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BAHRAM HOUCHMANDZADEH
MATHÉMATIQUES
POUR LA PHYSIQUE.
Université Grenoble-Alpes
Départment de PhysiqueAucun droit réservé. Chaque partie de ce manuscrit peut être re- produite, modifiée ou transmise sans l"autorisation de l"auteur. Tout commentaire, critique ou correction sera grandement apprécié.
Remerciements.
Je remercie sincérement Youssef Ben Miled et Mathias Legrand pour leur lecture attentive du manuscrit et leur très (très) nom- breuses corrections et suggestions. Grace à leurs efforts, ce manuscrit a un aspect beaucoup plus présentable. web : www-liphy.ujf-grenoble.fr/pagesperso/bahram/Math/math.htm B: bahram.houchmandzadeh (à) univ-grenoble-alpes.fr
Première version : Septembre2008
Version présente : August25,2020
Table des matières
1Introduction9
2Éléments d"analyse fonctionnelle.13
2.1Les espaces vectoriels.13
2.2L"espace vectoriel des fonctions.17
3Les séries de Fourier.23
3.1Introduction.23
3.2Les séries de Fourier.24
3.3Pourquoi les séries de Fourier sont intéressantes?27
3.4Un peu de généralisation.29
3.5Les séries de sinus et de cosinus.29
3.6Dérivation terme à terme des séries de Fourier.31
3.7Vibration d"une corde.32
3.8Équation de la chaleur.34
3.9Les séries de Fourier discrètes.36
3.10Problèmes avancés.38
4Les transformations de Fourier.45
4.1Entrée en matière.45
4.2Les opérations sur les TF.47
4.3Transformée de Fourier Rapide.48
4.4Manipulation et utilisation des TF.48
4.5Relation entre les séries et les transformés de Fourier.52
4.6Approfondissement : TF à plusieurs dimensions.53
TABLE DES MATIÈRES4
5Les distributions.55
5.1Ce qu"il faut savoir.55
5.2Un peu de décence.58
5.3Manipulation et utilisation des distributions.60
5.4Les distributions et les conditions initiales des équations différentielles.63
5.5Exercices .65
5.6Problèmes.66
6Convolution et corrélation.69
6.1Les convolutions.69
6.2Auto-corrélation.72
6.3Relation entre l"équation de diffusion et les convolutions.73
6.4La méthode de Langevin et les équations différentielles stochastiques.74
6.5Problèmes avancés.75
6.6Exercices.77
6.7Problèmes.78
7Les transformées de Laplace.81
7.1Entrée en matière.81
7.2Opérations sur les TL.82
7.3Décomposition en fraction simple.84
7.4Comportement asymptotique.86
7.5Produit de Convolution.88
7.6Aperçu des équations intégrales.89
7.7Aperçu des systèmes de contrôle asservis (feedback systems).89
7.8La physique statistique.91
7.9TL inverse.92
8Les fonctions de Green.99
8.1Entrée en matière99
8.2Généralisation.101
8.3Le potentiel électrostatique.102
8.4La propagation des ondes104
8.5Disposer d"une base propre.105
5TABLE DES MATIÈRES
9Calcul des perturbations.107
9.1Les perturbations régulières.107
9.2Les perturbations singulières.111
10Les opérateurs linéaires.119
10.1Introduction119
10.2L"algèbre des opérateurs.121
10.3Représentation matricielle des opérateurs.125
10.4Valeurs et vecteurs propres.128
10.5Disposer d"une base propre orthogonale.129
10.6Opérateurs hermitiens.131
10.7Méthodes opératorielles, algèbre de Lie.132
11Le calcul variationnel139
11.1Introduction.139
11.2Calcul des variations.140
11.3Plusieurs degrés de libertés.144
11.4Formulation lagrangienne et équation du mouvement d"un champ.147
11.5Optimisation sous contraintes.149
11.6Les conditions aux bords "naturelles"1.154
11.7Les conditions aux bords naturelles2.156
11.8Détour : éléments de géométries non-euclidiennes.157
12Les systèmes de Sturm-Liouville.163
12.1Introduction.163
12.2Reformulation opératorielle.166
12.3Détour : la mécanique quantique ou pourquoi les valeurs propres ont pris tant d"impor-
tance.170
12.4Les systèmes de Sturm-Liouville.171
12.5Les solutions polynomiales de Sturm-Liouville.173
12.6Valeurs et fonctions propres.175
12.7La seconde solution : Le Wronskien.176
12.8Les solutions non-polynomiales.177
12.9Exercices.177
TABLE DES MATIÈRES6
13Les opérateurs différentiels.179
13.1Métrique et Système de coordonnées.179
13.2Nabla, div et les autres.180
13.3Le gradient.181
13.4Champ de vecteurs.182
13.5Le rotationnel.183
13.6La divergence.185
13.7Le Laplacien.186
13.8Résumons.188
13.9Notes.189
14Les Transformées de Legendre.191
14.1Définitions.191
14.2Application à travers la physique.197
15Les tenseurs en physique.207
15.1Les tenseurs de rang2.207
15.2Généralisation des tenseurs.212
15.3Les composantes d"un tenseur.213
15.4Changement de base.214
15.5Le produit scalaire généralisé, covariant et contravariant, les formes linéaires.216
16Équation à dérivée partielle du premier ordre.219
16.1La méthode des caractéristiques.219
16.2Interprétation géométrique.222
16.3Généralisation.224
17Les formes différentielles et la dérivation extérieure.227
17.1Introduction.227
17.2Les1formes.228
17.3Intégration des1-formes.229
17.4les nformes et les nvecteurs.230
17.5L"intégration des kformes.230
17.6La dérivation extérieure.232
7TABLE DES MATIÈRES
17.7théorème de Stockes.237
17.8Intégration par partie.238
17.9Un peu de géométrie : vecteurs,1-formes et leurs associations.238
17.10L"opérateur de Hodge.245
17.11Quelques applications.247
18Théorie des fonctions analytiquess.251
18.1Introduction.251
18.2Les fonctions complexes.252
18.3Les fonctions analytiques.252
18.4Intégration dans le plan complexe.253
18.5Conséquences du Cauchy-Goursat.256
18.6Les résidus et leur application à l"intégration.259
19Évaluation Asymptotique des intégrales.267
19.1Introduction.267
19.2La méthode de Laplace.267
19.3Les intégrales de type Fourier : la méthode de la phase stationnaire.269
19.4La méthode du point col ("steepest descent").270
19.5Exercices.272
20Intégrale de Lebesgue.273
20.1Introduction.273
20.2Théorie de la mesure.275
20.3L"intégrale de Lebesgue.276
21Les intégrales de chemin.279
21.1Introduction.279
21.2Exemples fondamentaux.280
21.3Calcul des intégrales de chemin (I).281
21.4Digression sur le mouvement Brownien.283
21.5Calcul des intégrales de chemin (II) et les fonctions de Green.284
21.6Problèmes.286
TABLE DES MATIÈRES8
22Les équations de la physique.287
22.1Qu"est ce qu"une équation différentielle?287
22.2Équation de Laplace.288
22.3Équation d"onde et de chaleur.290
23Qu"est ce qu"un nombre?293
23.1Les entiers naturelsN.293
23.2Les ensemblesZetQ.295
23.3Un peu de topologie.295
23.4L"ensemble des nombres réels.296
23.5Les nombres padiques.299
24Bibliograhie.301
25Index303
1
Introduction
Durant les deux premières années à l"université, on apprend les bases essentielles des mathématiques : calcul différentiel et intégral, algèbre linéaire, équations différentielles linéaires, etc. L"objet de ce cours est d"utiliser ce corpus pour introduire les méthodes mathé- matiques dites supérieures utilisées pour résoudre les problèmes classiques de la physique. Les mathématiques ne sont pas une collection de méthodes jux- taposées et sans relation : il existe des concepts extrêmement géné- raux qui nous permettent de porter le même regard sur des notions a priori disparates. Le concept qui reviendra tout au long de ce cours est celui de l"espace vectoriel. Ainsi, tourner un vecteur du plan d"un angle quelconque ou appliquer un opérateur intégrodif- férentiel à une fonction sont fondamentalement la même chose; de même que trouver les valeurs propres d"une matrice ou résoudre une équation à dérivée partielle linéaire. C"est bien pour cela que l"étudiant apprend un tel volume d"algèbre linéaire dans les cours de mathématiques élémentaires. Le plan du cours est le suivant : Après une introduction (un rappel) des espaces vectoriels, nous verrons que les fonctions elles mêmes peuvent être considérées comme des points (des vecteurs) dans un grand espace des fonctions, et que nous pouvons définir des bases orthogonales dans cet espace presque comme on le fait dans l"espace tridimensionnel. Le chapitre suivant est consacré aux séries de Fourier, le premier exemple pratique que nous verrons de bases dénombrables dans l"espace des fonctions sur un intervallefini. Nous verrons entre autre comment cette base nous permet de résoudre les équations classique de la physique comme celle de diffusion de la chaleur ou des cordes vibrantes. Nous avons souvent affaire à des fonctions définies sur des in- tervallesinfinis. Les transformées de Fourier nous permettent de disposer de bases pour l"espace de ces fonctions. Comme souvent cependant, les infinis posent des problèmes particuliers et nous auront alors à définir lesdistributions, une généralisation des fonc- tions qui introduit en mathématique le concept de charge (ou force) ponctuelle si cher aux physiciens. Nous verrons alors le nombre incroyable de problèmes que ces nouvelles méthodes nous per-
CHAPITRE1. INTRODUCTION10
mettent d"aborder : de la résolution des équations différentielles à celle d"équations stochastiques (comme le mouvement brownien) en passant par la diffraction par les cristaux etc. Le cousin germain des transformées de Fourier est la transfor- mée de Laplace : nous verrons comment l"utiliser pour tous les problèmes où les conditions initiales sont importantes. Ces trans- formations (TF, TL) sont de types intégrale. Nous verrons dans un chapitre avancé une autre transformation, celle de Legendre, très utilisés en mécanique (classique et quantique) et thermodynamique. Finalement, un complément utile à tous ces outils est la méthodequotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
[PDF] Mathématiques pour la Physique - Université Grenoble Alpes