euclidienne de n par k Calculer p se dit souvent ≪ calculer n modulo k ≫ • n est divisible par k si et seulement si n =0[k]
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euclidienne de n par k Calculer p se dit souvent ≪ calculer n modulo k ≫ • n est divisible par k si et seulement si n =0[k]
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5 (mod 7), on a donc x ≡ 5 × 5 ≡ 4 (mod 7) Quand le modulo n'est pas premier nous avons le théorème suivant : Si a, b et m sont des entiers, et si
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Definition Deux entiers a et b sont dits congrus modulo N, o`u N ≥ 2 est un entier si leur différence est divisible par N, c `a-d qu'il existe un entier k tel que a
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MESUniversite de Grenoble
2012-2013Centre Dr^ome-Ardeche
Division, modulo et clefs de contr^ole
Soientn,petktrois entiers. On dit quenest egal apmodulok, et on noten=p[k], sinp est divisible park. Autrement dit,n=p[k] si et seulement sin=p+qkavecqun entier. Voici quelques proprietes importantes a retenir : il existe un unique entierpentre 0 etk1 tel quen=p[k] etpet alors le reste de la division euclidienne denpark. Calculerpse dit souventcalculernmodulok. nest divisible parksi et seulement sin= 0[k]. sin=p[k] etn0=p0[k], alorsn+n0=p+p0[k],nn0=pp0[k] etnn0=pp0[k]. Exercice :Calculer 96[7] et 135[4]. Verier que 100[7] est bien egal a (10[7])(10[7]) modulo 7.Criteres de divisibilite
Calculer 10[9], 100[9], 1000[9] et plus generalement 10 i[9]. Montrer que a nan1:::a3a2a1[9] =an+an1+:::+a3+a2+a1[9]:En deduire le critere de divisibilite par 9. Montrer de m^eme le critere de divisibilite par 3. Montrer
qu'un nombre a3a2a1est divisible par 7 si et seulement sia1+ 3a2+ 2a3est divisible par 7.
Clefs d'un code
Dans la vie courante, on utilise souvent des nombres pour coder ou inventorier des objets. Il est souvent important de ne pas se tromper en les ecrivant (par exemple pour le code RIB lors d'un virement!). Or, certaines erreurs sont malheureusement courantes : omission d'un chire, erreur sur un chire durant la saisie, inversion de deux chires consecutifs. S'il est facile de verier automatiquement que le nombre de chires est correct, les autres erreurs sont plus diciles a detecter. Pour ce faire, on ajoute au code une clefqui consiste en un ou deux chires supplementaires. Ces chires sont relies au code par une formule et on peut verier si l'ensemble code+clef correspond a un ensemble pertinent ou s'il n'est pas correct (erreur de saisie quelque part). La clef la plus simple consiste a calculer le codenmodulo un chirek. Par exemple, si la clef se calcule modulo 6, le code 4518 a pour clef 0 et on le note desormais 4587 0.1) On suppose encore que la clef se calcule modulo 6. Donner la clef du code 2387.
On cherche dorenavant le chirekpour que la clef moduloksoit la plus ecace pour detecter les erreurs de saisie.2) Que pensez-vous de la clef modulo 2? En quoi n'est-elle pas ecace?
3) Quels chires divisent 10, 100, 1000 ou une autre puissance de 10? Pourquoi ne doit-on pas les
choisir pour calculer la clef?4) Pourquoi ne pas prendrek= 3 ouk= 9?
5) Donner un critere de division par 6. Montrer quek= 6 ne fournit pas une clef tres robuste.
6) Le chirek= 7 para^t donc le meilleur candidat. Toutefois, il n'est pas parfait. En eet, montrer
qu'il existe deux nombres dierents abet baqui ont la m^eme clef modulo 7.Clef du numero de securite sociale
Un numero de securite sociale se decompose ainsi : 1 sexe 72annee de naissance10 mois de naissance38 departement de naissance314 commune de naissance159 numero d'inscription42 clef