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Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant1
Fiche Technique :Majorant - Minorant
Dans la première partie de cette fiche, nous allons mettre en évidence quelques techniques pour
trouver un majorant ou un minorant d"une fonction donnée. Dans la deuxième partie, nous présenterons
comment il est possible de vérifier si le majorant (resp minorant) trouvé est correct ou non.1 Comment trouver un majorant ou minorant
Considèrons une fonctionfdéfinie sur un intervalleI. Comment peut-on trouver un majorant decette fonction surI. Il n"existe pas de méthode générale qui permette de trouverce majorant (ou
minorant).Voici quelques pistes :
-utiliser des majorations classiques et faire une majoration "à la main" -utiliser des propriétés particulières de la fonction, par example être bornée.Nous verrons dans la suite quelques méthodes pour vérifier une majoration trouvées. Voici quelques
possibilites : -utiliser une étude de fonction -utiliser des points particuliers ou des limites, argument souvent utiles pourmettre en défautune majoration plutôt que pourprouverune majoration! On illustrera ces différentes techniques par des exemples.Quelque soit la méthode utilisée, la connaissance d"un certain nombre demajorations de base, est
indispensable.1.1 Inégalités à connaître
- Fonctions trigonométriques : sin cos Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant2 - Fonctions puissances : x x 1 1 - Fonction exponentielle : e x≥1 +x?x?R - Fonction logarithme : - Fonction sinus-cardinal : sin Mentionnons tout de suite, le majoration plus générale suivante : |sin c(x)|=? ?sinx x? - Inégalité du triangle - Conséquence de l"inégalité du triangle1.2 Majoration "à la main"
A partir des inégalités à connaître, il est possible de trouver une majoration "à la main". Voyons
un exemple.Considérons la fonction suivante :
f(x) =sinx x⎷xavecx >0 Quelle majoration de|f(x)|peut-on obtenir avec les majorations classiques? x⎷xavecx >0 Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant32. Grâce à|sin
c(x)|=? sinx x ⎷xavecx >03. En écrivant :
|f(x)|=? |sinx| |x|.? |sinx| |x|=? |sinx| |x|?|sinc(x)| on a aussi |sinx|Toutes ces majorations sont exactes et selon les necessités, c"est l"une ou l"autre qui pourra être
utile. Par exemple, si on étudie l"intégrabilité defau voisinage de0,c"est la deuxième inégalité qui
permettra de conclure. L"intégrabilité au voisinage de +∞de cette même fonction s"appuiera sur la
première (revoir les intégrales généralisées pour écrire en détail tout celà). Par contre, la dernière
inégalité ne sera d"aucun utilité pour l"intégrabilité. Ainsi dans ces problèmes de majoration, il faut avoir en têtel"objectif recherché!1.3 Fonctions bornées
Par définition, une fonction bornée s"il existe deux réelsMetm, tels que : Géométriquement, le graphe de la fonctionfest compris entre les droites d"équationy=Mety=m.Supposons par exemple, que
on a aussi et donc ce qui s"écrit encoreAutre cas de figure :
on a encore donc Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant4 et Dans le cas général, prenons le plus grand - en valeur absolue- des nombresmetM,soitK= max(|m|,|M|)
en utilisant la suite d"inégralités on a ou encoreOn a alors une définition plus commode des fonctions bornées :la fonctionfest bornée surIs"il existe
un réelKtel quePar exemple, la fonction sinus cardinal :
sin(x) xest bornée puisque : ?sin(x) x?Cette inégalité n"est pas du tout évidente!.. se reporter à un livre de premier cycle pour la démonstra-
tion. Rappelons que sin(x) xconverge vers1quandxtend vers0, donc on prolonge la fonctionsinc(x) par continuité enx= 0en posant :sin c(0) = 1.2 Techniques pour verifier ou prendre en défaut une majoration
Dans ce qui suit, nous avons listé trois méthode pour vous permettre de vérifier ou de prendre en
défaut une majoration. Ce sont des outils utiles pour vous rassurer sur la majoration que vous avez
trouver.2.1 Etude de fonction
Montrer que
équivaut à
on peut donc étudier le tableau de variation de la fonction ?(x) =f(x)-g(x) surI. Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant5Exemple 1Montrons de cette façon la majoration
e x≥1 +x?x?ROn étudie
h(x) = 1 +x-exp(x) surRet on va montrer qu"elle est toujours négative. On a : h ?(x) = 1-exp(x)Cherchons les valeurs dexqui annule cette dérivée. Pour cela nous devons résoudre l"équation sui-
vante :1-exp(x) = 0 =?exp(x) = 1 =?x= 0
Lorsquex <0,h
exp(x)≥1. Nous avons donc le tableau de variation suivant pour la fonctionh: x-∞0 +∞ h?(x)+ 0- h 0 L"étude de la fonction h montre quehest toujours négative ou nulle, nous avons donc2.2 Mise en défaut d"une inégalité
Pour vérifier qu"une inégalité n"est pas exacte, l"une des techniques c"est de prendre des points
particuliers.Exemple 2Supposons que vous ayez trouver que :
Essayons de trouver un pointx
0oùcos(x0)≥sin(x0).
Considùrons par exemplex
0= 0. Nous avons :
cos(x0) = 1etsin(x0) = 0
donccos(x0)≥sin(x0). On peut donc en conclure que la majoration n"est pas valide.
Voici un autre exemple.
Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant6Exemple 3A-t-on
e x≥xα?α≥0?x?R+En passant au log elle équivaut à :
x≥αlnx Prenonsx=α, elle devientα≥αlnα, ce qui est faux silnα >1c.à.d.α > e. Exercice 4Montre alors en utilisant la technique précédente d"étude d"une fonction que : e Indication : Etudier le sens de varaition de?(x) =x-αlnxUne autre technique, s"appuyant sur un raisonnement similaire à la méthode précédente, est d"uti-
liser la limite. Si la fonctiongmajore la fonctionfsurR, alors nous avons que limDonc si la limite defest supérieure à la limite deg, alors nous pouvons conclure que la majoration
est fausse. Voyons l"example suivant. Exemple 5Supposons que nous ayons trouvé la majoration suivante : ?x?RConsidérons la limite en+∞des deux termes de cette inégalité. Nous obtenons pour le membre de
gauche lim x→+∞f(x) = limx→+∞ln?⎷x?= +∞ et pour le membre de droite lim x→+∞g(x) = limx→+∞ x x+ 5= 1Il est clair que la limte defest supérieure à la limite deg, donc la majoration n"est pas valable.
3 Conclusion
Il est clair que l"étude de fonction est la méthode la plus générale pour vérifier si une majoration
est correcte. Mais elle peut prendre du temps si la fonction àétudier est compliqué.La deuxième méthode n"est intéressante que si un point où la majoration n"est pas valable est
facile à identifier. Dans le cas où aucune point ne semble présenter un problème, cette méthode ne
fonctionnera pas et risque de prendre beaucoup de temps.La même remarque peut être faîtes pour la troisième méthode.Malgré leur limitation, ces deux
méthodes, lorsque on a un peu d"expérience, peuvent s"avérer fort utile et peuvent sauver pas de temps
et de stress. L"idéal est de sensir quelle méthode est plus adaptée au problème considéré.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47