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Pour la laisse, ça ne change rien ; Il y a autant d'efforts d'un coté que de l'autre ) 2 FORCE 2 1 DEFINITION On appelle force une action mécanique exercée

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Modélisation des actions mécaniques • Chaque action mécanique s'exerçant sur le système, peut être modélisée par une force La force est représentée par un

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Ce torseur modélise l'action mécanique de la force )2 1(→ F qu'exerce la pièce 1 sur la pièce 2 appliquée au point A A est le point d'application de la force B

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MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

1- Définition d"une action mécanique

On appelle Action Mécanique (notée AM), toute cause capable de : provoquer ou modifier le mouvement d"un solide ; provoquer la déformation d"un solide. Une action mécanique est ainsi caractérisée par son effet.

Une AM a toujours une origine et une cible.

On utilisera la notation :: i®j (AM de i sur j)

Exemples :

action de la pesanteur sur le bateau : pes®bateau action de l"eau sur le bateau : eau®bateau action du vent sur le cerf-volant : vent®cerf volant

2- Recenser les actions mécaniques : graphe d"analyse ou graphe de

structure Un graphe d"analyse ou graphe de structure est un graphe des liaisons complété des actions mécaniques sollicitant le mécanisme étudié. Il permet de recenser efficacement toutes les actions mécaniques. Exemple : chaîne ouverte à 3 degrés de liberté

3- Modéliser une action mécanique

3-1 Modélisation d"une action mécanique par un torseur

Une action mécanique d"un solide i sur un solide j est modélisée par un torseur : )()(jiMR jiMR TBji B Aji A ji avec jiABRBAjiMjiM®Ù+®=®)()(

On appelle :

jiR® résultante de l"AM de i®j. elle modélise la part de l"action mécanique qui crée ou

modifie un mouvement de translation à trajectoire rectiligne, ou provoque une déformation de

traction ou compression. Elle est exprimée en Newton (N) et est indépendante du point

d"expression du torseur ; )(jiMA® moment de l"AM de i®j. il modélise la part de l"action mécanique qui crée ou modifie un mouvement de rotation, ou provoque une déformation en torsion ou en flexion. Il est exprimée en Newton.mètre (N m) et dépend du point d"expression du torseur.

Les moments sont reliés par une relation identique à celle reliant les vecteurs vitesses d"un solide

indéformable. Remarque : on utilise le terme " résultante » car le modèle résulte de la somme de toutes les AM de contact réparties au niveau du contact entre les deux solides. Dans l"exemple ci-contre, le cycliste en réalité ne pousse pas sur la pédale en un point unique mais sur toute la surface de contact entre le pied et la pédale. B-Modéliser | Statique -1 | Modélisation des actions mécaniques : 01 Modelisation des actions mecaniques.doc- Page 2 sur 7 SII CPGE 1ère année - Créé le 03/03/2018 - 3-2 Exemples d"actions mécaniques Tournevis Valise

3-2 Cas particulier de l"action mécanique " force » ou " torseur glisseur »

Une force appliquée en un point A est une AM dont le moment est nul au point d"application A de la

force. L"AM ne tend pas à créer une rotation autour du point d"application A . Une force est modélisée par un torseur glisseur :

®®)(0),(),(jiMR

RTPji

RAptPji

RAptjijiji

Ce torseur est invariant pour tous les points

),(jiRAP®Îappelée droite d"action. C"est la raison

pour laquelle ce torseur est appelé glisseur : la force peut s"appliquer en tout point de la droite

d"action en modélisant la même action.

On peut noter que le moment d"une force résultante est nul en tout point appartenant à la droite

d"action de la force. Détermination du moment d"une force en un autre point que le point d"application : zRdRBAjiMjiMjijiAB..)()( d est appelé bras de levier (distance entre B et la droite d"action, qui se mesure au niveau du projeté orthogonal du point sur la droite.) Signe + si le sens de la force donne une orientation du pouce de la main droite dans le sens de z,

Signe - dans le cas contraire

z est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par AB et jiR® donc

®®zRdR

RTjiji

Bji

RAptjiji

..0),(

Action de la main sur le tournevis pour

pouvoir visser une vis : La résultante permet de maintenir la tête du tournevis dans l"empreinte de la vis Le moment permet de réaliser l"opération de vissage (rotation de la vis)

Action du bras sur la valise :

Le personnage de droite n"exerce qu"une

résultante pour porter sa valise. Celui de gauche exerce la même résultante mais également un moment qui s"oppose à la rotation de la valise... B-Modéliser | Statique -1 | Modélisation des actions mécaniques : 01 Modelisation des actions mecaniques.doc- Page 3 sur 7

SII CPGE 1ère année - Créé le 03/03/2018 - 3-3 Cas particulier de l"action mécanique " couple » ou " torseur couple »

Un couple est une AM dont la résultante est nulle. Un couple est modélisé par un torseur couple : "®CTPptji 0 Ce torseur est invariant pour tous les points P de l"espace. En effet :

CjiMRBAjiMjiMAjiAB

3-4 Actions mécaniques réciproques

On admettra sans démonstration et on retiendra aussi :

Théorème des actions réciproques :

{}{}1221®®-=TT Soit

1221®®-=RR et )12()21(®®-=AAMM quel que soit le point A

4- Modéliser les actions mécaniques usuelles

4-1 Action de la pesanteur (poids)

Considérons un solide 1 soumis à la l"action de la pesanteur : Le poids d"un solide 1 de masse m est une force de résultante gm.passant par le centre de masse G :

0.),(),(1

gmgmT gGPptgGPptpes Ecrit en un autre point de la droite d"action (G,g), le torseur de l"action de pesanteur possède un moment.

4-2 Action exercée par un vérin

Considérons un vérin relié à des solides 1 et 2, respectivement aux points d"attache B et C.

Si pour un vérin :

le corps et la tige sont en liaison articulation (pivot ou sphérique) à leur " point d"attache B et

C » ;

et que les poids du corps et de la tige sont négligés,

alors le corps et la tige du vérin ne sont pas représentés sur le graphe d"analyse, et l"action du vérin

est modélisée par une force de droite d"action passant par ses points d"attache : 0. 12 ),(12 21
uFuFT uCPptuCPpt verin G

1®pesR

(1) 1

Pesanteur

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SII CPGE 1ère année - Créé le 03/03/2018 - Si en plus le vérin est de type pneumatique ou hydraulique et en considérant que la pression du

fluide est uniforme :

Î"¾¾ ®¾0...),(21

uSpT uCPpt verin avec p (en Pa) la pression uniforme du fluide S (en m2) la surface de contact fluide/piston : 4 .2DSp= dans le cas où la tige sort, 4 ).(22dDS-=p dans le cas où la tige rentre

Unités de pression usuelles :

le Pascal ( Pa ) est égal à un Newton par mètre carré, 1 Pa = 1 N.m -2 ; le Méga Pascal (MPa) est égal à 1 Newton par millimètre carré, 1 MPa = 10

6 Pa = 1 N.mm-2 ;

le bar ( bar ) est égal à 10

5 Pa , 1 bar = 105 Pa.

4-3 Action d"entraînement d"un moteur électrique

Considérons le rotor et le stator d"un moteur :

L"action mécanique du stator d"un moteur électrique sur son rotor est modélisée par un couple

dont la direction est celle de l"axe du moteur : "¾¾¾ ®¾uCTPpt moteur .01221 NB : le rotor définit l"axe du moteur. Il est en liaison pivot par rapport au stator.

4-4 Action d"un ressort de traction/compression

Considérons deux solides 1 et 2 en liaison pivot d"axe (A,.x)

Un ressort de traction/compression est placé en parallèle de cette liaison. Soit l la longueur du

ressort. B-Modéliser | Statique -1 | Modélisation des actions mécaniques : 01 Modelisation des actions mecaniques.doc- Page 5 sur 7

SII CPGE 1ère année - Créé le 03/03/2018 - L"action d"un ressort de traction/compression de longueur à vide llll

0 et de raideur k (en N/m) est une

force passant par ses points d"attache et d"intensité proportionnelle à la variation de longueur du

ressort : 0)..( 0 ),(0 21
ukukT uCPptuCPpt ressortllll

4-5 Action d"un ressort de torsion

Considérons deux solides 1 et 2 en liaison pivot. Un ressort de torsion est placé en parallèle de cette liaison. Soit a l"angle du ressort. L"action d"un ressort de torsion d"angle à vide aaaa

0 et de raideur k (en Nm/rad) est un couple, d"intensité

proportionnelle à la variation de l"angle du ressort : --="¾¾¾ ®¾ukTPpt ressort )..(0021aa

4-6 Actions mécaniques transmissibles dans les liaisons usuelles parfaites

Torseur des actions mécaniques transmissibles

Une liaison entre deux solides 1 et 2 va transmettre des actions mécaniques d"un solide à l"autre.

On note le torseur des actions mécaniques transmissibles (susceptibles d"être transmises) dans la

liaison entre 1 et 2 :

®zNyMxLzZyYxX

MRTAAAAAA

......21,21,21,212121 )21(21 21

Les composantes des vecteurs

21®R et )21(®AMsont appelées inconnues de liaisons. En général,

dans les problèmes traités, elles sont inconnues et on ne cherche pas à les déterminer...

Liaisons parfaites

Une liaison parfaite est une liaison cinématiquement parfaite ne dissipant pas d"énergie (liaison

sans frottement, le frottement étant considéré comme une résistance au mouvement) quels que

soient les efforts transmis par cette liaison et quelles que soient les amplitudes et vitesses des mouvements relatifs. Conséquences : pour chaque degré de liberté supprimé, il existe une composante d"action mécanique susceptible d"être transmise par la liaison ;

à l"inverse, aucune composante d"action mécanique ne peut être transmise là où un

mouvement relatif est possible. 2 1 u B-Modéliser | Statique -1 | Modélisation des actions mécaniques : 01 Modelisation des actions mecaniques.doc- Page 6 sur 7 SII CPGE 1ère année - Créé le 03/03/2018 - Exemple : liaison glissière de direction x entre 1 et 2 La liaison comprend 1 degré de liberté : Tx . Conséquence : la liaison ne peut transmettre d"action

élémentaire

xF, d"où X1®2 = 0 .

Si on applique une force

xF sur la pièce 1, la pièce 2 ne " ressent » rien, car la force n"est pas transmise d"un solide à l"autre par l"intermédiaire de la liaison. Le torseur des actions mécaniques transmissibles est de la forme : )21(21

21,21,21,2121

21......0APtAAAPtMR

zNyMxLzZyYxT avec 0.21=®xR

Cas particulier de la liaison hélicoïdale

Rappel : cette liaison n"admet qu"un seul degré de liberté. La translation et la rotation sont liées par le pas. On cherche la forme du torseur des actions mécaniques transmissibles qui assure une puissance P

1"2 dissipée au niveau de

la liaison, qui soit nulle : P

1"2 = 0..2/1)21(2/121=W+®Î®AAMVR

(relation sur le calcul de la puissance qui sera vue en 2

ème année)

Ce qui nous conduit à : X

1®2.wx, 1®2 . p.2

pas ± LA,1®2.wx, 1®2 = 0

Donc : L

A,1®2 = ± X1®2 p.2

pas Le signe + ou - dépend du sens du pas (+ pour un pas à droite, - pour un pas à gauche)

On notera aussi que pour une liaison usuelle parfaite, la nécessité d"avoir une puissance nulle

dissipée implique la particularité suivante.

Les zones de validité (c"est à dire l"ensemble des points de l"espace où cette forme est la même) du

torseur cinématique et du torseur des actions mécaniques transmissibles sont identiques. B-Modéliser | Statique -1 | Modélisation des actions mécaniques : 01 Modelisation des actions mecaniques.doc- Page 7 sur 7 SII CPGE 1ère année - Créé le 03/03/2018 -

NOM et

caractéristique(s) géométrique(s)

Représentation

Forme du torseur

cinématique

Forme du torseur des actions

mécaniques transmissibles

Î"0.

1/2xVx

xOAw

®zNyMzZyYxXTAAxOA

.....21,21,212121 21
PIVOT d"axe (O, x) Zone de validité : en tout point A appartenant à l'axe (O, x)

Î"xVxVxAx

xOA..2121 1/2 w

®zNyMzZyYTAAxOA

....21,21,2121 21
PIVOT

GLISSANT

d"axe (O, x) Zone de validité : en tout point A appartenant à l'axe (O, x)

Î"xpx

Vxx xOA..2.2121

1/2wpw

®zNyMxXpzZyYxX

TAA A .....2...21,21,21212121 21p

HELICOIDALE

d"axe (O, x) et de pas p Zone de validité : en tout point A appartenant à l'axe (O, x) W= 0 1/2 1/2

OV { }

0...

212121

21
zZyYxXT O

SPHERIQUE

de centre O

Zone de validité : uniquement au point O

W=

ÎxVVxOO.1/21/2

1/2 0.. 2121
21
zZyYT O

SPHERE-

CYLINDRE

de centre O et de direction x