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Etude de fonctions irrationnelles - Exercice i2-03

Etudier la fonction

f(x) =r4x3x+ 2 en traitant les points suivants : a) domaine de denition; b) zero(s) et signe def; c) limites et asymptotes (verticales et anes); d) extremums et tableau de variations (sans faire usage de la derivee seconde); e) graphique. Liste d'exercices corriges: etudes de fonctions irrationnelles

Corrige

a) Ensemble de denition f(x) est deni()4x3x+ 20x xx1

11000 222111Sign(-4x3)Sign(-4x3)Sign(-4x3)+ 0

Sign(-x+2)

Sign(-x+2)Sign(-x+2)+ + + 0Sign(

4x3x+2

Sign(

4x3x+2

Sign(

4x3x+2+ 0 k+D

f=] 1;0][]2;1[ b) Signe de la fonction Z f=f0gx xx1

11000 222111Sgn(f(x))

Sgn(f(x))Sgn(f(x))+ 0 ////k+c) Limites et asymptotes lim x#2f(x) =r320 =1; asymptote verticale simplex= 2 lim x!1f(x) = limx!1s4x21 +2x =1; aucune asymptote horizontale Etude d'une fonction irrationnelle - Corrige de l'exercice i2-03 2a

1= limx!1f(x)x

= limx!1jxjx r4xx+ 2= limx!1s41 +2x = 2 a

2= limx!1f(x)x

= limx!1jxjx r4xx+ 2= limx!1(1)s41 +2x =2 b

1= limx!1(f(x)a1x) = limx!1

q4x3x+22x q4x3x+2+ 2xq

4x3x+2+ 2x= limx!14x3x+24x2q

4x3x+2+ 2x

= lim x!18x2(x+ 2) q4x3x+2+ 2x = limx!18 1 +2x q4xx+2+ 2 = 2; asymptote oblique simpley= 2x+ 2 du c^ote de +1 b

2= limx!1(f(x)a2x) = limx!1

q4x3x+2+ 2x q4x3x+22xq

4x3x+22x

= lim x!14x3x+24x2q

4x3x+22x= limx!18x2(x+ 2)

q4x3x+22x = lim x!18 1 +2x q4xx+22 =2; asymptote oblique simpley=2x2 du c^ote de 1 d) Tableau de variations f

0(x) =

4x3x+ 2

12 !0 =12

4x3x+ 2

12

4x3x+ 2

0 12 rx+ 24x3(12x2)(x+ 2)(4x3)(1)(x+ 2)2 12 rx+ 24x312x324x24x3(x+ 2)2=12 rx+ 24x38x324x2(x+ 2)2 12 rx+ 24x38x2(x3)(x+ 2)2=4x2(x3)(x+ 2)2rx+ 24x3 Z f0=f3g Etude d'une fonction irrationnelle - Corrige de l'exercice i2-03 3x xx1

11000 222 333111Sign(x-3)

Sign(x-3)Sign(x-3) 0 +

Sign(f'(x))

Sign(f'(x))Sign(f'(x)) k////k 0 +Var(f)

Var(f)Var(f)1

01 6 p3 1 %min. relatiff(3) = 6p3'10:39 min. de bordf(0) = 0 e) Graphique-4-2246 5 10 15quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41