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Fonctions à deux variables

ECE3 Lycée Carnot

25 janvier 2012

1 Aspect graphique

Définition 1.Unefonction à deux variablesest une application: R, oùest une sous-ensemble du planR2appelé domaine de définition de la fonction. Exemples :La fonction: ()3+22+342est une fonction à deux variables définie surR2tout entier. La fonction: ()ln(+1)est une fonction définie sur l"ensemble des couples()vérifiant+10, qui se trouve être le demi-plan supérieur ouvert délimité par la droite d"équation= 1. Proposition 1.Tout sous-ensemble de la forme()++= 0, où,etsont trois réels tels que()= (00)est une droite. Démonstration.Si= 0, on peut mettre l"équation sous la forme= , qui est bien une équation de droite. Et si= 0, on a par hypothèse= 0, donc on obtient= , qui est également une droite, en l"occurence parallèle à l"axe des ordonnées. Exemple :La fonction: ()?422est définie à l"intérieur du cercle de centreet de rayon2. Proposition 2.Le sous-ensemble deR2défini par l"équation2+2=, avec?0, est le cercle de centre0et de rayon (si 0, l"ensemble est vide). Démonstration.Dans le planR2(muni d"un repère orthonormal, mais ce sera toujours le cas pour nous), le pointde coordonnées()est situé à une distance?

2+2de l"originedu repère

(c"est une application du théorème de Pythagore), donc2+2=2=2=. l"ensemble des points à distancedeest bien le cercle de centreet de rayon. Définition 2.Lareprésentation graphiqued"une fonction à deux variables dans un repère ()de l"espace est l"ensemble des points()vérifiant=(). Remarque1.Une fonction à deux variables est donc représentée non pas par une courbe, mais

par une surface dans l"espace. Il est très difficile en généralde visualiser ce genre de représentations

graphiques, c"est pourquoi on en est souvent réduit à étudier les coupes par des plans que représentent

les lignes de niveau et les applications partielles. Définition 3.Soitun réel etune fonction de deux variables, laligne de niveaude la fonction est l"ensemble des couples()vérifiant() =. Remarque2.Il s"agit donc de la coupe de la surface représentative depar le plan " horizontal » d"équation=. La plupart du temps, une ligne de niveau n"est pas la courbe représentative d"une fonction à une variable. 1 Exemple :Considérons la fonction() =2+2, sa ligne de niveauest définie par l"équation

2+2=. Il s"agit donc du cercle de centreet de rayon

quandest positif, la ligne de niveau est vide sinon. Voici une représentation des lignes de niveau pourentier compris entre1

et4. Il ne reste plus qu"à les relier mentalement pour imaginer l"allure de la surface représentative

de. 2

2 Exemples de surfaces

Juste quelques surfaces tracées à l"ordinateur pour avoir une idée de ce à quoi ça peut ressembler.

-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800

zf(x,y)=x^2+y^2 x yz -3-2-1 0 1 2 3-3-2-1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 zf(x,y)=(x^3-3x)/(1+y^2) xyz 3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 zf(x,y)=2(x^2+y^2)e^(-x^2-y^2) xyz -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -25-20-15-10-5 0 5 10 15 20 25 zf(x,y)=x^3-4x^2y+5y-2 xyz 4

3 Dérivées partielles

On ne peut pas étudier les variations d"une fonction à deux variables comme on le fait pour

une fonction à une variable, puisque la simple notion de fonction croissante ou décroissante n"a pas

d"équivalent quand on passe à deux variables. Il est cependant intéressant de calculer un analogue

de la dérivée dans ce cadre, qui permet notamment de trouver les minima ou maxima de la fonction,

comme c"est le cas pour une fonction à une variable. Définition 4.Soit: ()()à deux variables, lesapplications partiellesassociées sont les deux fonctions à une variablex:()ety:().

Remarque3.Les applications partielles sont donc données par la même équation que la fonction

elle-même, seul le statut deet dechange : au lieu d"avoir deux variables, l"une d"elles est

désormais fixée, même si on ne connait pas sa valeur. Pour rendre les choses plus concrètes, on peut

assigner une valeur à la varible fixée. Par exemple, si() =23+3, on dira que l"application partielle obtenue en fixant= 1est la fonction d"une variable23+1(on a posé= 1dans l"équation de), ou que l"application partielle obtenue en fixant= 2est la fonction46+3.

Tracer les représentations graphiques de ces applicationspartielles revient à tracer la coupe de la

surface représentative depar les plans d"équation respective= 1et= 2(plans " verticaux » si on oriente le repère de façon habituelle).

Définition 5.Lesdérivées partiellesd"une fonction à deux variables sont les dérivées de ses

application partielles. On note la dérivée dexetcelle dey.

Remarque4.Pour calculer ces dérivées partielles, on dérive en considérant l"une des deux variables

comme une constante (on dit qu"on dérive la fonctionpar rapport àourespectivement), mais chacune des deux dérivées partielles reste une fonction à deux variables.

Remarque5.On se contentera de calculer ces dérivées partielles sans sepréocupper de justifier leur

existence, ce qui est un problème plus complexe que dans le cas d"une fonction à une variable. Définition 6.Les quatres dérivées partielles des fonctions et(deux pour chaque fonction) sont appeléesdérivées partielles secondesde la fonction. On note2

2et2les dérivées

partielles par rapport àetde , et2et22les dérivées partielles de. Exemples :Reprenons l"exemple de la fonction: ()3+ 22+342. On a donc () = 32+4+3;() = 22+328;22() = 6+4;2() = 4+32; 2 () = 4+ 32et enfin22= 68. De même, la fonction: ()ln(+1)a pour dérivées partielles () =1+1; () =1+1;22() =1(+1)2, et les trois autres dérivées secondes sont les mêmes que la première.

Enfin, la fonction: ()?

422vérifie() =22?422=?422;

() =?422;22() =?

422x4x2y2

42+2=24(422)32;

5 2 () =2x 2 (422)32=(422)32;2() =(422)32et enfin22= 24
(422)32. Définition 7.Unpoint critiquepour une fonctionà deux variables est un couple()vérifiant () =() = 0. Exemple :Les points critiques de la fonctiondéfinie plus haut sont les solutions du système suivant (qu"on est bien incapable de résoudre) : ?32+ 4+3= 0

22+ 328= 0

Théorème 1.Si une fonctionadmet un minimum ou un maximum local en un point(), alors ce point est un point critique. Remarque6.Attention, comme dans le cas des fonctions à une variable, laréciproque n"est pas toujours vraie. Théorème 2.Soit(00)un point critique d"une fonction à deux variables, on note= 2

2(00)22(00)?2(00)?

2 , alors(00)n"est pas un extremum si 0, mais c"en est un si 0, maximum si2

2(00)0, minimum sinon. Si= 0, on ne peut pas

conclure. Définition 8.Ladifférentielleau point()d"une application à deux variablesest l"expression x,y= Les,etde l"expression ci-dessous représentent de " petits accroissements » de la fonction et

de chacune des variables respectivement. En fait, une bonnedéfinition mathématique de ces objets

est de les voir comme des applications deR2dans l"ensemble des applications linéaires deR2dans R. Mais comme vous ne savez pas encore ce qu"est une application linéaire, vous vous contenterez du blabla ci-dessous pour tenter de comprendre ce que ça recouvre.

Interprétation géométrique :Comme dans le cas d"une fonction à une variable, on peut tenter

d"interpréter géométriquement les notions définies plus haut. Vous savez que, pour une fonction

à une variable, le nombre dérivé()représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe

représentative de la fonctionen son point d"abscisse. Autrement dit, la tangente étant la droite

la plus proche de la courbe, on peut écrire au voisinage del"approximation affine suivante :() ()() +()(équation de la tangente), ou encore en changeant les notations(+) () +(), approximation valable pour des " petites » valeurs de. En utilisant la notation

différentielle, on écrirait ceci ainsi :x() =, c"est-à-dire que l"accroissement de la fonction

(qui correspond à(+)()) est proportionnel à l"accroissement de la variable (qui correspond à), avec pour coefficient de proportionnalité().

Dans le cas d"une fonction à deux variables, les dérivées partielles en un point()représentent

également des coefficients directeurs de tangentes, en l"occurence des deux tangentes à la surface

représentative deincluses dans les plans verticaux contenant les axes()et(). La surface

admet bien d"autres tangentes (une infinité), mais la connaissance de deux d"entre elles suffit à

déterminer le plan tangent à la surface représentative de, et donc à donner une approximation de

(+;+)pour des petites valeurs deet. C"est ce que fait la différentielle à l"aide de la 6 formule suivante :(+;+)()+(). Autrement dit (et pour parler en termes

plus " économiques »), la différentielle exprime l"accroissement marginal de la fonctionau point

()en fonction des accroissements marginaux de chacune des variables.

Exemple :Un type de fonction à deux variables souvent utilisé en économie est la fonction de

Cobb-Douglas, qui modélise la productionen fonction du capitalet du travailvia la formule () =αβ. Pour plus de simpliciter, on prend souvent= 1, et= 1(avec [0;1]), donc() =α1α. Ceci a également pour avantage de rendre la fonction homogène, c"est-à-dire que() =()(autrement dit, si vous multipliez le capital et le travail simultanément par un même facteur, la production subira la même augmentation).

Les dérivées partielles de cette fonction sont appelés en économie rendements marginaux. En uti-

lisant la notation différentielle, ces rendements marginaux donnent les coefficients d"augmentation

marginale de la production quand on augmente marginalementle travail ou le capital. Ainsi, si (00) = 3, cela signifie qu"en augmentant de1%le capital en partant d"une situation où le capital était de0et le travail de0, la production augmentera d"environ3%. Avec l"équa- tion donnée plus haut, on constate que () =α11α=?? 1α , et() = (1)αα= (1)? . Si on calcule désormais les dérivées secondes, on obtient notam- ment 2

2() =(1)α21α;22() =(1)αα1. Ces deux expressions

sont négatives, c"est un résultat qu"on connait en économiesous le nom de principe des rendements

décroissants : plus la production augmente, plus les rendements marginaux sont faibles.

Dernière notion utile en économie et abordée un peu plus hautd"un point de vue mathématique : les

lignes de niveau de la fonctionsont appelés isoquants de la fonction de production. Ils représentent

des lignes sur lesquelles la production ne varie pas, et on peut donc affirmer que, sur un isoquant, la différentielles"annule. Autrement dit, on a alors () +() = 0. Les rapports

entre les deux dérivées partielles en un point d"un isoquantsont appelés coefficients d"elasticité :

ils représentent la facilité à échanger du capital contre dutravail (ou vice-versa) pour garder une

production constante. Ainsi, si on a (00) =3(00), cela signifie que, si on diminue le capital de1%en partant de la situation(00), il faudra augmenter le travail de3%pour garder le même niveau de production. 7quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37