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sique, battements, lecture sur une cuve à ondes, onde station- naire et battements Exercice 1 : Questions courtes 1 À quelle distance se trouve un orage si on 

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Pourquoi peut-on dire que la houle est une onde mécanique progressive ? 1 2 Il est possible de simuler la houle au laboratoire de physique avec une cuve à

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MPSI2, Louis le GrandPropagation des ondesSemaine du 14 au 21 septembreExercices d"application :Questions courtes, Fresnel, onde unidimension-

nelle, cuve à ondes battements, lecture sur une cuve à ondes, Culture en sciences physiques :Questions courtes, Fresnel, cuve à onde, battements, onde stationnaire et battements, ondes croisées, courbes de

Lissajous

Corrigés en TD :Questions courtes, Fresnel, cuve à ondes, battements, lec- ture sur une cuve à ondes, onde stationnaire et battementsExercice 1 : Questions courtes 1. À quelle distance se trouv eun or agesi on en tendle tonnerre 5 saprès a voirvu l" éclair? 2. Que se passe- t-ilsi on in verseles fils de l"un des ha uts-parleursd"une paire. 3. Est -ilim portantde se placer en f acede ha uts-parleursm usicauxpour bien en tendre.On pourra distinguer selon la fréquence du son. 4. C omparerla vitesse des ondes de corde vibr antesur une guitare le si à 240 Hzpar exem ple et celle du son.

Exercice 2 : Représentation de Fresnel

Déterminer graphiquement l"amplitude et la phase des sinusoïdes suivantes : 1. cos( !t)+cos(!t+), 2. cos( !t)+2sin(!t), 3. cos( !t)+3cos(!t+=4).

Exercice 3 : Onde unidimensionnelle

Deux sources ponctuelles distantes d"une distancedémettent chacune une onde progressive

sinusoïdale unidimensionnelle de même fréquencefet de même amplitude se propageant à la

même vitessec, dans le même sens. Leur déphasage à l"origine est pris nul. 1. Placer ,pour chaque onde séparémen t,les poin tsoù la perturba tionest maximale :

àt= 0,

àt= 1=(2f),

àt= 1=(4f).

2. En déd uirel" allurede la somme des deux ondes pour d=cf ;c2f;c4f. 3. Retrouv erce résul taten écriv antle cham pdes perturba tions.

Exercice 4 : Cuve à ondes

On observe sur une cuve à ondes une distance entre crêtes de 5mm et la figure est immobile pour une fréquence du stroboscope de 80Hz. Que peut-on en déduire concernant la vitesse des ondes se propageant à la surface?Exercice 5 : Battements Deux cordes identiques 1 et 2 de longueur 70cm vibrent avec une fréquence fondamentale de

250Hz.

1. On r accourcitla l ongueurvibr antede l"une des cordes de 1 cm.Quelle est la fréquence d u battement qu"on entend quand on fait sonner les deux cordes en même temps? 2. La vitesse des ondes tr ansversesse propag eantle l ongd"une corde vibr antev ariecomme la racine de la tension. (a) Exprimer le r apportde leurs fréquenc esf ondamentalesen f onctiond ur apportde leurs tensions quand celles-ci sont différentes mais qu"elles ont même longueur. (b) Quelle doit être la v ariationrela tivede tension sur l"une des cordes pour qu" onen- tende des battements avec une fréquence de 2Hz. On utilisera le fait que les varia- tions relatives de fréquence et de tensions sont petites devant un.

Exercice 6 : Lecture sur une cuve à ondes

Les images de la figure 1 représentent l"état de la surface d"une cuve à ondes à différents ins-

tants. Une zone claire représente une crête et une zone sombre un creux. La surface est excitée

par deux sources, distances de 8cm. 1. On a mesuré une vitesse de propag ationde 0 ;4ms1. Déterminer la fréquence à laquelle vibrent les sources. 2.

Les trois imag esde la figure 1 on tété prises à des in tervallesde tem psréguliers. On note

tla durée entre deux images. Déterminer la plus petite valeur detpossible et classer les trois images par ordre chronologique. 3. (a) C ommentv ariel" amplitudede l" ondea upoin tA a vecle tem ps?J ustifierce com por- tement en calculant le déphasage en ce point entre les ondes issues des deux sources. (b)

Même question pour le poin tB .

Exercice 7 : Onde stationnaire

On considère deux ondes unidimensionnelles contrapropageantes. L"impulsion sur chacune est

formée d"une seule période d"une oscillation rectangulaire symétrique, de même fréquencef.

Tracer l"allure de l"onde somme :

quand les deux fronts se rencontrent (instant qu"on définira commet= 0), pourt= T=4, pourt= 3T=8, pourt= T=2, pourt= 3T=4, pourt >2T On distinguera deux cas selon la phase relative des deux ondes. Interpréter en termes d"ondes

stationnaire.Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.1/62017-2018

MPSI2, Louis le GrandPropagation des ondesSemaine du 14 au 21 septembre-8-7-6-5-4-3-2-1012345678 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8AB (a) -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8AB (b) -8-7-6-5-4-3-2-1012345678 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8AB (c) Figure1 - Simulations d"une cuve à ondes. Les échelles sont en cm.

Exercice 8 : Onde stationnaire et battements

On considère deux ondes unidimensionnelles contrapropageantes de même amplitude et de fréquences proches, respectivementf0etf0+f, avecff0. On notecleur vitesse commune et on considère pour simplifier que la phase de chacune est nulle àt= 0 à l"originex= 0. 1.

Déterminer le cham pdes perturba tions.

2. Décrire précisémen tce qu" onobserv equand fest non nul et positif.

Exercice 9 : Ondes unidimensionnelles croisées

On considère deux ondes planes unidimensionnelles sinusoïdales de même fréquence, de même amplitude et contrapropageantes dont les directions de propagation font un angle assez faible entre elles : la direction de l"une est donnée par cos(=2)#ex+sin(=2)#eypour l"une

etcos(=2)#ex+sin(=2)#eypour l"autre (voir ci-dessous) :1.Représen terles fron tsoù la perturba tionest respectiv ementmaximale, minimale et n ulle

pour chaque onde aux instantst= 0 ett=2!. En déduire l"allure de la figure d"interfé- rences.2.Retrouv erce résul taten déterminan tl" expressiond ucham pdes perturba tions.

Exercice 10 : Courbes de Lissajous

Un point est animé d"un mouvement plan. Ses coordonnéesxetysont données par : x=x0cos!xt y=y0cos(!yt+') Les trajectoires obtenues sont nomméescourbes de Lissajous. 1. À quelles conditions la tr ajectoireest -ellef er- mée? Quelle caractéristique présente alors le mouvement? 2. T racerl" allurede la tr ajectoirecorrespondan tà y= 3!x;'= 0 3.

Donner les équa tionsdes tr ajectoirescorres-

pondant à!x=!yet'= 0 puis'==2 et '=, et tracer ces courbes. -1-0,500,51-1-0,500,51 ABB ?A?C D C ?D x/x

0y/y04.EOn peut montrer que la trajectoire est toujours une ellipse si!x=!y. Montrer que dans

ce cas a :jsin'j=B0BA

0A=D0DC

0C, ces distances étant définies sur la trajectoire ci-dessus, pour

'==4.Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.2/62017-2018

MPSI2, Louis le GrandPropagation des ondesSemaine du 14 au 21 septembreCorrection de l"exercice 1 1. La vitesse d uson ( cs= 340ms1) est très faible devant celle de la lumière (c`=

3;00108ms1). On peut donc considérer que cette dernière se propage instantané-

ment. Lors d"un orage, l"éclair et le coup de tonnerre sont produits quasi-simultanément.

La lumière de l"éclair parvient instantanément à un observateur situé à une distanced

alors que le tonnerre arrivera au bout de la duréet=d=cs. Pourt= 5s, on calcule d=cst= 1;7km. 2. Dans le cas d"un son en mono, le signal est le même sur les deux ha ut-parleurs.In verserles deux fils rouge et noir sur l"un des haut-parleurs revient à mettre le signal en opposition de phase entre les deux hauts-parleur. En un point équidistant des deux haut-parleur, on aura donc une interférence destructive,iepas de son. Cette extinction n"est cependant pas totale pour un auditeur puisque la taille de son crâne n"est pas négligeable devant la longueur d"onde d"un signal audible : l"interférence ne peut pas être destructive dans les deux oreilles en même temps. 3. Si l" onn "estpas en f aced"un ha ut-parleur,il f autcom ptersur la di ffraction des ondes sonores pour entre le son. Avec une célérité dec= 340ms1, on calcule les longueurs d"onde :(20Hz) = 17m et(20kHz) = 1;7cm. Les sons audibles les plus aigus ont donc des longueurs d"onde trop petites pour être efficacement diffractés et ne pourront être bien entendus qu"en face d"un haut-parleur. Les plus graves seront en revanche très bien diffractés. 4. Sur une corde vibr ante,le mode f ondamentalcorrespond à une l ongueurd" ondedouble de la longueur de la corde, de l"ordre de 64cm, soitc= 1;3m. Pour cette fréquence, la longueur d"onde dans l"air, avecc= 340ms1esta= 1;4m, très proches. Les autres cordes ont cependant la même longueur (et donc la même longueur d"ondec) alors que leur longueur d"onde dans l"air peut être très différente (la plus grave a une fréquence fondamentale de 82Hz). Correction de l"exercice 21.Le premier cas est une onde d" amplituden ulle, 2.

P ourle deuxième, on peut écrire :

cos(!t)+2sin(!t) = cos(!t)+2cos(!t=2): Le théorème de Pythagore donne une amplitude X

2=p1+2

2=p5; et on lit tan(2) =2 soit,

puisque cos(2)>0,2= arctan(2) =63°. 3.

Dans ce cas, le théorème d" Al-Kashidonne :

X

3=q1+3

2+23cos(=4) = 3;8:

On détermine l"angle avec la formule des sinus : sin(3)3 =sin(=4)X

3!sin(3) = 0;558;

soit, puisque32[0;=2],3= arcsin(0;558) = 33°.X 2θ 2X 3θ

3Correction de l"exercice 3

1.t= 0La première onde a ses maxima en x= 0[], avec=c=fsa longueur d"onde. Pour la

deuxième onde ils sont àx=d[]. t= 1=(2f)Les ondes on tprogressé de x=c=(2f) ==2. Les maxima de la première sont désormais enx==2[] et deux de la deuxième enx=d+=2[], t= 1=(4f)Les ondes on tprogressé de x=c=(4f) ==4. Les maxima de la première sont désormais enx==4[] et deux de la deuxième enx=d+=4[]. 2. Les trois ondes somme son tsin usoïdalesde fréquence f. d=c=(f)Les ondes son ten phase, on a une onde d" amplitudedouble. d=c=(2f)Les ondes son ten opposition de phase, la somme est n ulle. d=c=(4f)Les maxima de la somme son ten trex= 0[] etx==4[].

On illustre ces résultats sur la figure suivante.0λ2λ3λxξ0λ2λ3λxξ0λ2λ3λxξ

Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.3/62017-2018

MPSI2, Louis le GrandPropagation des ondesSemaine du 14 au 21 septembre3.L "ondesomme a pour expression, dans tous les cas :

cos 2f txc +cos 2f txdc Les deux derniers cas sont évidents. Pour le premier, on met cette expression sous la forme

Xcos(2(txc

+')) au moyen d"une construction de Fresnel. On obtient X =p2 et'=

22;5° en accord avec la figure précédente.

Correction de l"exercice 4

du stroboscope. La distanced= 5mm est alors la longueur d"onde. Sous cette hypothèse la durée nécessaire pour que l"onde parcourt une longueur d"ondedest la période du stroboscope T = 1=f. On calcule alors la céléritéc=df= 40cms1. L"interprétation peut cependant être plus complexe : l"onde peut avoir parcouru un nombre entier de fois sa longueur d"onde entre deux flashs

du stroboscope; la céléritécsera alors un multiple de celle déterminée précédemment.

l"onde peut également avoir parcouru une fraction entière (1=navecnentier) de sa lon- gueur d"onde. Si la fréquence est suffisamment élevée, la persistence rétinienne donnera l"illusion que pendantnflash, les crêtes placées successivement en 0;=n;2=n:::sont ob-

servées simultanément. Dans ce cas la distance entre crête observée est une fraction de la

longueur d"onde et la véritable célérité sera un multiple de celle déterminée précédem-

ment.

Correction de l"exercice 5

1.

La condition de corde vibr antedonne =c2L

, avecla fréquence du monde fondamental et L la longueur de la corde. On a donc : (69)(70)=7069 !(69)(70)(69)=706969 '1;4% On a donc(69) = 254Hz. On sait que la fréquence du battement est la différence entre les deux fréquences qui battent, soit 4Hz ici.

On a tracé ci-contre la courbe repré-

sentant le battement somme de deux fréquences proches de0, qui diffèrent de. On y distingue des oscillations quasi-sinusoïdales à0dont l"amplitude varie elle-aussi sinusoïdalement avec une fréquence. La courbe en trait interrompus représente la fonction dite "enveloppe», d"équation cos2()t2 de période=2.01Δν

t1/ν0?la période 1=ν0n"est pas, dans le cas général, rigoureusement égale à la distance entre

deux maxima locaux de la courbe bien qu"elle en soit proche. En revanche, il est tout à fait légitime de faire cette approximation quandΔνν0. 2. (a) (b) 1.

On écrit :

X

0cos(2f1t)+X0cos(2f2t) = 2X0cos 2(f1+f2)t2

cos 2(f1f2)t2 = 2X

0cos(2f0t)cos 2(Δf)t2

en posantf0(f1+f2)=2 etΔf=f1f2. 2. Notons fla fréquence d"une des deux cordes, dont on note X la tension etcla célérité

des ondes acoustiques. Notons de mêmef+Δfla fréquence de l"autre,c+Δcla célérité et

X+ΔX la tension. Les deux cordes ayant la même longueur, on a : f+Δff =c+Δcc !Δff =Δcc Comme on l"a vu dans les calculs d"imprécisions, puisquecvarie comme la puissance 1=2 de X, on a :Δcc =12

ΔXX

Pour une variation relative de fréquence de 2=250 = 8103, il faudra donc avoir une va- riation double, soit 1;6102de la tension.

Correction de l"exercice 6

1. On lit une qua trel ongueursd" ondeen treles deux sources distan tesde 8 cm.On a donc = 2;0cm, soit une fréquenceν=c== 20Hz. 2. Sur les imag es1b et 1c l" excitationest n ulleen treles deux sources. C ommecette zone correspond à une onde stationnaire, on en déduit que les instants correspondants (notés t bettc) sont séparés d"un multiple d"une demi-période. De plus le reste de la figure n"est pas identique : l"onde est donc en opposition de phase entre ces deux instants : on a donc j tctbj= (p+1=2)T, avec T la période etp2N. Sur l"image 1a en revanche, l"excitation dans la zone d"onde stationnaire est maximale, l"onde y est donc en quadrature par rapport aux deux autres images, soit jtatbj= (2q+

1) + T=4, avecq2N. La plus petite duréeΔtest donc T=4 et les trois instants sont alors

séparés d"un quart de période exactement, soitΔt= T=4 = 1;25102s. Enfin, en regardant la zone d"onde progressive, à droite de la source A par exemple, on constate que la frange sombre située sur la source A sur l"image 1b a progressé d"un

14deJulien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.4/62017-2018

MPSI2, Louis le GrandPropagation des ondesSemaine du 14 au 21 septembrelongueur d"onde sur l"image 1a et encore de la même distance sur l"image 1c. La chrono-

logie est donc : image 1b!image 1a!image 1c. 3. (a) A upoin tA ,l" excitationest toujours n ulle.En e ffet, on peut lire que les distances entre chacune des sources et ce point sont 10cm et 3cm, elles diffèrent donc de 7cm, soit

3;5. Les ondes interfèrent bien destructivement en ce point.

(b) A upoin tB ,l" excitationoscille a vecune am plitudemaximale. On lit ici que les dis- tances aux deux sources sont respectivement 9;5cm et 5;5cm. Elles diffèrent de 2: les ondes interfèrent bien constructivement en ce point.

Correction de l"exercice 7

Dans le cas où les deux ondes sont en phase à l"instant initial on obtient les profils suivants

dans lesquels les ondes contrapropageantes sont en traits interrompus et leur somme en trait

continu. Les amplitudes des ondes individuelles ont été diminuées d"un facteur 1=3 pour faci-

liter la lecture.xξ xξ xξ xξ xξ xξ; Dans le cas où elles sont en opposition de phase, on obtient : xξ xξ xξ xξ xξ xξ; Le deuxième cas illustre, si l"on ne regarde que la moitié gauche de la figure le cas de la réflexion d"une onde sur une paroi pouvant donner naissance à une onde stationnaire, si l"onde incidente est une sinusoïde permanente.

Correction de l"exercice 8

1. On est dans le cas d"une onde sta tionnaireclassique. On a : (x;t) = Acos(2f0(tx=c))+Acos(2f0(t+x=c)) = 2Acos(2f0t)cos(2x=); avec=c=f0. 2.

On cal culede la même manière :

(x;t) = Acos(2f0(tx=c))+Acos(2(f0+f)(t+x=c)) = 2Acos(2(f0+f2 )t)cos(2f t2 +2x=) Comme dans le cas d"un battement, le premier cosinus oscille temporellement beaucoup plus vite que le deuxième. On a donc une figure d"onde stationnaire qui régresse lente- ment à la vitessef =2. En effet les points où l"amplitude de l"oscillation àf0+f =2 est maximale sont, à un instantt, tels que cos(2f t2 +2x=) est d"amplitude maximal, soit tels que :

2(f t=2+x=) =k:

Notonsxk(t) la position d"un tel point, on a :

x k=k=2f t=2!dxkdt=f =2:

Correction de l"exercice 9

1. Les deux ondes séparémen tdonnen tles deux premières figures représen téesci-dessous. Leur somme donne la troisième, pour= 40. La figure d"interférences "défile» ensuite

uniquement selon#ey, à la vitessef=sin(=2).Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.5/62017-2018

MPSI2, Louis le GrandPropagation des ondesSemaine du 14 au 21 septembre2.Le v ecteurd" ondea pour norme k= 2=. Posonskx=kcos(=2) etky=ksin(=2). Le

retard en un point de coordonnées (x;y) peut s"écrire pour la première onde commekxx+ k yy. Pour la première onde, on peut écrire la perturbation comme :

1= Acos!tkxxkyy:

Pour la deuxième, c"est :

2= Acos!t+kxxkyy:

La somme est :

1+2= 2Acos(!tkyy)cos(kxx):

On reconnaît le produit d"une onde progressive selon #eymultipliée par une enveloppe d"onde stationnaire selon#ex. E

Correction de l"exercice 10

1. Si la tr ajectoireest f ermée,il existe a umoins une da tetet une durée T tels que M(t) =

M(t+ T), soit :8

>><>>:cos!x(t+T) = cos!xt cos!y(t+T) = cos!yt, soit8 xT = 2p yT = 2q, soit encore!x=!y2Q: les deux pulsations sont ditescommensurables. Comme les fonctionsx(t) ety(t) sont alors périodiques, la trajectoire est périodique, et une période en est T = 2p=!x= 2q=omegay. 2. La pl uspetite période d umouv ementest ici 2 =!x. On détermine la trajectoire sur l"in-

tervalle [0;=(2!x)], le reste s"en déduira par des symétries simples.06!xt6=2!06!yt63=2. Sur cet in-

tervalle, y décroît de 1 à1 puis croît de

1 à 0.

=26!xt6On ax(t) =x(=!xt), avec =!xtcompris dans l"intervalle précé- dent et de mêmey(t) =y(=!xt). La trajectoire sur ce domaine est la symé- trique par rapport à l"origine de la tra- jectoire sur [0;=(2!x)]. =26!xt60.Puisquex(t) ety(t) sont paires, cette partie de la courbe est iden- tique à celle pour [0;=(2!x)].-1-0,500,51 xox0-1-0,500,51

yoy0La trajectoire pour (!y= 3!x;'= 0) est représentée sur la figure ci-dessus en trait continu.

On y a également représenté, en traits interrompus, la trajectoire correspondant à (!y=

3!x;'==2).

3. (!x=!y;'= 0):on ax=x0=y=y0, la trajectoire est une droite de pente +1, (!x=!y;'==2):on axx 0 2+yy 0

2= 1, la trajec-

toire est un cercle, (!x=!y;'=):on ax=x0=y=y0, la trajectoire est une droite de pente1. -1-0,500,51-1-0,500,51 x/x0 y/y04.Le poin tD est a tteintpour x= 0;y >0, soit (pourx0>0 ety > y0et'>0)!t= 3=2 où yvautyD=y0cos(3=2+') =y0sin'=yCsin'puisque le maximum atteint pary, égal à y

Cesty0. On a donc :

jsin'j=B0BA

0A=D0DC

0C; en considérant les autres points. On doit utiliser une valeur absolue car si'est négatif, le même raisonnement sera tenu avec les points D

0et C0. Cette technique ne permet donc

pas de déterminer le signe de la phase.Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/.6/62017-2018

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50