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METHODE DU PIVOT DE GAUSS
Laméthode du pivot de Gausspermet la résolution générale des systèmes d"équations linéaires ànéquations etp
inconnues. Elle s"utilise notamment pour leur résolution numérique à l"aide d"unprogramme informatique, et permet la
résolution de systèmes comptant un grand nombre d"inconnues et d"équations (plusieurs centaines, voire plusieurs milliers).
Dans tous les cas, la méthode du pivot de Gauss permet de déterminer si le système a des solutions ou non (et notamment
de savoir s"il est un système de Cramer lorsquen=p). Le cas des systèmes de Cramer à deux ou trois inconnues a été traité
dans le chapitre 4, page 45, de "Toutes les mathématiques" (TLM1).Lorque le système a des solutions, la méthode du pivot permet de les calculer. Notamment, sin=pet si le système a une
solution unique (système de Cramer), on peut la calculer de manière beaucoup plus économique (en nombre d"opérations)
que par les formules de Cramer. Lorsque la solution du système n"est pas unique, la méthode du pivot permet d"exprimer les
solutions à l"aide desinconnues principales.1 Etude d"un exemple
Reprenons le système de l"exemple 4.8 de TLM1 (page 47), qui est un système de Cramer : S)8 :x+y+2z= -1(1)2x-y+2z= -4(2)
4x+y+4z= -2(3)
On peut résoudre le système(S)enéliminantd"abord l"inconnuexdans les équations(2)et(3);ce qui peut se faire
en multipliant l"équation (1) par 2 et en la soustrayant à l"équation (2), et en la multipliant par 4 et en la soustrayant à
équivalent:
S1)8 :x+y+2z= -1(1) -3y-2z= -2(2) -3y-4z=2(3)On peut maintenant éliminerydans la troisième équation grâce à l"opération(3) (3) - (2):On obtient le système
équivalent :
S2)8 :x+y+2z= -1(1) -3y-2z= -2(2) -2z=4(3)3) -12
(3):Cela donnezet le système équivalent : S3)8 :x+y+2z= -1(1) -3y-2z= -2(2) z= -2(3) obtenir le système équivalent : S4)8 :x+y=3(1) -3y= -6(2) z= -2(3) (2);on obtientyet le système équivalent : S5)8 :x+y=3(1) y=2(2) z= -2(3) S6)8 :x=1(1) y=2(2) z= -2(3)Ainsi, par une suite d"opérations élémentaires sur les équations du système, on a montré que le système(S)avait une
solution uniquex=1; y=2; z= -2:On conçoit bien cependant que l"écriture du système sous forme d"équations n"est pas la mieux adaptée à cette suite
d"opérations. En fait, la seule chose qui compte vraiment, c"est de connaître lescoe¢ cients des inconnueset lesecond
membredu système.L"idée de la méthode du pivot de Gauss consiste donc à remplacer le système(S)par une matrice faisant intervenir à
la fois des coe¢ cients des inconnues et le second membre du système, exactement dans l"ordre dans lequel ils apparaissent.
Cette matrice s"appelle lamatrice augmentéeassociée à(S):Dans notre exemple, elle s"écrit
G=0 @1 1 2-12-1 2-4
4 1 4-21
A2 M3;4(R):
Les opérations sur leséquationsdu système reviennent alors à des opérations sur leslignesde la matrice augmentée :
G=0 @1 1 2-12-1 2-4
4 1 4-21
AL2 L2-2L1L3 L3-4L1G
1=0 @1 1 2-10-3-2-2
0-3-4 21
AL3 L3-L2G2=0
@1 1 2-10-3-2-2
0 0-2 41
A L 3 -12 L3G 3=0 @1 1 2-10-3-2-2
0 0 1-21
AL2 L2+2L3L1 L1-2L3G
4=0 @1 1 0 30-3 0-6
0 0 1-21
A L 2 -13 L2G 5=0 @1 1 0 30 1 0 2
0 0 1-21
AL1 L1-L2G6=0
@1 0 0 10 1 0 2
0 0 1-21
A La matriceG6exprime que(S)a une solution unique,x=1; y=2; z= -2:2 Méthode du pivot de Gauss
2.1 Démarrage
Dans le cas général, nous considérons un système linéaire(S)ànéquations etpinconnuesx1; x2;...,xp:
(S)8 >>:a11x1+a12x2++a1pxp=b1
a21x1+a22x2++a2pxp=b2...
a n1x1+an2x2++anpxp=bnOn note comme d"habitude (TLM1, page 544)
A=0 B @a11a12a1p......
a n1an2anp1 CA2 Mn;p(K); B=0
B @b 1... b n1 CA2 Mn;1(K); X=0
B @x 1... x 11 CA2 Mp;1(K)
TLM1Méthode du pivot de Gauss3respectivement la matrice associée au système , le vecteur colonne associé au second membre, et le vecteur colonne des
inconnues. Ainsi la résolution de(S)équivaut à trouverXtel que AX=B:En pratique, on dispose le système en matrice sans les inconnues. Lamatrice augmentéeassociée au système est
A 0=0 B @a11a12a1pb1.........
a n1an2anpbn1 CA2 Mn;p+1(K):
On opère alors uniquement sur les lignes deA0. La méthode du pivot consiste d"abord à amener le système à unsystème
triangulaire, ceci uniquement par opérations élémentaires sur les lignes.On suppose que la première colonne n"est pas identiquement nulle (sinon l"inconnuex1n"apparait pas!), ainsi quitte à
permuter les lignes, on suppose quea116=0. Ce coe¢ cienta11est ditpivot, l"inconnuex1est dite uneinconnue principale.
Par opérations élémentaires sur les lignes, on "met"des0sous le pivot : 0 B BB@a11a12a1pb1
a21a22a2pb2............
a n1an2anpbn1 C CCA! L2 L2-a21a
11L1 L n Ln-an1a 11L10 B BB@a 11a12a1pb1
0 a022a02pb02............
0 a0n2a0npb0n1
CCCA=F:
Deux cas peuvent alors se présenter, en fonction de la matrice A 0=0 B @a022a02p......
a0n2a0np1
C A:(1)2.2 Premier cas
la dernière ligne de la matriceFci-dessus représente les équations 8>< :0x2+0x3++0xp=b02...
0x2+0x3++0xp=b0n
principale) en fonction dex2;; xn(inconnues ditessecondaires). Chaque valeur des inconnues secondaires donne une
solution du système. Le rang du système est1: il est égal au nombre d"inconnues principales et au rang de la matriceAdu
système (TLM1, dé...nition 45.10, page 596).Les relationsb02==b0n=0sont ditesrelations de compatibilité. Si elles ne sont pas véri...ées, le système n"a pas de
solution. Exemple 1Soitaun paramètre. Considérons le système S)8 :x+2y-z=12x+4y-2z=2
-x-2y+z=aEn l"écrivant sous forme matricielle et en prenant le 1 qui ...gure en haut et à gauche comme pivot, il vient
TLM1Méthode du pivot de Gauss40
@12-1 12 4-2 2
-1-2 1 a1 AL2 L2-2L1L3 L3+L10
@1 2-1 10 0 0 0
0 0 0 a+11
AAinsi(S)est équivalent au système suivant :
S0)8 :x+2y-z=1 0=0 0=a+1Ce système a une solution si et seulement sia= -1. Dans ce cas, on exprime les inconnues principales en fonctions des
inconnues secondaires, et (S), 8 :x=1-2y+z y=y z=zL"ensemble des solution estS=8
>>>>:0 @x y z1 A =0 @1 0 01 A |{z} solution particulière+y0 @-2 1 01 A +z0 @1 0 11 A |{z} solution du système homogène;(y;z)2R292.3 Deuxième cas
Supposons maintenant que la matriceA0dé...nie en(1)n"est pas la matrice nulle.Premier sous-cas :La première colonne deA0est non nulle. Quitte à permuter les lignes (ce qui revient seulement
à permuter les équations), on peut supposer quea0226=0. Ce coe¢ cient devient le deuxième pivot,x2est dite inconnue
principale. A l"aide de ce pivot, on "met"des zéros sousa22: 0 B BB@a11 a1pb1
0 a022a02pb02............
0 a0n2a0npb0n1
C CCA! L3 L3-a0
32a022L2
...0 B
BBBBB@a
11 a1pb1
0a022 a02pb02
0 a0033a003pb003...............
0 0 a00n3a00npb00n1
CCCCCCA:
On note alors
A 00=0 B @a0033a003p......
a00n3a00np1
C A(2) et on réitère le procédé en procédant surA00comme on a procédé surA0:Deuxième sous-cas :La première colonne deA0est nulle. Alorsx2est dite inconnue secondaire. Si la deuxième colonne
deA0est nulle,x3est dite aussi inconnue secondaire . CommeA0n"est pas identiquement nulle, une de ces colonnes n"est
pas nulle, et quitte à permuter les lignes, on peut supposer que A 0=0 B @00 a02ja02p............00 a0nja0np1
C A;aveca02j6=0. Le coe¢ cienta02jest alors le second pivot,xjest une inconnue principale etx2; x3;; xj-1sont dites
inconnues secondaires. A l"aide de ce pivot, on "met"des0sousa2j:TLM1Méthode du pivot de Gauss50
B BBB@a11 a1pb1
0 00a02ja02pb02
0 00 a0nja0npb0n1
C CCCA! L3 L3-a03ja
02jL2 ...0 BBBBBBB@a
11 a1pb1
0 00a02ja02pb02
......0 b003.........(A00)...0 00 0 b00n1
CCCCCCCA:
On recommence alors le procédé avec la matriceA00:Conclusion :A la ...n du processus, on obtient une matrice de la forme suivante, diteforme échelonnée:
0 B