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Corrigé du baccalauréat ES Maths juin 2013 Métropole Exercice 1 4 points Commun

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7 juin 2013

Exercice 15 points

Commun à tousles candidats

1.f(ln2)=ln2×e-ln2. Or,-ln2=ln1

2et e-ln2=12.

Ainsi,f(ln2)=1

2ln2; RÉPONSE D.

2. Onutiliselaformulededérivationd"unproduitet:f?(x)=e-x+x(-e-x)=

(1-x)e-x; RÉPONSE C.

3. On sait que l"équation de cette tangente esty=f?(0)(x-0)+f(0) avec

f ?(0)=1 etf(0)=0. Doncy=x; RÉPONSE C.

4.f??(x)=(x-2)e-xetf??(x)<0 sur ]-∞; 2]. Doncfest concave sur

]- ∞; 2]; RÉPONSE A.

5. À la calculatrice, on trouve,?1

0f(x)dx=-2

e+1; RÉPONSE C.

Exercice 25 points

Candidats de ES n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité et candidats de L

1. (a) D"après l"énoncé, la probabilité de l"évènement : le client interrogé

a choisi la formule "avion + hôtel» et l"option "visites guidées» est

égale à 0,12.

(b)PA(V)=P(A∩V)

P(A)=0,120,4=0,3.

2. (a) On utilise la formule des probabilitéstotales :

(b)P

V(A)=P(

V∩A

V=0,4×0,71-0,42=0,483.

3. SoitXla variablealéatoiredonnantle coût d"unweek-end à Londres. La

loi de probabilité deXest alors :

A. P. M. E. P.

xi390490510610

P(X=xi)0,280,120,30,3

L"espérance mathématiquedeXest égale à : end à Londres. Le chiffre d"affaire espéré par l"agence pour50 clients est donc égal à 50×504=25200e.

Exercice 25 points

Candidats de la série ES ayant suivi l"enseignementde spécialité

Partie A

1. Graphe probabilistereprésentant la situation:

A B 0,15 0,1

0,850,9

2. (a) Matrice de transition:M=?0,85 0,15

0,1 0,9?

(b) En 2013,n=3 etP3=P0×M3=?0,61 0,39?. (c) On sait queP=P×Md"où?a=0,1b+0,85a b=0,9b+0,15a. Ces deux égalités amènent à l"équation 0,15a-0,1b=0. On sait de plus quea+b=1 donc on a le système?a+b=1

0,15a-0,1b=0d"où :

?a=1-b

0,15-0,15b-0,1b=0???a=1-b

b=0,15

0,25=0,6???a=0,4

b=0,6 Ainsi, le système se stabilise autour de l"état stableP=?0,4 0,6?ce qui signifie qu"àlong terme, le fournisseur d"accès B possédera 60 % du marché.

Partie B

1. Celarevientàrésoudrelesystème?s+c=550 (nombre total d"objets)

0,8s+1,2c=540 (coût total).

2. SoitR=?1 1

0,8 1,2?

la matrice des coefficients,X=?s c? la matrice co- lonne représentant les deux inconnues etT=?550540? la matrice colonne représentant le second membre.

Baccalauréat ES POLYNÉSIE7JUIN20132/4

A. P. M. E. P.

On a alorsR×X=T???s+c=550 nombre total d"objets

0,8s+1,2c=540 coût total.

3.X=R-1×T=?300250?

L"entreprise B a distribuée300 stylos et 250 porte-clés.

Exercice 35 points

Commun à tousles candidats

1. On notetle taux d"évolution annuel moyen des montants à l"exporta-

tion des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011. On a alors :

81295×(1+t)3=63182 soit (1+t)3=63182

81295

Ainsi, 1+t=?63182

81295?

3≈0,9194.

Donct≈0,9194-1=0,0806, ce qui correspond à une baisse de 8,06% par an.

2. Si on saisitP=50000 entrée, on obtient3+2011=2014en sortiepar cet

algorithme. Cela signifie que les montants réalisés à l"exportation des produits perliers passera sous les 50000een 2014 si la baisse de 8 % se poursuit.

3. (a) On passe d"un terme au suivant en multipliant par 1-8

100=0,92.

Ainsi,

(un)est une suite géométrique de 1ertermeu0=63182 et de raisonq=0,92. (b)un=u0×0,92n (c) En 2016,n=5 etu5=63182×0,925=41642.

4. Cela revient à calculer la sommeS9=u0+u1+···+u9.

9=u01-0,9210

1-0,92=446706.

Exercice 45 points

Commun à tousles candidats

A. Étude de la zone 1

1. Lacourbededensitédeprobabilitéestsymétriqueparrapportàladroite

d"équationx=μ. Par lecture graphique,μ=150.

2. À la calculatrice, on trouveP(150?X?210)=0,48.

3.P(X?120)=1-P(X?120)=0,84.

4. Non; eneffet, la courbeétant symétriquepar rapportà la droited"équa-

tionx=μ,P(X?μ)=0,5.

Finalement, sik>μ,P(X0,5.

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A. P. M. E. P.

B. Étude de la zone 2

1. (a)f=15

50=310=0,3.

(b)I=? f-1 ?50;f+1?50? [0,159 ; 0,441].

2. Lacourbedelafonctiondedensitéestsymétriqueparrapportàladroite

d"équationx=205, ce qui exclut la courbe 3. De plusσ?>σ, ce qui signifie que les valeurs sont plus dispersées. La courbe représentant la densité de probabilité de la variable aléatoireY est donc la courbe 1.

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