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Corrigé 1/25

Corrigé

L"expression (n) de l"énoncé est ici désignée par (en) ; la péième expression introduite dans le corrigé et

n"apparaissant pas dans l"énoncé sera notée (cp) I)-A Modélisation classique des oscillations d"une molécule diatomique

1) a) On effectue le développement de Taylor de )(rVau deuxième ordre au voisinage de son minimum

0 : ( )( )( )( ) ( )( )( )022

20020022

20000dd

21)(dd

21
car ( )0d dr r V est nul. Donc ( )022ddrrVk= et )(0rVEL=- : on confond )(rV et sa parabole osculatrice en r 0.

1) b) LE est l"énergie de liaison de la molécule (ou énergie de dissociation).

2) Dans cette approximation harmonique, tout se passe donc comme si les deux noyaux étaient reliés par

un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide r

0. La molécule étant isolée, le référentiel

barycentrique est galiléen. Le principe fondamental de la dynamique appliqué successivement à P

1 puis à P2 donne :

( )( )0 1212
0 212

1dd ddrrmk

trerrktrmz--=?-+= (c1a) ( )( )0 2222
0 222

2dd ddrrmk

trerrktrmz--=?--= (c1b)

La somme (c1a) + (c1b) donne :

()( )( )0dd 11 dd dd 022 21210
2122

2212=-++?-))

+-==+rrktr mmmmrrkmmtr trr (c1) Donc

2121mmmmm+= : masse réduite de {P1 ; P2}.

On aurait d"ailleurs pu invoquer directement la particule réduite.

3) L"énergie mécanique classique d"un oscillateur harmonique oscillant avec une amplitude rDest

( )( )220 2 1 2

1rkrrkE

CD=-+. Ici, il faut ajouter -LEet 20wmk=, et l"amplitude des oscillations de pest rqpD=D. On a donc bien : 2 22

0)(2pqmEELD+-=w.

4) La puissance moyenne rayonnée par le dipôle oscillant à cette pulsation 0w qu"est cette molécule est :

c pμ P pw12 240
0D . Mais, d"après la question précédente ( )( )LEEmqp+=D202 2 2 w. Donc ()( )( )LLEEmcqμ EEmq cμ cpμ

P+=+=D

=> 202
40240
000

Cette puissance est perdue par la molécule, pendant une période 0T (pour que la notion de puissance

moyenne puisse être utilisée), son énergie varie donc de ( )0220 06

0TEEmc

qμ TPE

L+-=><-=pw

Corrigé 2/25 Cette expression n"a de sens que si, sur la durée d"une période, l"énergie E varie très peu :

EE<

0< qμ pw. Alors le taux de variation 0TE d peut être assimilé à la dérivée, et : ELL
EEEEmcqμ
tE TE tpw d +-=+-==6 dd 220
0
0 avec : 220

0 6qμmcEw
pt= (c2)
L"énergie de la molécule varie donc comme
ELL tEEEtE texp)(0 (c3)
5) a) On a vu à la question précédente que l"expression (4) de l"énoncé n"était valable que si
12 00 EE T twp t , soit 10>>Etw. b) 220

0 6qμmcEw
pt== 24,3 s, donc =Etw09,79 x 1015 >> 1, largement vérifié.
6) La perte d"énergie par rayonnement est décrit par le terme d"amortissement dissipatif
t rm d d t-. )(tr vérifie 0202022dd1 ddrrtr trwwt=++, d"équation caractéristique 01202=++wtpp, dont le discriminant est
20202441wwt-»-)
=D car l"étude précédente prouve que les oscillations sont très lentement amorties. Les solutions de l"équation caractéristique sont 02
1wtip±-=, et )(trvarie
comme ( )( )ttrrtr000cos2exp)(wt) ((-D+=. L"amplitude des oscillations décroît comme ( )) ((-D=Dt2exp)(0trtr et l"énergie de la molécule ((-D+-=D+-=tww trmEtrmEtE
LLexp21)(21)(2020220 (c4)

Pour que le terme phénoménologique introduit donne bien la même évolution que celle donnée par
(c3), il faut donc que Ett=
Rem 1 : le fait que 10>>Etw fait que la pseudopulsation des oscillations amorties se confond avec la pulsation propre :
ce résultat avait été postulé pour établir la relation (4) de l"énoncé. Rem 2 : variante du raisonnement précédent : ( )( )[ ]ttwwt wwt CLE trmEtEtrrmtrmtrrtrmtr trmt r trmrrmtrmrrmtrm trm 2 dd)(dd 21
dd 21
dd dd dd ddddpar tion multiplica dd dd 0dd dd220202
020220
2022
02022
L"amortissement étant faible, en valeur moyenne sur une période
LCEEE+>=<2, et on retrouve bien
EL EE tE t +-=dd, à condition de prendre Ett=.
7) a) Lors de son déplacement sur une longueur l, la molécule balaye le volume lCs ; on évalue le libre

Corrigé 3/25 parcours moyen
l en considérant que le volume balayé contient une (autre) molécule du gaz, celle-là avec laquelle se produira la première collision. Donc 1* 1**nlnlCCss=?= (résultat qu"on aurait tout aussi bien pu retrouver par analyse dimensionnelle.
Pour un gaz parfait,
CB
BPTklTkPns=?=* . A.N. : l = 260 nm

7) b) On peut donc évaluer la durée de vie Ct d"un état excité limité par les collision par
thCvl*=t où thv est la vitesse quadratique moyenne d"agitation thermique : ?= 2 3 2
12COTkvmBth
CO 3 mTkvBth=
D"où
31
3**
COCOTkm

PTkmlvlB
CBthC st=== A.N. : =Ct5,0 x 10-10 s Donc
Ct << Et : dans un milieu gazeux aux conditions ordinaires, la durée de vie de l"état excité est
limité quasi-exclusivement par les collisions, non par l"émission radiative.
Corrigé 4/25
I)-B Modes propres d"oscillation de la molécule de dioxyde de carbone
I)-B-1) Modes propres d"élongation.

8) a) On raisonne encore comme si un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide r0 reliait

chaque noyau d"oxygène au noyau de carbone. Les allongements respectifs de ces ressorts sont

10xx- et 02xx-.

La molécule étant isolée, le référentiel barycentrique est encore galiléen. On applique le principe
fondamental de la dynamique successivement à : • P
1 : ( )10212ddxxx-=ktmO (c5a)
• P
0 : ( ) ( ) ( )02102102022ddxxxxxxxx-+=-+--=kkktmC (c5b)
• P
2 : ( )02222ddxxx--=ktmO (c5c)
b) G est barycentre, donc 0201=++GPmGPmGPmOCO. En projection sur ze : 0
201=++xxxOCOmmm, soit ( )210xxx+-=
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] [PDF] Corrigé - IRPHE

Corrigé 1/25

Corrigé

1) a) On effectue le développement de Taylor de )(rVau deuxième ordre au voisinage de son minimum

0 : ( )( )( )( ) ( )( )( )022

20020022

20000dd

21)(dd

1) b) LE est l"énergie de liaison de la molécule (ou énergie de dissociation).

2) Dans cette approximation harmonique, tout se passe donc comme si les deux noyaux étaient reliés par

0. La molécule étant isolée, le référentiel

1 puis à P2 donne :

1dd ddrrmk

2dd ddrrmk

La somme (c1a) + (c1b) donne :

2212=-++?-))

2121mmmmm+= : masse réduite de {P1 ; P2}.

3) L"énergie mécanique classique d"un oscillateur harmonique oscillant avec une amplitude rDest

1rkrrkE

0)(2pqmEELD+-=w.

4) La puissance moyenne rayonnée par le dipôle oscillant à cette pulsation 0w qu"est cette molécule est :

P+=+=D

0TEEmc

L+-=><-=pw

EEEEmcqμ

0 avec : 220

0 6qμmcEw

L"énergie de la molécule varie donc comme

5) a) On a vu à la question précédente que l"expression (4) de l"énoncé n"était valable que si

0 6qμmcEw

6) La perte d"énergie par rayonnement est décrit par le terme d"amortissement dissipatif

20202441wwt-»-)

1wtip±-=, et )(trvarie

LLexp21)(21)(2020220 (c4)

020220

LCEEE+>=<2, et on retrouve bien

7) a) Lors de son déplacement sur une longueur l, la molécule balaye le volume lCs ; on évalue le libre

Corrigé 3/25 parcours moyen

Pour un gaz parfait,

BPTklTkPns=?=* *. A.N. : *l = 260 nm

7) b) On peut donc évaluer la durée de vie Ct d"un état excité limité par les collision par

12COTkvmBth

D"où

COCOTkm

PTkmlvlB

Corrigé 4/25

I)-B-1) Modes propres d"élongation.

8) a) On raisonne encore comme si un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide r0 reliait

10xx- et 02xx-.

1 : ( )10212ddxxx-=ktmO (c5a)

0 : ( ) ( ) ( )02102102022ddxxxxxxxx-+=-+--=kkktmC (c5b)

2 : ( )02222ddxxx--=ktmO (c5c)

201=++xxxOCOmmm, soit ( )210xxx+-=

BPTklTkPns=?=* . A.N. : l = 260 nm