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Cours numero 1 :

modelisation par suites et fonctions

1 Parametres, variables, relations, fonctions,

1.1 Introduction

Il y a essentiellement deux outils mathematiques qui permettent de modeli- ser les situations \reelles" : les suites et les fonctions, qui correspondent a des modelisations discretes et continues. Nous allons d'abord etudier le cas des fonctions, d'une ou plusieurs variables reelles, nous reviendrons plus tard, et brievement, sur le cas des suites. Lorsqu'on essaie de modeliser une situation reelle, ce n'est qu'exception- nellement que se degagent des variables

1et des fonctions de maniere na-

turelle et c'est encore plus rare que la situation soit modelisee parune fonction d'unevariable, ce qui est la seule situation mathematique que connaissent vraiment les lyceens. C'est une diculte pour les professeurs de mathematiques qui souhaitent illustrer leur enseignement par des applica- tions. En general, la situation est caracterisee par un ensemble de parametres, qui permettent de la decrire, et il y a des relations entre ces parametres 2. Dans un premier temps, nous analysons l'origine des parametres et des rela- tions.

1.2 Exemple 1 : la bo^te de conserves

La question est la suivante :

Vous ^etes fabricant de bo^tes de conserves. Vous devez produire, au moindre co^ut, des bo^tes cylindriques de volume donne. Que proposez-vous? Les deux quantites qui nous interessent sont le volumeVde la bo^te et son aireS(qui mesure la quantite de metal). Ces quantites dependent des

dimensions de la bo^te, c'est-a-dire du rayon de la baseRet de la hauteur1. Tout de m^eme, en physique, il y a souvent une variable naturelle lorsqu'on etudie

l'evolution d'un systeme, c'est le temps.

2. La plupart des lois de la physique sont ainsi donnees comme des relations entre des

parametres. 1 h:V=R2hetS= 2Rh+ 2R2. On voit qu'on a des relations entre les divers parametres, mais sous forme implicite. C'est le cas dans la plupart des modelisations. Dans le cas present, si l'on xeV, on peut aisement tirerhen fonction deR:h=VR

2.On en deduitS= 2(R2+VR

) qui est minimum pourR=3rV

2.Il reste a formuler le resultat de maniere comprehensible. La

valeur deRverie 2R=VR

2=h: la hauteur doit ^etre egale au diametre3.

On peut aussi tirerRen fonction deh:R=rV

h ce qui donneS= 2 Vh +2pV h. Avec cette forme le calcul est un peu plus complique : on voit ici l'importance du choix des parametres. On peut poser aussi le probleme dual : pour une quantite de metal donnee, quelle forme maximise le volume? Dans ce cas, si l'on xeS, on peut aisement tirerhen fonction deR. On obtientV=RS2

R3qui est maximum pour

R

2=S=6. Si on calculeh, on retrouveh= 2R. On peut aussi tirerR

en resolvant l'equation du second degre 2R2+ 2RhS= 0. On trouve R=h+p

2h2+ 2S2(le signe + est obligatoire). Cette fois, le calcul

est nettement plus complique. Dans ce cas, les parametres (variables ou fonctions) sont denis de maniere naturelle et on a facilement des relations entre eux. On obtient des fonctions en resolvant ces relations, c'est-a-dire en exprimant un parametre en fonction des autres. Le probleme peut facilement ^etre traite au lycee.

1.3 Exemple 2 : la loi d'Ohm

Il s'agit de la loi qui relie la tension a l'intensite :U=RIouRdesigne la resistance du conducteur. Que dit cette loi? Simplement qu'il y apropor- tionnaliteentre tension et intensite, le coecient baptise resistance etant une caracteristique du conducteur. Dans ce cas, aux quantites physiques, ten- sion et intensite, s'ajoute une quantite supplementaire denie par la relation de proportionnalite. Ensuite, d'ailleurs, ce coecient peut ^etre calcule a son tour par la formuleR=l=s. La encore, ce qu'on dit c'est queRest propor- tionnelle a la longueur du conducteur (suppose cylindrique) et inversement proportionnelle a sa surface et on donne un nom au coecient (resistivite).

On introduit ici, a c^ote des caracteristiques geometriques du conducteur une3. C'est souvent le cas { mais pas toujours { pour les bo^tes de conserves du commerce.

2 nouvelle constante. Bref, un premier type de fonctions appara^t ici et dans beaucoup de si- tuations (mais pas toutes) : les fonctions lineaires, qui traduisent la propor- tionnalite. L'inter^et de ce type de formule est de permettre de determiner les ca- racteristiques d'un conducteur a partir de certaines d'entre elles. Par exemple : on a une ampoule de 100 watts et un courant de 220 volts, on en deduitR etIgr^ace aux formules4P=UIetU=RI.

1.4 Exemple 3 : la dilatation

On donne souvent une formule pour la longueur d'un l en fonction de la temperature :l=l0(1 +(tt0)) oul0est la longueur a la temperaturet0. On donne aussi alors la variation de volume :V=V0(1 + 3(tt0)). D'ou sortent de telles formules? Essentiellement d'une approximation lineaire au premier ordre pour de petites variations du parametrett0. On ecrit, en fait, la formule de Taylor a l'ordre 1 :l=f(t) =f(t0)+(tt0)f0(t0)+o(tt0) et len'est autre quef0(t0)=l0. D'ailleurs, lorsqu'on juge cette approximation lineaire trop grossiere, on utilise une approximation quadratiquel=l0(1 + t+t2). Pour passer au volume, oneleve au cubeV=l3=l30(1+(tt0))3 l

30(1 + 3(tt0)).

Ici, donc, faute de conna^tre vraiment la loi de la dilatation, on en prend une approximation, lineaire, voire polynomiale.

1.5 Exemple 4 : l'optique geometrique

1.5.1 La situation

On s'interesse a des systemes optiques, c'est-a-dire une succession de mi- lieux transparents et homogenes separes par des dioptres

5ou des miroirs.

On etudiera notamment le cas du miroir spherique. Dans tout ce qui suit on supposera qu'on a aaire a un systeme centre, c'est-a-dire a un systeme qui admet un axe de revolution, que l'on tracera toujours horizontal et qui sera oriente de gauche a droite (sens de parcours de la lumiere). Le probleme est le suivant : etant donne un objetA(une source lumineuse situee sur l'axe),

determiner son imageA0apres passage par le miroir ou la lentille.4. Sauf erreur, ces formules sont encore vraies en courant alternatif, au moins s'il n'y

a pas de dephasage entre les quantites, ce qui est le cas pour une lampe ou un appareil de chauage mais ne serait plus vrai pour un moteur. Dans ce cas, il y a un facteur cos'qui s'introduit.

5. Un dioptre est une surface separant deux milieux dans lesquels la vitesse de la lumiere

est dierente. 3 Pour traiter ce probleme, on supposera toujours qu'on est dans lescondi- tions de Gauss: les rayons lumineux sont peu inclines sur l'axe et proches de l'axe. Traitons le cas du miroir spherique (ici concave). Le miroir est modelise par un arc de cercle de centreC, situe sur l'axe. On noteSle sommet du miroir (le point d'intersection avec l'axe) et on cherche l'image d'un rayon

AIissu d'un pointAde l'axe, se re

echissant enIsur le miroir et recoupant l'axe enA0. La normale au miroir enIpasse par le centre du miroir. C'est donc la droite (IC). La loi de la re exion indique que l'angle d'incidence \AICest egal a l'angle de re exion\CIA0et on le notei. Par ailleurs, on note respectivement;;0les anglesdSAI,dSCIet\SA0I. La somme des angles des trianglesACIetA0CIdonne alorsi==0et donc 2=+0.

On a alors le resultat suivant :

1.1 Proposition.Dans les conditions de Gauss, on a la formule (dite de

conjugaison) :1SA +1SA 0=2SC Demonstration.AppelonsRle rayon du cercle. Comme on suppose les angles

0petits, on peut les assimiler a leurs sinus ou leurs tangentes. De plus,

comme on aSH=R(1cos) il est voisin de 0 (equivalent a2=2) et on peut donc en denitive ecrire : 'HI SA ; 'HI SC ; 0'HI SA 0 d'ou le resultat avec+0= 2.

1.5.2 Discussion

Si on calcule en faisant un developpement limite, on se ramene a montrer que les quantites suivantes sont \egales" :

42222+ 43'42+ 44+ 2524:

On voit que l'erreur est de l'ordre de4donc petite sil'est. D'ailleurs, avec'20les deux membres de l'egalite sont 0;14893 et 0;14851 et avec = 10, le premier devient 0;14861. 4

22,7311 °

28,77 °

2/SC=0,148514851134567

1/SA+1/SA'= 0,149401338844317

i i C S A I H A'

FFigure1 { Le miroir spherique

1.5.3 Les fonctions

Pour un systeme optique general, on appellefoyer imageF0l'image d'un pointAsitue a l'inni etfoyer objetFle point dont l'image est a l'inni. Dans le cas d'un miroir spherique, la formule de conjugaison montre que ces deux foyers sont egaux et qu'on aSC= 2SFautrement dit,Fest le milieu de [SC]. AvecF, la formule de conjugaison s'ecrit : 1OA 0+1OA =1SF Dans un systeme comportant une lentille au lieu d'un miroir, les deux foyers sont distincts et la formule de conjugaison devient : 1OA 01OA =1OF 0, ouOest le centre de la lentille. Les physiciens introduisent ici les notations suivantesp=SA(ouOA), p 0=SA

0(ouOA

0),f=OFetf0=OF

0. Les formules ci-dessus deviennent

alors :1p 01p =1f

0(lentille);1p

0+1p =1f

0(miroir):

5 On est ici exactement ans la situation evoquee au debut : plusieurs pa- rametres et une relation. D'ailleurs, bon nombre d'exercices du domaine consistent seulement a calculer un parametre a partir de deux autres supposes connus. On peut cependant facilement transformer la relation en une fonction :p0 est fonction dep, avec le parametref0et c'est une fonction homographique que je noterai plut^ot avec les variablesx;y(en prevision de leur derivation) : y=f0xxf0(lentille); y=f0xx+f0(miroir): Le gain, a la fois mathematique et physique, c'est qu'on a aussit^ot le sens de variation de ces fonctions (croissante pour les lentilles, qu'elles soient conver- gentes (f0>0) ou divergentes (f0<0) et decroissantes pour les miroirs, qu'ils soient concaves (f0>0) ou convexes (f0<0), les courbes representatives etant, dans tous les cas, des hyperboles equilateres. On en deduit par exemple, dans le cas d'une lentille, convergente ou di- vergente, quesi l'on deplace l'objet de gauche a droite, l'image constituee par une lentille en fait autant, ce qui ne semble pas evident, m^eme pour les experts, surtout dans le cas divergent (voir le livre de Laurence ViennotEn physique : pour comprendre).

1.2Remarque.Il y a une ecriture encore plus simple qui consiste a mettre

l'origine enFpour les objets etF0pour les images et on a alors les formulesFAF

0A0=f02pour les lentilles etFAF

0A0=f02pour les miroirs. On voit

encore plus clairement que les courbes de dependance deA0en fonction de

Asont des hyperboles.

1.6 Suite de la discussion sur l'origine des fonctions

Les fonctions proviennent parfois de maniere naturelle de relations, de principes, de formules diverses, comme on l'a vu ci-dessus. On a vu aussi le cas de la proportionnalite, ou de l'approximation lineaire du premier ordre. On verra dans les chapitres suivants comment l'analyse innitesimale du phenomene conduit en general a une equation dierentielle. Cependant, dans beaucoup de situations, on a des parametres, on pressent qu'il y a une relation entre eux, mais on n'a pas d'elements clairs pour etablir une telle relation. On va donc utiliser des methodes d'interpolation, soit algebriques, soit statistiques. C'est l'objet du paragraphe suivant. 6

2 Interpolation et regression

Lorsqu'il n'y a pas, de maniere naturelle, une fonction qui se degage, on peut essayer de construire une telle fonction qui approche

6les donnees. Il y

a pour cela deux grandes voies.

2.1 Interpolation polynomiale

2.1.1 Le polyn^ome de Lagrange

La question est la suivante. On a deux parametres, disonsa;b, dont on conna^tn+1 valeurs (a0;b0), ..., (an;bn) et on cherche une fonction qui verie f(ai) =bipouri= 0;:::;n. On cherchea prioriune fonctionfla plus simple possible, par exemple polynomiale. Le resultat est le suivant :

2.1 Theoreme.Soienta0;:::;andes reels distincts etb0;:::;bndes reels

quelconques. Il existe un unique polyn^omePde degrenqui verieP(ak) =bk pour toutk. Ce polyn^ome est donne par la formule (polyn^ome d'interpolation de Lagrange 7) :

P(x) =nX

i; ou le chapeau signie que le terme correspondant est omis. Demonstration.L'existence et l'unicite du polyn^ome sont evidentes pour qui conna^t un peu d'algebre lineaire. En eet, l'application qui a un polyn^ome Pde degrenassocie (P(a0);:::;P(an)) est denie sur l'espace vectoriel P ndes polyn^omes de degren, qui est de dimensionn+1, elle est a valeurs dansRn+1et injective (car un polyn^ome de degrenqui admetn+1 racines est nul). Elle est donc surjective, d'ou l'existence et l'unicite du polyn^ome. Une variante plus elementaire de ce raisonnement consiste a chercherPsous la formeP(x) =nxn++0et a resoudre le systeme correspondant en les i. Il est de Cramer car son determinant est un Van der Monde. On obtient ainsi l'existence et l'unicite, mais pas la formule explicite. Pour trouver cette derniere, l'idee est de fabriquer d'abord un polyn^ome nul en tous lesaisauf enak(c'est facile!), de lui imposer ensuite la valeur

enaken multipliant par un scalaire et d'ajouter le tout.6. Cela pose tout de m^eme ensuite le probleme de la abilite des previsions, notamment

en economie. Lorsqu'il n'y a pas de raison objective montrant que tel parametre depend de tel autre avec telle loi, les previsions sont sujettes a caution. En un mot : fonction n'implique pas causalite.

7. Ces questions ont ete abordees de maniere independante par Lagrange et Van der

Monde en 1770 a propos de la resolution par radicaux des equations algebriques. 7

2.2Remarques.

1) On peut aussi imposer des conditions sur les derivees, par exemple les

valeurs enaidespipremieres derivees.

2) Un defaut de cette methode est qu'on doit recalculer le polyn^ome si l'on

ajoute des points.

2.1.2 Un programme surxcas

Par cette methode, on peut, en particulier, approcher une fonctionf par un polyn^ome. Voici un programme, sur le logicielxcas, qui calcule le polyn^ome d'interpolation. On suppose qu'on a deni une fonctionf, on l'ap- proche sur l'intervalle [a;b], avecnpas reguliers. On va donc utiliser les8 a i=a+iban et lesbi=f(ai). Le programme consiste a calculer d'abord chaque produityk:=(xa0):::\(xak):::(xan)(aka0):::\(akak):::(akan)en partant de 1 et en multipliant recursivement par chaque terme (boucle pour), avec un test pour eviter le casj=k(enxcas,j! =ksigniej6=k). On calcule ensuite la somme (qu'on appellez) de ces termes multiplies parf(ak) et on obtient P(x). interpol(a,b,n,x):=f local j,k,y,z; z:=0; pour k de 0 jusque n faire y:=1; pour j de 0 jusque n faire si j!=k alors y:=y*(x-(a+j*(b-a)/n))/((k-j)*(b-a)/n); fsi fpour z:=z+y*f(a+k*(b-a)/n); fpour return z; g

2.3Remarque.M^eme si l'on multiplie les points il n'est pas s^ur que la suite

des polyn^omes de Lagrange converge vers la fonction. Cela peut dependre

du choix des points. Avec des points equidistants sur l'intervalle [a;b] :ai=8. Attention, il faut les nommerajouakcar le symboleidansxcassigniep1.

8 a+iban ,le polyn^ome d'interpolation approche tres bien9la fonction sinx, mais il y a divergence dans le cas def(x) =11 +x2(phenomene de Runge). Avecxcason voit deja le phenomene en prenantf(x) =1x

2+ 0;01,a=1,

b= 1 etn= 5. Avecn= 8 c'est encore mieux.

2.2 Regression lineaire

On part de la m^eme donnee (aux notations pres),x1;:::;xnety1;:::;yn et on suppose toujours lesxidistincts. On a donc un nuage de points. Dans de nombreux cas, au moins lorsque les points du nuage semblent se repartir le long d'une droite, on cherche a l'approcher par une droite. Cette fois, la droite ne passe pas necessairement par les points, mais elle en est proche au sens desmoindres carres:

2.4 Denition.Avec les notations precedentes, la droite d'equationy=

x+est dite approcher le mieux le nuage de points au sens des moindres carres si la quantite : '(;) =nX i=1(yi(xi+))2 est minimum. On l'appelle alorsdroite de regression10.

2.5Remarque.Attention, l'approximation ne minimise pas la somme des

distances des points du nuage a la droite de regression (on ne minimise que les dierences des ordonnees). 2.2.1

Etude de'(;)

La fonction'(;) est une fonction polynomiale de degre 2 en,.Etudions d'abord une telle fonction de maniere generale :

2.6 Lemme.

1) (Le cas homogene) Soit'(;) =a2+b+c2une forme quadratique,

aveca;b;c2R. Alors'est nulle au point(0;0)et ce point est un minimum11 de'si et seulement si on a =b24ac <0eta;c >0.

2) (Le cas general) Soit'(;) =a2+b+c2+d+e+favec9. Au moins sur l'intervalle, car on ne peut emp^echer un polyn^ome de tendre vers

l'inni a l'inni.

10. Le mot remonte a Francis Galton (1822-1911).

11. Un minimum strict :'est>0 en dehors de (0;0).

9 a;:::;f2Run polyn^ome de degre2. Alors'admet un minimum strict sur R

2si et seulement si on a =b24ac <0eta;c >0. Le point ou le

minimum est atteint est donne par =2cdbe =2aebd Demonstration.1) Il sut de considerer les fonctions du second degre en =et=associees a'.

2) On sait qu'une condition necessaire pour que (0;0) soit un mini-

mum relatif est que les derivees partielles s'annulent en ce point. Ici, on a (;) = 2a+b+det@'@ (;) =b+2c+e. En resolvant les equations correspondantes on trouve le point annonce. Pour voir si le point est eectivement un minimum, on applique la formule de Taylor (qui est exacte pour un polyn^ome de degre 2 : '(;) ='(0;0) + (0)@'@ (0;0) + (0)@'@ (0;0) 12 (0)2@2'@

2(0;0) + 2(0)(0)@2'@@

+ (0)2@2'@ 2. Le terme de degre 1 dispara^t et le terme de degre 2 est exactement la forme quadratique (en0et0) rencontree en 1) d'ou le resultat.

2.7Remarque.On notera que le termefn'intervient pas (c'est normal, il

n'introduit qu'une translation du resultat).

2.2.2 Application

Avec les notations precedentes, on aa=Pn

i=1x2i,b= 2Pn i=1xi,c=n, d=2Pn i=1xiyi,e=2Pn i=1yietf=Pn i=1y2i. Il est commode d'introduire de nouvelles notions : les moyennes, variances, covariances :x=1n n X i=1x i;y=1n n X i=1y i; v(x) =1n n X i=1(xix)2; cov(x;y) =1n n X i=1(xix)(yiy):

On a alorsa=nv(x) +nx

2,b= 2nx,c=n,d=2n(cov(x;y) +xy),

e=2ny. Les nombresa;csont>0 et on a =4n2v(x) et ce nombre est <0 car lesxine sont pas tous egaux. On en deduit que la droite de regression existe et que ses coecients sont donnes par : =cov(x;y)v(x)et=ycov(x;y)v(x)x: 10

2.8Remarque.On note que la droite de regression passe par le point moyen

G= (x;y). Elle est donc determinee par sa pente=cov(x;y)v(x)et par le fait qu'elle passe parG: son equation s'ecrivantYy=(Xx).quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47