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2 juil 2018 · Les vecteurs Le point de vue géométrique Milieu d'un segment Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] −→ AB + −−→ AC = −→ AI +

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Seconde/Milieu d'un segment, norme et vecteurs colinéaires 1 Autour de la longueur : Exercice 8294 On considère le plan muni du repère ( O ; I ; J )

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Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] donc (IJ) est parallèle à (BC) P 13 Si deux droites sont symétriques par rapport à un point  

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Vecteurs coplanaires ou non Soient −→u, −→v et −→w trois vecteurs non coplanaires Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont (xA + xB 2

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rectangle en C, M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC et AB = 4 cm Quelle est la longueur du segment [AM] ? Justifie ta réponse Dans le triangle 

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Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphique Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées : ( A + B) ( A + B)  

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Alors les coordonnées du point K , milieu du segment [AB] sont xK = xA +xB 2 yK = Propriété 3 Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées 3 Distance  

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es de révision sur les vecteurs et on note I le milieu du segment [ BC ] fonction de BC nction de AB et AC de [AB] et N le milieu de [AC] MN = BC en utilisant la  

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Caractérisations vectorielles du milieu d'un segment A et B sont 2 points I est le milieu de [AB] si et seulement si pour tout point M du plan on a : MA

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Définition

Un vecteur?udont un représentant est le vecteur-→AB , est une classe d"équivalence définie par :• une direction : celle de la droite (AB) un sens : de A vers B une longueur appelé norme du vecteur?uet notée ?u||ou||-→AB||.

Il s"agit de la distance AB?0

AB u? u u

Remarque :

Par abus de langage, on dira indistinctement

le vecteur ?uou le vecteur-→AB

Somme de deux vecteurs - Relation de Chasles

Pour additionner deux vecteurs?u=-→AB et?v=-→BC on utilise la relation de Chasles : AB BC AC ?u? v u+?v AB C

Règle du parallélogramme

OA OB OC --→OA+-→OBOA B C

L"addition de deux vecteurs est :•commutative

:?u+?v=?v+?u

•associative

possède un

élément neutre

:?0 tout vecteur-→AB possède un opposé -→BA=--→AB .

Application de la relation de Chasles

La relation de Chasles permet :•

d"" éclater » un vecteur en introduisant un point : AB AC CB de réduire une somme : --→MN+--→NA? ?+-→AP=--→MA+-→AP? ?=--→MP La relation de Chasles est un outil fondamental pour montrerquedesvecteurs sontcolinéaires parexemple. Égalité de deux vecteurs - Milieu d"un segment -→AB=--→CD?

ABDC parallélogramme

AB C D

I milieu du segment [AB]

???A I B -→AI=1

2-→AB ou-→AI=-→IB ou-→AI+-→IB=?0

Les vecteurs

Le point de vue géométrique

Milieu d"un segment

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC].

=2-→AI+-→IB+-→IC? ?0=2-→AI

On retient :

-→AI=1

2(-→AB+--→AC)

Centre de gravité d"un triangle

Soit ABC un triangle alors ses trois médianes sont concourantes au centre de gravité G.

Soit I le milieu de [BC], on a alors :

G centre de gravité --→AG=2

3-→AI

--→GA+-→GB+--→GC=?0 CA B I G

Multiplication par un scalaire

Soitkun réel, le vecteurk?ucorrespond :

à un vecteur de longueur|k| × ||?u||

de même sens que?usik>0 de sens contraire à?usik<0 La multiplication par un réel est bilinéaire : k(?u+?v) =k?u+k?vet(k+k?)?u=k?u+k??u

Application du produit par un scalaire

On dit que?uet?vsont colinéaire ssi?v=k?u,k?R

A, B, C alignés?-→AB et--→AC colinéaires

(AB)//(CD)?-→AB et--→CD colinéairesCes deux équivalences sont fondamentales en géométriecar elles s"utilisent très souvent!

PAUL MILAN

DERNIÈRE IMPRESSION LE2 juillet 2018 à 11:39PREMIÈRE S

Un exemple d"application de la colinéarité

Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :-→AE=1

3-→BC ,-→CI=2

3-→CB et-→AF=1

3--→AC .

Démontrer que I, E et F sont alignés

Exprimons-→EI et-→EF en fonction de-→AB .

•-→CI=2

3-→CB donc-→BI=1

3-→BC .

On en déduit que

-→AE=-→BI donc que AEIB est un parallélogramme.

On a alors :

-→EI -→AB

•-→EF

=-→EA+-→AF 1

3-→CB+1

3--→AC

1

3(--→AC+-→CB) =

13-→AB

A B CE I F

On en déduit alors :-→EF=1

3-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc les

points E, F et I sont alignés.

Pour aller plus loin - Notion de barycentre

On appelle

barycentre de deux points A et B associés aux coefficientsαetβ, le point

G tel que :

α--→GA+β-→GB=?0 avecα+β?=0

(1) On note alors G barycentre des points pondérés(A,α)et(B,β)

Remarque :

Lorsque

, on dit que G est l" isobarycentre des points A et B.

Le point G est alors le

milieu du segment [AB].

De cette définition (1), on montre que

--→AG=β

α+β-→AB

(2)

Exemple :

Soient A et B deux points.

Placer le barycentre G

1des points pondérés respectifs (A, 2), (B, 1).

D"après (2), on a :--→AG1=12+1-→AB=1

3-→AB

??AB ?G1

Formule de réduction :

Si G est le barycentre de (A,α) et (B,β) alors?M : α--→MA+β--→MB= (α+β)--→MG Cette formule de réduction permet de déterminer les lignes de niveau c"est à dire de déterminer puis tracer l"ensemble des points M qui vérifientune relation vectorielle.Exemple : Déterminer l"ensemble des points M qui vérifient :||2--→MA+3--→MB||=10 Soit G barycentre de (A, 2) et (B, 3), on a alors : 2 --→MA+3--→MB=5--→MG

L"égalité devient :||5--→MG||=10?MG=2

L"ensemble demandé est donc le cercle de centre G est de rayon2.

De même, on définit le

barycentre G de 3 points pondérés (A,α), (B,β) et (C,γ) : α--→GA+β-→GB+γ--→GC=-→0 avecα+β+γ?=0

Remarque :

L"isobarycentre

de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.

On généralise avecnpoints pondérés :Le barycentre G de(A1,α1),(A2,α2), ...,(An,αn)est défini par :

n∑ i=1α i--→GAi=-→0 avecn∑ i=1α i?=0

PAUL MILAN

PREMIÈRE S

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