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Maximum ; minimum Exemple : On reprend la fonction f définie dans l'exemple du paragraphe 1 Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 ; 5], on a : f (x) ≤ 6,25
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CQP 208
Chapitre 5
Optimisation
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
20 novembre 2015
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Plan du chapitre
1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
2Extremums absolus d"une fonction
3Problèmes d"optimisation
4Références
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Test de la dérivée première
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle ferméTest de la dérivée seconde
2Extremums absolus d"une fonction
3Problèmes d"optimisation
4Références
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionIntervalles de croissance et de décroissance d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonction1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Test de la dérivée première
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle ferméTest de la dérivée seconde
2Extremums absolus d"une fonction
3Problèmes d"optimisation
4Références
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionIntervalles de croissance et de décroissance d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonction Dans certaines situations, il est essentiel de connaître lescoordonnées des sommets (point le plus haut et point le plus bas) d"une fonction. Ceux-ci correspondent à ses optimums. Entre les sommets, la courbe seracroissanteoudécroissante. Cette étudesera faite à l"aide du signe de la dérivée.Une fonctionf(x)estcroissantesur un intervalleIsif(x1)
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionIntervalles de croissance et de décroissance d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonction Au chapitre 2, nous avons relié la croissance et la décroissance d"une fonction ausignede sa dérivée première. Énonçons cette relation sous la forme d"un théorème.Optimisation7 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionIntervalles de croissance et de décroissance d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonctionOptimisation8 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionIntervalles de croissance et de décroissance d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonctionSelon la valeur de la variable indépendante, la dérivée d"une fonction peut êtrepositive,
négative,nulleouinexistante. Soitx2Dom(f). Nous dirons quexest unevaleur critiquedefsif0(x) =0 ouf0(x)n"existe pas.Optimisation9 / 50 Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Test de la dérivée première
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle ferméTest de la dérivée seconde
2Extremums absolus d"une fonction
3Problèmes d"optimisation
4Références
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Soit ue fonctionf(x)etc2Dom(f).Le point(c;f(c))est un point demaximum relatifsi, pour toutxprès dec, nous
avonsf(x)f(c).Le point(c;f(c))est un point deminimum relatifsi, pour toutxprès dec, nous avonsf(x)f(c). L"énoncépour tout x près de csignifie que l"on considère toutes les valeurs dexsur un petit intervalle ouvert autour dec. Les minimums relatifs et maximums relatifs d"une fonctionf(x)sont appelésextremums relatifsde la fonctionf(x). Le théorème suivant nous indiqueoù trouver ces extremums relatifs.Optimisation11 / 50 Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Le théorème précédent permet donc de repérer les endroits où la fonction est susceptible
d"admettre des extremums relatifs. Il reste donc à déterminer si la fonction y atteint bel et bien un extremum relatif.Optimisation12 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Optimisation13 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée premièreTest de la dérivée première
1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Test de la dérivée première
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle ferméTest de la dérivée seconde
2Extremums absolus d"une fonction
3Problèmes d"optimisation
4Références
Optimisation14 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée premièreTest de la dérivée première
Énonçons maintenant un théorème appelétest de la dérivée premièrequi nouspermettra dedéterminer les pointsde maximum et de minimum relatif d"une fonction.Optimisation15 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée premièreTest de la dérivée première
De ce théorème, on peut déduire une procédure pour déterminer les extremums relatifsd"une fonction :1Calculer et factoriserf0(x), si c"est possible, car la factorisation aide à déterminer les
valeurs critiques.2Déterminer les valeurs critiques def.3Construire le tableau des signes def0(x).4Utiliser le test de la dérivée première pour déterminer les extremums relatifs de la
fonctionf(x).Optimisation16 / 50 Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée premièreTest de la dérivée première
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée premièreTest de la dérivée première
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction sur un intervalle fermé
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle fermé1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Test de la dérivée première
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle ferméTest de la dérivée seconde
2Extremums absolus d"une fonction
3Problèmes d"optimisation
4Références
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction sur un intervalle fermé
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle fermé Le cas des fonctionsdéfinies sur un intervalle ferméde la forme[a;b]est un peu particulier. Le théorème précédent est toujours utile pour déterminer les extremumsrelatifs sur l"intervalle ouvert]a;b[, mais il faut aussigérer les extrémités de l"intervalle.
C"est ce que propose de faire le théorème suivant :Optimisation20 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction sur un intervalle fermé
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle ferméOptimisation21 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction sur un intervalle fermé
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle ferméOptimisation22 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée secondeTest de la dérivée seconde
1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
Intervalles de croissance et de décroissance d"une fonctionExtremums relatifs d"une fonction
Test de la dérivée première
Extremums relatifs d"une fonction sur un intervalle ferméTest de la dérivée seconde
2Extremums absolus d"une fonction
3Problèmes d"optimisation
4Références
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Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée secondeTest de la dérivée seconde
On s"attarde dans cette section à définir le lien qui existe entre les extremums relatifs d"une fonction et lesigne de la dérivée secondede cette même fonction.Optimisation24 / 50 Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée secondeTest de la dérivée seconde
On peut bien entendu formaliser le résultat intuitif obtenu en observant la figure précédente :Optimisation25 / 50
Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonctionTest de la dérivée secondeTest de la dérivée seconde
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Extremums absolus d"une fonction
Extremums absolus d"une fonction
1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
2Extremums absolus d"une fonction
Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle non fermé3Problèmes d"optimisation
4Références
Optimisation27 / 50
Extremums absolus d"une fonctionExtremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé1Croissance, décroissance et extremums relatifs d"une fonction
2Extremums absolus d"une fonction
Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle non fermé3Problèmes d"optimisation
4Références
Optimisation28 / 50
Extremums absolus d"une fonctionExtremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé La recherche d"une solution optimale à une fonction nous oblige à chercher plus loins que les extremums relatifs. Nous souhaitons trouver la valeur maximale ou minimale de cette fonction sur tout son domaine ou sur un intervalle. Cela nous amène donc à définir les notions demaximum absoluet deminimum absolu.Soit une fonctionf(x)etc2Dom(f).Le point(c;f(c))est un point demaximum absolusi pour toutx2Dom(f), nous
avonsf(x)f(c).Le point(c;f(c))est un point deminimum absolusi pour toutx2Dom(f), nous avonsf(x)f(c). Le minimum absolu et le maximum absolu d"une fonctionf(x)sont appelésextremums absolus(ouextremums globaux) de la fonctionf(x).Optimisation29 / 50 Extremums absolus d"une fonctionExtremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle ferméOptimisation30 / 50
Extremums absolus d"une fonctionExtremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle ferméOptimisation31 / 50
Extremums absolus d"une fonctionExtremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Ainsi, si on trace une courbe continue sur un intervalle[a;b], c"est-à-dire sans lever la pointe du crayon, alors cette dernière possède nécessairement un maximum absolu et un minimum absolu.Optimisation32 / 50
Extremums absolus d"une fonctionExtremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle ferméOptimisation33 / 50
Extremums absolus d"une fonctionExtremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Comme tout à l"heure, il est possible d"établir une procédure afin de localiser lesextremums absolus d"une fonction continuef(x)sur un intervalle fermé[a;b].1Déterminer les candidats potentiels :x=a,x=bet toutes les valeurs critiques de
f(x).2Évaluer la fonctionf(x)à chacune de ces positions.3Le maximum absolu correspond àla plus grande valeurobtenue à l"étape
précédente, et réciproquement, le minimum absolu correspond àla plus petite valeurobtenue à l"étape précédente.Optimisation34 / 50 Extremums absolus d"une fonctionExtremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d"une fonction sur un intervalle fermé