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30 jan 2014 · [2] Claude Aslangul, Des mathématiques pour les sciences, Cours et Exercices, de Broeck, 2011 une méthode de calcul des primitives d'une fonction donnée f exemple, http://jf burnol free fr/convergencedominee_v2 pdf

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Formation Interuniversitaire de Physique

Annee 2013-2014

Mathematiques pour physiciens

Jean-Bernard Zuber

Figure1 {

6 mathematiciens qui ont laisse des contributions fondamentales dans le sujet de ce cours.

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) et (Jean-Baptiste) Joseph Fourier (1768 - 1830); Simeon Denis Poisson (1781 - 1840) et Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857); Henri Lebesgue (1875 - 1941) et Laurent Schwartz (1915 - 2002)

J.-B. Z L3 FIP 201330 janvier 2014

Bibliographie

[1] W alterApp el,Mathematiques pour la physiqueet les physiciens!, H& KEditions [2] C laudeAslangul, Des mathematiques pour les sciences,Cours et Exercices, de Broeck, 2011 [3] C laudeAslangul, Des mathematiques pour les sciences,Exercices corriges, de Broeck, 2013 [4] Henr iCartan, Theorie elementaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Hermann 1961 [5] Jac quesGapaillard, Integration pour la licence, Dunod 2002 [6]

Joh nLamp erti,Probability, Benjamin 1966

[7] W. Rudin, Analyse reelle et complexe, Masson 1977. [8] Lau rentSc hwartz,Methodes mathematiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965. [9] Lau rentSc hwartz,Theorie des distributions, Hermann, 1966. [10] La urentSc hwartz,Analyse I. Topologie Generale et Analyse Fonctionnelle, Hermann, 1991. Parmi ces ouvrages, certains sont ecrits dans un esprit assez proche de celui du present cours, en particulier [1], dont je me suis beaucoup inspire. Le lecteur trouvera d'innombrables applications et exercices dans [2] et [3]. ii BIBLIOGRAPHIE

Plan du cours

{1 Rappels, convergence, series, fonctions 1 cours {2 Integration 2 cours {3 Distributions 112 cours {4 Transformation de Fourier 112 cours {5 Probabilites 212 cours {6 Series entieres. Fonctions d'une variable complexe 1 cours {7 Fonctions holomorphes. Theoreme de Cauchy 212 cours {8 Fonctions de variables complexes, applications 112 cours {9 Transformation de Laplace 112 cours {10 Aspects de la theorie des groupes 1 cours

Table des matieres

1 Rappels, convergence, series, fonctions 1

1.1 Topologie de la droite reelle (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1 Suites convergentes. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Ouverts, fermes. Points d'accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3 Les deux proprietes fondamentales deR. . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Bribes de topologie generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1 Petit glossaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2 Espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3 Suites convergentes, suites de Cauchy dans un espace norme . . . . . . .

6

1.3 Suites et series de fonctions. Convergence simple, uniforme, en norme. . . . . . .

7

1.3.1 Convergence d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2 Continuite d'une limite de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3 Derivabilite d'une limite de fonctions derivables. . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.4 Integrabilite d'une limite de fonctions integrables. . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.5 Series. Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Integration 17

2.1 Integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1 Rappels sur l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2 Integrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.3 Problemes avec l'integrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2 Integrale de Lebesgue. Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1 Idee intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2 Mesure (Bribes de theorie de la) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.3 Retour a l'integrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.4 Integrales de Lebesgue surR2ouRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 6

iv TABLE DES MATI ERES

2.2.5 EspacesLpetLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.2.6 Comparaison entre integrales de Riemann et de Lebesgue . . . . . . . . .

28

2.3 Integrales dependant d'un parametre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3 Distributions 35

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1.1 Distributions de charges electriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1.2 Diusion coherente par un reseau. Peigne de Dirac . . . . . . . . . . . .

36

3.1.3 Choc elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2 Denitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2.1 Espace des fonctions-tests. Denition des distributions. . . . . . . . . . .

39

3.3 Operations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.3.1 Translation, dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.3.2 Derivation d'une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4 Distribution delta et distributions reliees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4.1 Fonction de Heaviside, fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4.2 Relations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4.3sur une courbe, une surface, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

3.5 Produit de distributions. Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.6 Exemple : Fonction de Green et potentiel de Coulomb en dimensiond. . . . . .51

4 Transformation de Fourier 55

4.0 Preambule physique.

Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

4.1 Series de Fourier. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.2 Transformation de Fourier dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

4.2.1 Denition. Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.2.2 Existence et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.2.3 Autres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.2.4 Transformation de Fourier dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

4.2.5 Transformation de Fourier et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.2.6 Diraction par une fente, par un reseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

4.3 Transformees de Fourier des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5 Probabilites 71

5.1 Evenements. Espace des epreuves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

5.2 Probabilites et mesure. Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

TABLE DES MATI

ERESv

5.2.1 Axiomes de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

5.2.2 Probabilite conditionnelle.

Evenements independants . . . . . . . . . . .73

5.3 Variables aleatoires. Distributions de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.3.1 Denition d'une variable aleatoire; loi de probabilite . . . . . . . . . . .

74

5.3.2 Les quantites et fonctions importantes attachees a une v.a. . . . . . . . .

75

5.3.3 Plusieurs variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

5.3.4 Changement de variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

5.3.5 Fonction caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.4 Distributions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.4.1 Distribution uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.4.2 Distribution binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.4.3 Distribution normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.4.4 Distribution de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.4.5 Quelques autres lois rencontrees dans les sciences naturelles . . . . . . . .

93

5.4.6 Limites de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.4.7 Quelques exemples concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

5.5 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 00

5.5.1 Convergence presque s^urement, convergence en probabilite, convergence

en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

5.5.3 Theoreme limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

5.5.4 Marche aleatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

6 Series entieres. Fonctions analytiques 115

6.1 Series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

6.1.1 Series formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

6.1.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

6.1.3 Continuite, integrabilite et derivabilite de la somme . . . . . . . . . . . .

118

6.1.4 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

6.2 Les fonctions exp et log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

6.3 Series de Taylor. Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

6.3.1 Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

6.3.2 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

6.3.3 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

6.4 Lacunes de ce chapitre... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

6.4.1 Series divergentes. Series asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125
vi TABLE DES MATI ERES

6.4.2 Produits innis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

7 Fonctions holomorphes. Theoreme de Cauchy 127

7.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

7.1.1 Rappel : fonctions dierentiables deRndansRp. . . . . . . . . . . . . .127

7.1.2 Holomorphie. Conditions de Cauchy{Riemann . . . . . . . . . . . . . . .

128

7.1.3 Derivations@,@. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

7.2 Integrales sur des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

7.2.1 Chemins et lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

7.2.2 Integrales de formes sur des chemins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

7.2.3 Integration sur des chemins dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

7.3 Theoreme de Cauchy et consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 39

7.3.1 Theoreme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

7.3.2 Integrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

7.4 Autres proprietes des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 41

7.4.1 Fonctions holomorphes et fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . .

141

7.4.2 Fonctions entieres. Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

7.5 Zeros et singularites des fonctions de variable complexe . . . . . . . . . . . . . .

143

7.5.1 Zeros d'une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

7.5.2 P^oles, singularites essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

7.5.3 Series de Laurent. Fonctions meromorphes. Residus . . . . . . . . . . . .

145

8 Fonctions de variables complexes, applications 153

8.1 Calcul d'integrales, de transformees de Fourier, de sommes etc . . . . . . . . . .

153

8.1.1 Calcul pratique des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

8.1.2 Lemmes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

8.1.3 Integrales sur l'axe reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

8.1.4 Integrales de fractions rationnelles trigonometriques . . . . . . . . . . . .

155

8.1.5 Transformees de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

8.1.6 Sommes innies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156

8.1.7 Integrales sur un arc. P^oles sur l'axe reel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

8.2 Fonctions multivaluees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 58

8.2.1 Points de branchement, feuillets, surface de Riemann . . . . . . . . . . .

158

8.2.2 Integrales de Cauchy de fonctions multivaluees . . . . . . . . . . . . . . .

161

8.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

8.4 Methode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

TABLE DES MATI

ERESvii

8.4.1 Methode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

8.4.2 Commentaires et variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

8.4.3 Fonction . Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

9 Transformation de Laplace 169

9.1 Denitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

9.1.1 Abscisse de sommabilite et transformee de Laplace . . . . . . . . . . . .

169

9.1.2 Holomorphie de

^f, etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

9.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

9.2 Inversion, derivation, convolution etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

9.2.1 Inversion de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

9.2.2 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

9.2.3 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

9.2.4 Operations de derivation et integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175

9.2.5 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

9.3 Transformee de Laplace des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 76

9.4 Applications de la transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 77 9.4.1 Equations dierentielles, probleme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . .177

9.4.2 Exemple : Circuit LRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179
9.4.3 Equations lineaires aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . .181

10 Aspects de la theorie des groupes 183

10.1 Representations lineaires des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 84

10.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

10.1.2 Representations reductibles ou irreductibles . . . . . . . . . . . . . . . .

184

10.1.3 Lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

10.2 Groupes et algebres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

10.2.1 GroupesR, U(1) et SO(3). Algebre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . .1 85

10.2.2 Groupe de rotation a deux dimensions SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . .

18 6

10.2.3 Generateurs innitesimaux de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 8

10.3 Algebre de Lie de SO(3) et ses representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 90

10.3.1 Algebre de Lie so(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190

10.3.2 Representations de l'algebre so(3) et representations du groupe SO(3)). .

192

Chapitre 1

Rappels, convergence, series, fonctions

1.1 Topologie de la droite reelle (rappels)

1.1.1 Suites convergentes. Suites de Cauchy

On rappelle les denitions d'une suite convergenteundansR: u n!`2R() 89Ntel que8n > Njun`j< (c'est-a-diretouslesunsont arbitrairement pres de`, des quenest susamment grand) et d'une suite de Cauchyun2R:

8;9Ntel que8n;n0> Njunun0j< :

Toute suite convergente est de Cauchy (par l'inegalite triangulaire), mais la reciproque n'est pas evidente. Ainsi elle n'est en general pas vraie dansQ: une suite de Cauchy de rationnels ne converge pas toujours dansQ. Par exemple, la suite dansQdenie par lafraction continue u n= 2 +12 + 12 + 12 + tronquee aun-ieme denominateur, ou encore denie par la relation de recurrenceu0= 2; un= 2+ 1u n1, est une suite de Cauchy (le verier), mais ne converge pas dansQ(puisqu'elle converge vers 1+p2=2Q) : on dit queQn'est pascomplet. Au contraire, toute suite de Cauchy de reels converge dansRpar construction, voir plus bas.Rest complet : c'est cette non-convergence de certaines suites de Cauchy dansQqu'on corrige par l'introduction des nombres reels.

30 janvier 2014J.-B. Z L3 FIP 2013

2 Chap.1. Rappels, convergence, series, fonctions

Theoreme 1.1

: (a) Toute suite de Cauchy est bornee :9M8njunj< M. (b) Toute suite de Cauchyunadmettant une sous-suite convergeant vers`converge elle-m^eme vers`. Exercice : le demontrer. (Noter que ces resultats s'appliquent a des suites dansRouQ). Rappel : Denition deRpar suites de Cauchy de rationnels equivalentes

Rappelons la construction des nombres reels par les classes d'equivalence de suites de Cauchy de rationnels.

On considere l'ensemble des suitesude Cauchy (un2Q) et on dit queuvsiunvn!0. On verie

aisement qu'il s'agit bien d'une relation d'equivalence et on considere alors l'ensemble des classes d'equivalence.

On montre qu'on peut le doter des lois d'addition et de multiplication (par addition et multiplication des suites

et compatibilite avec la relation), qu'il forme un corps, qu'il contient un sous-corps isomorphe aQ, etc. Au

nal l'ensembleRest deni comme l'ensemble de ces classes d'equivalence. Une propriete utile est que deux

suitesadjacentes(un) et (vn), c'est-a-dire l'une croissante, l'autre decroissante, avecjunvnj !0, convergent

vers un m^eme reelx.

1.1.2 Ouverts, fermes. Points d'accumulation

SurRon denit les intervalles

ouv erts,] a;b[ :x2]a;b[,a < x < b, avec eventuellementa=1et/oub= +1 ferm es,[ a;b] :x2[a;b],axb,aetbnis. Un sous-ensembleborneEdeRest un ensemble a la fois majore et minore :

9m; M8x2E mxM :

Laborne superieureB(resp. inferieureb) d'un ensemble borneEest par denition le plus petit majorant (resp. le plus grand minorant) deE. Ce nombreB(resp.b) existe et est unique. (La preuve, classique mais un peu longue, procede par dichotomie; elle ne sera pas reproduite ici.) SoitERun sous-ensemble (de cardinal1) inni deR. Par denition,est unpoint d'accumulationdeEs'il existe des points deEarbitrairement proches demais distincts de , autrement dit

89x2E; x6=tel quex2];+[:(1.1)

Le point d'accumulationpeut appartenir ou non a l'ensembleE.

Theoreme 1.2

(Bolzano{W eierstrass): Tout ensembleERinni borne possede au moins un point d'accumulation.1. la denition decardinalest rappelee a l'Appendice A.1

J.-B. Z L3 FIP 201330 janvier 2014

x1.1. Topologie de la droite reelle (rappels)3 Ou de facon equivalente, toute suite (un) dansEadmet une sous-suite convergeant dansE. Esquisse de preuve : Par dichotomie : siE[b1;B1], on coupe [b1;B1] en deux moities, dont l'une au

moins, notons-la [b2;B2], a une intersection innie avecE, et on itere; cela denit une suite d'intervalles

[bn;Bn] embo^tes, dont les extremites forment deux suites adjacentes (cf ci-dessus) denissant un point. On

montre aisement queest point d'accumulation deE. On denit alors les sous-ensembles ouverts ou fermes deR: Un sous-ensembleORestouvertsi tout point deOest le centre d'unintervalleouvert entierement contenu dansO. Un ensemble fermeFRest un ensemble qui contient tous ses points d'accumulation. Unquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47