y) = (sin(x) +y,xy)test-il bien défini pour la condition initiale(π 2,0)? Exercice 85(Newton dansIRetIR2).Corrigé en page 184Soita?IRtel que|a|<1et(x0, y0)?IR2.On définit l"application

F: IR2→IR2

?x y? ?→?x-x0-ay y-y0-asinx?

1. Montrer qu"il existe une fonctionf: IR→IR, que l"on déterminera, telle queF(x,y) = (0,0)si et

seulement six=x0+ayetf(y) = 0.

2. Montrer que pour tout triplet(a,x0,y0), il existe un unique couple(¯x,¯y)?IR2tel queF(¯x,¯y) = (0,0).

3. Ecrire l"algorithme de Newton pourfet montrer que l"algorithme de Newton converge au voisinagede¯y.

4. Ecrirel"algorithmede Newtonpourla fonctionF. Montrerquel"algorithmeconvergeau voisinagede(¯x,¯y).

Exercice 86(Méthode de Newton pour un système2×2).Corrigé en page 185

1. Ecrire la méthode de Newton pour la résolution du système suivant :

-5x+ 2sinx+ 2cosy= 0,(2.33)

2cosx+ 2siny-5y= 0.(2.34)

et montrer que la suite définie par cet algorithme est toujours bien définie.

2. Soit(

x,y)une solution du problème (2.33)-(2.34). Montrer qu"il existeε >0tel que si(x0,y0)est dans la

bouleBεde centre( x,y)et de rayonε, alors la suite(xn,yn)n?INconstruite par la méthode de Newton converge vers( x,y)lorsquentends vers+∞.

3. Montrer qu"il existe au moins une solution(

x,y)au problème (2.33)-(2.34). Exercice 87(Méthode de Newton pour un autre système2×2).

1. Ecrire la méthode de Newton pour la résolution du système suivant :

2+ 2xy= 0,(2.35)

xy+ 1 = 0.(2.36)

2. Calculer les solutions de ce système.

3. Soit(

x,y)une solution du problème (2.35)-(2.36). Montrer qu"il existeε >0tel que si(x0,y0)est dans la

bouleBεde centre( x,y)et de rayonε, alors la suite(xn,yn)n?INconstruite par la méthode de Newton converge vers( x,y)lorsquentends vers+∞. Exercice 88(Newton et les échelles...).Corrigé en page 2.3.3 page 186

Analyse numérique I, télé-enseignement, L3175Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 14 septembre 2016

2.3. MÉTHODE DE NEWTON DANSIRNCHAPITRE 2. SYSTÈMES NON LINÉAIRES

Soient deux échelles de longueurs respec-

tives3et4m,poséescontredeuxmursver- ticaux selon la figure ci-contre. On sait que les échelles se croisent à 1m du sol, et on cherche à connaître la distancedentre les deux murs. 4m 1m 3m d

A M Bα

1. Montrer que le problème revient à déterminerxetytels que

16x2= (x2+ 1)(x+y)2(2.37)

9y2= (y2+ 1)(x+y)2.(2.38)

2. Ecrire l"algorithme de Newton pour la résolution du système (2.37)-(2.38).

3. Calculer les premiers itérésx(1)ety(1)construits par la méthode de Newton en partant dex(0)= 1ety(0)= 1.

Exercice 89(Newton dansM2(IR)).Corrigé en page 186 On considère l"applicationf:M2(IR)→M2(IR)définie parf(X) =X2-?1 00 1? .L"objectif de cet exercice est de trouver les solutions def(X) =?0 00 0?

1. Réécrire l"applicationfcomme une applicationFdeIR4dansIR4.

2. Trouver l"ensemble des solutions def(X) = 0.

3. Ecrire le premier itéréX1de l"algorithme de Newton pour l"applicationfpartant de la donnée initiale

0=?4 00 4?

(On pourra passer par l"applicationF). Montrer que la suite(Xk)kdéfinie par cet algorithme

est définie par toutket que l"on peut écrire sous la formeXk=λkIdoù(λk)kest une suite réelle dont on

étudiera la convergence.

4. L"algorithme de Newton converge-t-il au voisinage deX?=?-1 0

0-1?

Exercice 90(Recherche d"un point fixe).

On définit la fonctionfdeIRdansIRparf(x) =e(x2)-4x2.

1. Montrer quefs"annule en 4 points deIRet qu"un seul de ces points est entre0et1.

2. On poseg(x) = (1/2)⎷

e(x2)(pourxdansIR).

Montrerquela méthodedu pointfixeappliquéeàg, initialisée avec unpointde l"intervalle]0,1[,est convergente

et converge vers le point de]0,1[annulantf. Quel est l"ordre de convergencede cette méthode?

3. Donner la méthode de Newton pour rechercher les points annulantf.

Entre cette méthode et la méthode de la question précédente,quelle méthode vous semblea priorila plus

efficace?

Analyse numérique I, télé-enseignement, L3176Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 14 septembre 2016

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2.3. MÉTHODE DE NEWTON DANSIRNCHAPITRE 2. SYSTÈMES NON LINÉAIRES

2.3.3 Exercices (méthode de Newton)

F: IR2→IR2

1. Montrer qu"il existe une fonctionf: IR→IR, que l"on déterminera, telle queF(x,y) = (0,0)si et

2. Montrer que pour tout triplet(a,x0,y0), il existe un unique couple(¯x,¯y)?IR2tel queF(¯x,¯y) = (0,0).

3. Ecrire l"algorithme de Newton pourfet montrer que l"algorithme de Newton converge au voisinagede¯y.

4. Ecrirel"algorithmede Newtonpourla fonctionF. Montrerquel"algorithmeconvergeau voisinagede(¯x,¯y).

1. Ecrire la méthode de Newton pour la résolution du système suivant :

2cosx+ 2siny-5y= 0.(2.34)

2. Soit(

3. Montrer qu"il existe au moins une solution(

1. Ecrire la méthode de Newton pour la résolution du système suivant :

2+ 2xy= 0,(2.35)

2. Calculer les solutions de ce système.

3. Soit(

2.3. MÉTHODE DE NEWTON DANSIRNCHAPITRE 2. SYSTÈMES NON LINÉAIRES

Soient deux échelles de longueurs respec-

A M Bα

1. Montrer que le problème revient à déterminerxetytels que

16x2= (x2+ 1)(x+y)2(2.37)

9y2= (y2+ 1)(x+y)2.(2.38)

2. Ecrire l"algorithme de Newton pour la résolution du système (2.37)-(2.38).

3. Calculer les premiers itérésx(1)ety(1)construits par la méthode de Newton en partant dex(0)= 1ety(0)= 1.

1. Réécrire l"applicationfcomme une applicationFdeIR4dansIR4.

2. Trouver l"ensemble des solutions def(X) = 0.

3. Ecrire le premier itéréX1de l"algorithme de Newton pour l"applicationfpartant de la donnée initiale

0=?4 00 4?

étudiera la convergence.

4. L"algorithme de Newton converge-t-il au voisinage deX?=?-1 0

Exercice 90(Recherche d"un point fixe).

1. Montrer quefs"annule en 4 points deIRet qu"un seul de ces points est entre0et1.

2. On poseg(x) = (1/2)⎷

3. Donner la méthode de Newton pour rechercher les points annulantf.