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Exercice A. Soit un milieu soumis à un tenseur de déformation ݄ൄ, dont la matrice dans une base ݁ ൩ݞ
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IINNTTRROODDUUCCTT
MMI EExx Département Géotechnique, Troisième annéeTTIIOONN AA LLAA MMEECCAANNIIQQUU
MIILLIIEEUUXX CCOONNTTIINNUUSS
xxeerrcciicceess ccoorrrriiggééssGuilhem MOLLON
Polytech Grenoble
Département Géotechnique, Troisième annéeEdition 1, 2012-2013
UUEE DDEESS
Département Géotechnique, Troisième année V1.07Mécanique des Milieux Continus
Exercice A. Montrer que la symétrie est une propriété tensorielle, c'est tenseur ݒ̿ est symétrique (ݒ௹௺ alors cette propriété est également vraie dans toute autre base orthonorméeExercice B.
Montrer que l'antisymétrie est également une propriété tensorielle.Exercice C.
Montrer qu'un tenseur
partie symétrique et une partie antisymétrique.Exercice D.
Soit ݒ̿ un tenseur
l'on a toujours ݒ̿:݀̿൩ 0.Exercice E.
Soit ݒ̿ un tenseur symétrique et
a toujours : ݒ̿:ݓൄ൩ ݒ̿:ݓൄ௩, oùExercice F.
Soit ݀Ճ un champ vectoriel. Montrer que l'on a toujoursExercice G.
Soit ݀ un champ scalaire. Montrer que l'on a toujoursExercice H.
Soit la base curviligne polaire
1. Calculer la surface extérieure d'une sphère de rayon surface infinitésimal peut s'écrire2. Calculer l'intégrale du champ
élémentaire dans la direction radiale vaut
Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 2 Montrer que la symétrie est une propriété tensorielle, c'est ௹௺൩ ݒ௺௹) dans une base orthonormée donné alors cette propriété est également vraie dans toute autre base orthonormée Montrer que l'antisymétrie est également une propriété tensorielle. Montrer qu'un tenseur ݓൄ quelconque peut toujours se décompose partie symétrique et une partie antisymétrique. un tenseur symétrique et ݀̿ un tenseur antisymétrique, montrer que un tenseur symétrique et ݓൄ un tenseur quelconque, montrer que l'on ൄ, où ݓൄ௩ est la partie symétrique de ݓൄ. un champ vectoriel. Montrer que l'on a toujours ݝݢݯ un champ scalaire. Montrer que l'on a toujours ݫݨݭ Calculer la surface extérieure d'une sphère de rayon ݑ, sachant qu'un élément de surface infinitésimal peut s'écrire ݝݒ ൩ ݑݬݢݧࠋݝ߽Calculer l'intégrale du champ ݜݨݬࠋ ∙ ݞ௨Ճ sur cette sphère, sachant que le vecteur
élémentaire dans la direction radiale vaut ݞ௨Ճ൩ ݬݢݧࠋݜݨݬ߽ݞఈՃൢݬݢݧࠋݬݢݧ߽
Polytech Grenoble, Geo3
Montrer que la symétrie est une propriété tensorielle, c'est-à-dire que si un) dans une base orthonormée donné ݁ ൩ݞՃ,ݞՃ,ݞՃቘ,
alors cette propriété est également vraie dans toute autre base orthonormée ݁′ ൩
Montrer que l'antisymétrie est également une propriété tensorielle. se décomposer en une un tenseur antisymétrique, montrer que un tenseur quelconque, montrer que l'on , sachant qu'un élément de sur cette sphère, sachant que le vecteur Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 3Exercice A.
Soit un tenseur ݒ̿ symétrique. Dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ on peut donc écrire
௹௺൩ ݒ௺௹. Soit une base orthonormée quelconque ݁Կ ൩ቝݞԿՃǾݞԿՃǾԿݞՃ différente de ݁.
௹௺ les termes de la matrice de ݒ̿ dans la base ݁Կ, on a d'après le cours (en notation d'Einstein) : Or la matrice ݒ est symétrique, on a donc ݒ ఀఁ൩ ݒఁఀ. On écrit donc : Les indices ݩ et ݪ du second membre sont muets, on pourrait donc les remplacer par n'importe quelle lettre, et on peut aussi les intervertir :On en déduit que ݒԿ
௹௺൩ ݒԿ௺௹, ce qu'il fallait démontrer.Exercice B.
Soit un tenseur ݒ̿ antisymétrique. Dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ on peut donc écrire
௹௺൩ ൣݒ௺௹. Soit une base orthonormée quelconque ݁Կ ൩ቝݞԿՃǾݞԿՃǾԿݞՃ différente de ݁.
௹௺ les termes de la matrice de ݒ̿ dans la base ݁Կ, on a d'après le cours (en notation d'Einstein) : Or la matrice ݒ est symétrique, on a donc ݒ ఀఁ൩ ൣݒఁఀ. On écrit donc : Les indices ݩ et ݪdu second membre sont muets, on pourrait donc les remplacer par n'importe quelle lettre, et on peut aussi les intervertir :On en déduit que ݒԿ
௹௺൩ ൣݒԿ௺௹, ce qu'il fallait démontrer. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 4Exercice C.
On reprend les formules du cours. Soient les tenseurs ݓൄ ௩ et ݓൄௗ donnés par les formules suivantes :On va démontrer que ݓൄ
௩ est symétrique et que ݓൄௗ est antisymétrique. Pour cela on se place dans une base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ, pour laquelle le tenseur ݓൄ s'exprime sous la forme
d'une matrice de terme générale ݓ ௹௺. Explicitions les termes des matrices de ݓൄ௩ et ݓൄௗ :On a donc démontré que ݓൄ
௩ est symétrique et ݓൄௗ antisymétrique.Exercice D.
Dans une base orthonormée ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ, on peut écrire que ݒ௹௺൩ ݒ௺௹ et également
que ݀௹௺൩ ൣ݀௺௹. On en déduit que, comme pour tout tenseur antisymétrique, les termes
diagonaux de la matrice de ݀̿ sont nuls dans toute base. D'après le cours, le produit doublement contracté de ces deux tenseurs est un scalaire égal à : Développons cette notation d'Einstein sous forme explicite :On sait que l'on a ݀
Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 5Exercice E.
Le résultat découle directement de celui de l'exercice précédent et de la distributivité
de l'opérateur produit doublement contracté :Exercice F.
Posons le résultat intermédiaire ݁Ճ൩ ݫݨݭՃ݀Ճ. Dans une base orthonormée donnée
ՃǾݞՃǾݞՃቘ, on a par définition :
Par ailleurs, on a par définition : ݝݢݯ݁ On en déduit que ݝݢݯݫݨݭ Ճ݀Ճ vaut : L'ordre des dérivations partielles successives d'une fonction de plusieurs variables est quelconque, on peut donc en déduire directement :ݝݢݯݫݨݭExercice G.
On se place également dans une base orthonormée ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ. Soit le résultat
intermédiaire ݁ Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 6 Par ailleurs, on peut écrire, toujours dans la base ݁ ؔOn en déduit :
Pour la même raison que dans l'exercice précédent, on peut donc écrire directement la formule classique ݫݨݭExercice H.
1. Un élément de surface ݝݒ de la sphère de rayon ݑ délimité par deux secteurs
d'angles infinitésimaux ݝ߽On cherche à calculer ݒ ൩؉
ఃఀ௸Íం௵. En paramétrant la surface en fonction de ߽ on peut expliciter cette intégrale :Le rayon ݑ est indépendant de ߽ et ࠋ, et le terme ݬݢݧࠋ est indépendant de ߽
donc écrire : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 7 Finalement, on obtient le résultat classique ݒ ൩ Γࠅݑ2. On doit calculer :
Avec : ݞ
On est en coordonnées curvilignes, donc on ne peut pas sortir le vecteur ݞ ௨Ճ car il n'estpas indépendant du point d'intégration (du point de la sphère de surface ݝݒ). En
revanche, les trois vecteurs de la base cartésienne ont cette propriété, et peuvent être sortis de l'intégrale. On peut donc remplacer ݞ ంՃ par son expression, et écrire dans la base ݁ ൩ݞ Du fait de la périodicité des fonctions trigonométriques, on a :Par ailleurs, on a :
Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 8Donc :
La primitive de la fonction ݜݨݬ
ࠋݬݢݧࠋ est la fonction ௳ఃౌ , donc : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 9Problème. On considère un mouvement défini dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ par sa
représentation lagrangienne (ࠎ est une constante positive) :1. Calculer le tenseur gradient ݅ൄ, le tenseur des dilatations ݂̿, et le tenseur des
déformations ݄ൄ de ce mouvement au point ݗՃ et à l'instant ݭ.2. A quelle classe particulière ce mouvement appartient-il ?
3. Pour un instant ݭ donné, calculer la dilatation en un point ݗՃ et dans une direction ݝݗ
4. Pour un instant ݭ donné, calculer le glissement en un point ݗՃ et pour deux directions
orthogonales ݝݗ Ճ et ݝݗԿՃ.5. On considère un milieu animé de ce mouvement, muni d'une masse volumique
homogène ࠆ masse volumique du milieu à l'instant ݭ.6. Calculer le champ de vitesse ݕ
coordonnées lagrangiennes.7. Exprimer les coordonnées initiales à partir des coordonnées actuelles. Calculer le
champ de vitesse ݕ ՃݱՃǾݭቘ et le champ d'accélération ߸ eulériennes.8. Calculer les tenseurs des taux de déformations eulériens ݃ݱՃǾݭቘ et des taux de
rotation ɐݱՃǾݭቘ.9. On définit les coordonnées polaires lagrangiennes ݑǾɀǾ8
ቘ par le changement de variablesǾݗǾ8ቘ൩ݑ ϋ ݜݨݬɀǾݑ ϋ ݬݢݧɀǾ8ቘ et les coordonnées eulériennes
ቘ par le changement de variables ݱǾݱǾ·ቘ൩ݫ ϋ ݜݨݬ߽Ǿݫ ϋ ݬݢݧ߽
Expliciter les fonctions ݗ
ం et ݗబ définissant une nouvelle représentation lagrangienne du mouvement de la forme : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 10 On note alors le champ de vitesse dans cette nouvelle base : Indiquer l'expression des composantes polaires ݕ ం, ݕబ et ݕ du champ de vitesse eulérien.11. Calculer l'accélération centrifuge ߸
ంݫǾ߽Ǿݭቘ et l'accélération tangentielle ߸బݫǾ߽
du mouvement étudié.12. Définir les trajectoires associées à ce mouvement
Examen partiel : Etude cinématique d'un tourbillon.On considère un mouvement,
défini dans la base orthonormée ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ par la représentation eulérienne
suivante : Dans cette représentation, ݀ est une fonction scalaire des deux coordonnées ݱ et ݱ, définie par l'expression ݀ݱCe mouvement est donc uniquement défini pour
1. De quel type de mouvement s'agit-il ?
ൄൄൄൄൄൄݕՃ dans la baseՃǾݞՃǾݞՃቘ s'exprime par :
3. En déduire immédiatement les matrices du tenseur des taux de rotation ɐݱՃǾݭቘ et du
tenseur des taux de déformation eulériens ݃ݱՃǾݭቘ.4. On considère un milieu continu de masse volumique ࠆ
animé de ce mouvement. Calculer la divergence du champ de vitesse, et en déduire la Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 115. Montrer que l'accélération ߸
ǾݱǾݱǾݭቘ en coordonnées eulériennes cartésiennes (c'est-à-dire dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ) s'exprime par :
6. On définit les coordonnées polaires lagrangiennes ݑǾɀǾ8
ቘ par le changement de variablesǾݗǾ8ቘ൩ݑ ϋ ݜݨݬɀǾݑ ϋ ݬݢݧɀǾ8ቘ et les coordonnées eulériennes
ቘ par le changement de variables ݱǾݱǾ·ቘ൩ݫ ϋ ݜݨݬ߽Ǿݫ ϋ ݬݢݧ߽
On définit également une base curviligne polaire ݁ Calculer l'accélération ߸ՃݫǾ߽ Ǿݭቘ en coordonnées eulériennes polaires.7. Exprimer le champ de vitesse en coordonnées eulériennes polaires. En déduire que
les particules ont des trajectoires circulaires autour de l'origine, de vitesse angulaire : Donner sans calcul l'expression de la représentation polaire lagrangienne du mouvement sous la forme ݫ ൩ ݗ ంݑǾɀǾݱǾ³ቘ et ߽8. Démontrer que la représentation lagrangienne du mouvement dans la base
Montrer que, dans cette expression, on a : ࠎ ൩9. Définir les trajectoires associées à ce mouvement, ainsi que les champs de vitesse et
d'accélération10. On considère le point de vecteur position ݱՃ ൩ ݫ ϋ ݞ
Ճ. Calculer la matrice du tenseur des taux de déformations eulériens en ce point. De quel type de déformation s'agit-il ? En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres du tenseur des taux de déformations eulériens en ce point. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 12Problème.
1. Le terme général de la matrice du tenseur gradient dans la base ݁ est ݅
ా௮ೲ, donc on a :Pour le tenseur des dilatations, on a ݂
௹௺൩ ݅ఀ௹݅ఀ௺ en notation d'Einstein, donc :Enfin, on sait que ݄ൄ൩
2. Le tenseur des déformations est nul, on est donc en présence d'un mouvement
rigidifiant.3. Puisque ݂̿൩ ݈̿, on peut dire que toute direction est direction principale. La dilatation
dans une direction quelconque ݝݗ4. Pour la même raison, le glissement entre deux directions orthogonales quelconques
Ճ et ݝݗԿՃ vaut : ߸5. Le jacobien de la transformation est le déterminant de ݅ൄ. On a donc :
Par conséquent la masse volumique du milieu est constante dans le temps et en tout point. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 13 vecteurs exprimant les positions actuelles des particules : ݕDonc :
De même, le champ d'accélération s'obtient par ߸ Ces champs s'expriment en fonction de ݗՃ, et sont donc bien en coordonnées lagrangiennes.7. D'après l'énoncé, les coordonnées actuelles s'obtiennent à partir des coordonnées
initiales par le système suivant : On isole en particulier les deux premières équations de ce système : On cherche à inverser ce système pour exprimer ݗՃ en fonction de ݱՃ. On utilise la formule d'inversion d'une matrice 2*2 : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 14Donc :
Cette matrice est orthogonale, car son inverse est égale à sa transposée. Elle traduit donc une rotation. On en déduit :Dans l'expression du champ de vitesse et du champ d'accélération calculés à la
question précédente, on peut alors remplacer les coordonnées initiales ݗՃ par leur
expression en fonction des coordonnées actuelles ݱՃ. On obtient la formulation eulérienne suivante : Ce dernier résultat pouvait aussi s'obtenir en passant par la formule donnant directement l'accélération par ߸ Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 15 cours ాఈೲ. On remarque qu'il s'agit d'un gradient eulérien (g minuscule), donc les dérivations sont effectuées par rapport aux coordonnées actuelles ݱՃ : résultats peuvent être retrouvés par le calcul avec les formules de cours :9. En coordonnées polaires, on a les correspondances suivantes :
On cherche les expressions des fonctions ݗ
ం et ݗబ. On peut écrire à partir de ces expressions :2ǿݬݢݧɀ ൩ݗ
2Or on sait d'après l'énoncé que, dans le repère cartésien, le mouvement s'exprime par :
On peut remplacer ݱ
et ݱ par leurs expressions dans la formules donnant ݫ : On en déduit l'expression de la fonction ݗ ం. On effectue la même opération avec l'expression de ݜݨݬɢ : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 16 Dans cette dernière expression, on remplace ݗ , ݗ et ݫ par leur expression polaire : 2 On en déduit ɢ ൩ ɀ ൢ ࠎݭ, ce qui nous donne la forme de la fonction ݗ బ. Finalement, on a :10. On travaille maintenant dans la base curviligne polaire ݁
On cherche à exprimer le champ de vitesse eulérien dans cette base. On a démontré dans la question 7 que le champ de vitesse pouvait s'exprimer par :Dans cette expression, on remplace ݱ
et ݱ par leurs expressions en coordonnées polaires : donc :Dans la base ݁
11. Dans le même ordre d'idée, on cherche à exprimer la formulation eulérienne du
champ d'accélération dans la base ݁ s'exprimait par :On remplace ݱ
et ݱ par leurs expressions en coordonnées polaires : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 17Dans la base ݁
12. Les trajectoires des particules matérielles sont des cercles centrés sur l'origine. La
vitesse angulaire est constante, la vitesse est purement orthoradiale (perpendiculaire à un rayon) et augmente proportionnellement à la distance à l'origine. L'accélération est purement centripète (dirigée vers l'origine) et est également proportionnelle en normeà la distance à l'origine.
Examen Partiel.
1. Il s'agit d'un mouvement plan, car la vitesse dans la direction ݞ
Ճ est nulle et les deux autre composantes ݕ et ݕ sont invariantes par translation dans la direction ݞՃ. Par
ailleurs la représentation eulérienne du champ de vitesse est constante dans le temps, donc on est par définition en présence d'un mouvement permanent.ൄൄൄൄൄൄݕՃ s'exprime dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ
par la matrice de terme général ాఈೲ. On travaille d'abord sur la dérivation de la fonction ݀ݱ On peut alors calculer les termes non triviaux de la matrice de ൄ, à commencer par les deux premiers termes diagonaux : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 18 On a également deux termes non-diagonaux assez complexes : Tous les autres termes de la matrice de ൄ sont nuls car on est en mouvement plan. Finalement, le tenseur gradient de vitesse s'exprime sous forme matricielle dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ par :
3. On constate que la matrice de ൄ est symétrique. Par conséquent, sa décomposition
en un tenseur asymétrique ɐ et un tenseur symétrique ݃ est immédiate : -tenseur des taux de déformation eulériens : ݃൩ ൄ . Pour calculer l'évolution de cette masse volumique, on peut évaluer le jacobien de latransformation en tout point et à tout instant. Dans un problème posé en notation
eulérienne, il est plus simple de passer par la divergence du champ de vitesse :On sait que ݕ
est constant et nul, et on a par ailleurs démontré à la question précédente que : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 19Par conséquent on a ݝݢݯݕ
est nulle en tout point et à tout instant est un mouvement isochore, pour lequel la masse volumique est constante. Par conséquent, en tout point et à tout instant, on a :Le mouvement est plan, permanent, et isochore.
5. L'accélération ߸
ǾݱǾݱǾݭቘ est la dérivée particulaire de la vitesse, et se calcule
par la formule de cours suivante, qui fait apparaître la dérivée eulérienne : On est en mouvement permanent, donc la dérivée eulérienne de la vitesse est nulle :ൄൄൄൄൄൄݕՃ a déjà été calculé à la question 2, il suffit donc d'en
faire le produit contracté avec le vecteur vitesse :6. On cherche à se placer en coordonnées polaires pour simplifier les expressions. Pour
cela, on utilise les relations : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 20On doit simplement remplacer ݱ et ݱ par leurs expressions polaires dans l'expression
de l'accélération. On calcule d'abord la fonction ݀ :Par ailleurs on a montré dans la question précédente que l'accélération est exprimée
par : Or on a la formule de changement de repère suivante : ݞFinalement :
L'accélération est donc purement centripète.7. Le champ de vitesse est donné dans l'énoncé sous forme eulérienne par :
En coordonnées polaires, on a donc :
La vitesse est purement orthoradiale (normale au rayon), et on en déduit que les particules ont une trajectoire circulaire autour de l'origine. Sans calcul, on obtient la représentation lagrangienne :8. Pour passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes, on utilise les
formules suivantes : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 212ǿݬݢݧɀ ൩ݗ
2On a par ailleurs ߽
ోݭ, et donc : et donc, en développant le cosinus :2ϋ ¢®²݀ݱǾݱቘϋ ݭቘൣݗ
2ϋ ²¨݀ݱǾݱቘϋ ݭቘ
Finalement, on a :
avec ࠎ ൩ ݀ݱǾݱቘ. On peut développer le sinus de la même manière, et obtenir
l'expression lagrangienne de ݱ recherchée :2ϋ ¢®²ࠎݭቘൢݗ
2ϋ ²¨ࠎݭቘ
Finalement, on a :
On obtient finalement le système recherché : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 229. Les trajectoires des particules sont planes et circulaires, avec une vitesse angulaire
ࠎconstante pour chaque particule et qui décroit en relation hyperbolique avec ladistance à l'axe origine. L'accélération est purement centripète. On appelle ce
mouvement un tourbillon.10. On a montré à la question 3 que le tenseur des taux de déformation eulériens est
égal au tenseur gradient de vitesse, dont la matrice dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ est :
On se place au point ݱՃ ൩ ݫ ϋ ݞ matrice de ݃ exprimée dans la base ݁ en ce point est donnée par : On reconnaît un glissement simple tel que défini dans le cours.Dans cette base, la matrice de ݃ vaut :
Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 23Exercice A. Soit un milieu soumis à un tenseur de déformation ݄ൄ, dont la matrice dans une base ݁ ൩ݞ
ՃǾݞՃǾݞՃቘ donnée est :
1. Calculer la trace de ݄ൄ, ainsi que son déterminant. Calculer la matrice du tenseur ݄ൄ
et en déduire le deuxième invariant du tenseur donné par l'expression classique tenseur ݄ൄ.2. Développer le déterminant du tenseur ݄ൄൣ ࠀ݈̿ et retrouver l'expression du polynôme
caractéristique. ቘࠀ ൣ ݄ቘࠀ ൣ ݄ቘ. En déduire les valeurs des déformations principales et la forme de la matrice de ݄ൄ dans sa base principale.4. Ordonner les déformations principales, puis calculer les coordonnées du vecteur
propre ݛՃ correspondant à la déformation principale intermédiaire ݄.
Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 24Exercice A.
1. La trace de
݄ൄ s'obtient immédiatement :
Le déterminant d'une matrice 3*3 se calcule par la formule classique : somme des produits des termes selon les diagonales descendantes moins somme des produits des termes selon les diagonales montantes :Appliqué à
݄ൄ, on a :
Le tenseur
݄ൄ est le produit contracté de ߺ base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ, on a :
La trace de ce tenseur vaut ݭݫ݄ൄ
Le second invariant principal de ݄ൄ s'obtient directement par la formule de l'énoncé : Par application de la formule du cours, on en déduit le polynôme caractéristique du tenseur des déformations linéarisées : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 252. On cherche le déterminant du tenseur
݄ൄൣ ࠀ݈̿ qui s'exprime sous forme matricielle dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ par :
Donc :
On retrouve donc par le calcul détaillé le résultat de la question précédente.3. On cherche à obtenir un développement du polynôme caractéristique faisant intervenir
directement ses racines, sous la formeopération est peu aisée si on démarre de l'expression développée du polynôme, et il est
plus judicieux de chercher cette expression dès le calcul du déterminant. On prend donc comme point de départ : Selon les formules classiques de calcul de déterminant, il est possible de remplacer une colonne (respectivement une ligne) par une combinaison linéaire des différentes colonnes (respectivement des différentes lignes). On remplace donc la colonne C1 par la combinaison C1-C2 : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 26Il est également autorisé de "sortir" une constante multiplicative d'une ligne ou d'une colonne
du déterminant, donc on peut simplifier la première colonne : On remplace ensuite la ligne L1 par la combinaison linéaire L1+L2 : On a le droit de permuter deux lignes (ou bien deux colonnes) en changeant le signe du déterminant, on peut donc écrire : Enfin, on sait qu'un déterminant 3*3 de la forme obtenu peut être simplifié en un déterminant 2*2 par la formule suivante :