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Preparation a l'agregation interne de mathematiques
Jean-Marie Monier
Corrige de la 2eme epreuve 2009
- Partie I : Transformation de Fourier -1.(a)Soit2R:L'applicationf:x7!f(x)e2ixest continue surRet :8x2R;jf(x)j=jf(x)j:
Commefest integrable surR,jfjl'est (par denition), doncjfjl'est, donc (par denition),fl'est. On conclut : pour tout2R;l'applicationx7!f(x)eixest integrable surR:1.(b)L'applicationF:R2!C;(;x)7!f(x)e2ixest continue par rapport a;continue par
morceaux (car continue) par rapport ax, et :8(;x)2R2;jF(;x)j=jf(x)j;oujfjest integrable surR:D'apres le theoreme de continuite sous le signe integrale, avec hypothese de domination globale, on conclut
que l'application bf:R!C; 7!Z +1 1 f(x)e2ixdxest continue surR:On a :82R;jbf()j=Z
+1 1 f(x)e2ixdx6Z +1 1 f(x)e2ixdx=Z +1 1 jf(x)jdx=jjfjj1; donc : bfest bornee et :jj bfjj16jjfjj1Ceci permet de denir l'applicationF:L1! L1; f7!F(f) =bf:2.Soienta2R+:On note':R!C; x7!eajxj:
Il est clair que'est continue surR, paire, et, comme :8x2[0;+1[; '(x) = eaxaveca >0 xe, d'apres le cours,'est integrable sur [0;+1[;puis surR:Ainsi :'2 L1:On a, pour tout2R:
F'() =Z
+1 1 eajxje2ixdx=Z 0 1 eax2ixdx+Z +1 0 eax2ixdx a2i6=0 eta2i6=0h e(a2i)xa2ii 01+he(a2i)xa2ii
+10=1a2i1a2i=2aa
2+ 422:
On conclut :82R;F'() =2aa
2+ 4223.Soientf;g2 L1:Considerons l'applicationu:R2!C;(;x)7!f(x)g()e2ix;qui est continue
surR2: Pour tout2R;l'applicationx7!u(;x) est integrable surRcar :8x2R;ju(;x)j=f(x)g()e2ix=jf(x)jjg()j
et quefest integrable surR(est xe).L'application7!Z
+1 1 ju(;x)jdx=Z +1 1 jf(x)jjg()jdx=jg()jjjfjj1est continue et integrable surR;cargl'est.L'application7!Z
+1 1 u(;x)dx=Z +1 1 f(x)g()e2ixdx=g()bf() est continue surRcar gl'est etbfl'est d'apres 1.(b). 1 Pour toutx2R;l'application7!u(;x) =f(x)g()e2ixest continue surRcargl'est.L'applicationx7!Z
+1 1 ju(;x)jd=Z +1 1 jf(x)jjg()jd=jf(x)jjjgjj1est continue surRcar fl'est.L'applicationx7!Z
+1 1 u(;x)d=Z +1 1 f(x)g()e2ixd=f(x)bg(x) est continue surRcar fl'est etbgl'est d'apres 1.(b).D'apres le resultat de permutation de deux integrales admis dans les preliminaires de l'enonce, l'application
x7!Z +1 1 u(;x)dest integrable surRet on a : Z +1 1 Z+1 1 u(;x)dx d |{z} note PM= Z +1 1 Z+1 1 u(;x)d dx |{z} note SM:Mais :
PM = Z +1 1 Z+1 1 f(x)g()e2ixdx d=Z +1 1 g()Z+1 1 f(x)e2ixdx d=Z +1 1 g()bf()d=Z R bfg; SM = Z +1 1 Z+1 1 f(x)g()e2ixd dx=Z +1 1 f(x)Z+1 1 g()e2ixddx=Z +1 1 f(x)bg(x)dx=Z R fbg:On conclut :8f;g2 L1;Z
R fbg=Z R bfg4.Soitf2 L1telle que l'applicationxf:x7!xf(x) soit dansL1:NotonsF:R2!C;(;x)7!f(x)e2ix:
Pour tout2R; F(;) est integrable surR, d'apres 1.(a). @F@ : (;x)7! 2ixf(x)e2ixexiste surR2;est continue par rapport a, continue par morceaux (car continue) par rapport ax.On a :8(;x)2R2;@F@
(;x)= 2xjf(x)jetx7!2xjf(x)jest independant de;integrable surR: D'apres le theoreme de derivation sous le signe integrale, avec hypothese de domination globale, on deduit : pour tout2R;l'applicationx7! 2ixf(x)e2ixest integrable surR(ce qui est d'ailleurs immediat, en considerant le module) l'applicationbf:7!Z +1 1F(;x)dxest de classeC1surR
pour tout2R:bf0() =Z +1 1@F@ (;x)dx=Z +1 12ixf(x)e2ixdx=F(2ixf)():
On conclut :sif2 L1etxf2 L1;alorsbfest de classeC1surRet :D(Ff) =F(2ixf)5.(a)Soitf:R!Cderivable telle quef2 L1etDf2 L1:
2 On a, d'apres le theoreme fondamental de l'analyse, puisquefest de classeC1surR:8x2R; f(x) =f(0) +Z
x 0 f0(t)dt: Commef02 L1; f0est integrable surR;donc l'applicationx7!Z x 0 f0(t)dtadmet une limite nie`1 en1et une limite nie`2en +1:Alors : jf(x)j !x! 1jf(0) +`1j|{z} noteL1etjf(x)j !x!+1jf(0) +`2j|{z} noteL2: SiL26= 0;alorsL2>0;donc il existeA2R+tel que :8x2[A;+1[;jf(x)j>L22 d'ou :8X2[A;+1[;Z X 0 jf(x)jdx>Z X A jf(x)jdx>(XA)L22 !X!+1+1; contradiction avec l'integrabilite dejfjsur [0;+1[:Ceci montre :L2= 0:
De m^eme :L1= 0:
On conclut :f!10 etf!+10:
5.(b)Soitf:R!Cderivable telle quef2 L1etDf2 L1:
Soit2R:Soit (X;Y)2R2tel queX6Y:
On a, par integration par parties pour des applications de classeC1sur un segment : Z Y X f0(x)e2ixdx=f(x)e2ixY XZ Y X f(x)(2i)e2ixdx =f(Y)e2iY f(X)e2iX+ 2iZ Y X f(x)e2ixdx: D'apres (a),fest de limite nulle en1et en +1;donc, comme e2ixest de module 1, on a : f(X)e2iX!X! 10 etf(Y)e2iY !Y!+10:On deduit, en faisant tendreXvers1etYvers +1:
Z +1 1 f0(x)e2ixdx= 2iZ +1 1 f(x)e2ixdx; et on conclut :82R;F(Df)() = (2i)F(f)(): Autrement dit, avec les notations de l'enonce :F(Df) = (2i)Ff6.(a)L'application :x7!ex2est continue surR;>0;etx2ex2!x! 10;donc, par comparaison avec l'exemple de Riemann en1(2>1), est integrable surR:On admet :Z
R = 1 (c'est la classique integrale de Gauss).6.(b)On note
:R!C; 7!Z +1 1 e(x+i)2dx:NotonsG: (;x)7!e(x+i)2: 3 Pour tout2R;l'applicationG(;) est integrable surR, car :8x2R;jG(;x)j=e(x2+2ix2)= ex2e2;
etx7!ex2est integrable surR(est xe). @G@ : (;x)7! 2i(x+ i)e(x+i)2existe surR2;est continue par rapport a, continue par morceaux (car continue) par rapport ax.On a :8(;x)2R2;@G@
(;x)= 2jx+ ijex2e2= 2px2+2ex2e2:
SoitA>0 xe. On a :8(;x)2[A;A]R;@G@
(;x)62px2+A2ex2eA2
|{z} note'A(x) et'Aest continue par morceaux surR(car continue),>0;integrable surR, par la reglex2'A(x) par exemple.D'apres le theoreme de derivation sous le signe integrale avec hypothese de domination locale, on conclut :
pour tout2R;l'application@G@ (;) est integrable surR est de classeC1surR 82R;0() =Z
+1 1@G@ (;x)dx=Z +1 12i(x+ i)e(x+i)2dx
Z +1 1 iddxe(x+i)2 dx= ie(x+i)2+11= i(00) = 0:
Ceci montre que
est constante sur l'intervalleR:En particulier : 82R;(0) =Z +1 1 ex2dx=Z R = 1:
6.(c)On a, pour tout2R:
F () =Z +1 1 (x)e2ixdx=Z +1 1 ex2e2ixdx=Z +1 1 e(x2+2ix)dx Z +1 1 e[(x+i)2+2]dx= e2Z+1 1 e(x+i)2dx= e2 () = e2=On conclut :F
6.(d)Soita >0 xe. On note
a:R!C; x7! a(x) = (ax):On a, pour tout2R: F a() =Z +1 1 a(x)e2ixdx=Z +1 1 (ax)e2ixdx=t=axZ +1 1 (t)e2ita dta 1a Z +1 1 (t)e2ita dt=1a F a =(c)1a a =1a 1aOn conclut :F
a=1a 1a 4 - Partie II : Convolution -1.Remarque :(f;g) verie (H2) si et seulement si (g;f) verie (H1).
Soientf;g:R!Ccontinues.
On suppose ici que (f;g) verie (H1), c'est-a-dire :f2 L1etg2 L1: Soitx2R:L'applicationh:y7!f(xy)g(y) est continue surRet :8y2R;jh(y)j=jf(xy)jjg(y)j6jjfjj1jg(y)j;
donchest integrable surR;puisquegl'est. On suppose ici que (f;g) verie (H2), c'est-a-dire :f2 L1etg2 L1: Soitx2R:L'applicationh:y7!f(xy)g(y) est continue surRet :8y2R;jh(y)j=jf(xy)jjg(y)j6jjgjj1jf(xy)j;
donchest integrable surR;puisquefl'est, par translation et symetrie a partir def. Lorsque (f;g) verie (H1) ou (H2), on denitfg:R!Cpar :8x2R;(fg)(x) =Z +1 1 f(xy)g(y)dy2.1)Soit (f;g) veriant (H1). On a, pour toutx2Rxe, par le changement de variableu=xy: (fg)(x) =Z +1 1 f(xy)g(y)dy=Z 1 +1f(u)g(xu)(du) =Z +1 1 g(xu)f(u)du= (gf)(x):On conclut :fg=gfSi (f;g) verie (H2), alors (g;f) verie (H1), donc, d'apres le resultat precedent :gf=fg:
On conclut que, si (f;g) verie (H1) ou (H2), on a :fg=gf:2)Soit (f;g) veriant (H1). On a, pour toutx2R:
j(fg)(x)j=Z +1 1 f(xy)g(y)dy6Z +1 1 jf(xy)jjg(y)jdy 6 Z +1 1 jjfjj1jg(y)jdy=jjfjj1Z +1 1 jg(y)jdy=jjfjj1jjgjj1:Ceci montre :fg2 L1etjjfgjj16jjfjj1jjgjj13.On suppose ici que (f;g) verie (H1) et que, de plus,fest derivable surRet queDf2 L1:
NotonsH:R2!C;(x;y)7!f(xy)g(y):
Pour toutx2R; H(x;) est integrable surR, d'apres 1. @H@x : (x;y)7!Df(xy)g(y) existe surR2;est continue par rapport axcarDfest continue surR, et est continue par morceaux (car continue) par rapport aycarDfetgsont continues surR: 5On a :8(x;y)2R2;@H@x
et l'applicationjjDfjj1jgjest continue par morceaux (car continue) surR;>0;integrable surRcarg est supposee integrable surR: D'apres le theoreme de derivation sous le signe integrale, avec hypothese de domination globale, on deduit : pour toutx2R;@H@x (x;) est integrable surR fgest de classeC1surR pour toutx2R:D(fg)(x) =Z +1 1@H@x (x;y)dy=Z +1 1Df(xy)g(y)dy=(Df)g(x):
On conclut, sous ces hypotheses :D(fg) = (Df)g4.(a)1)Soit (f;g) tel que :f2 L1; g2 L1; f2 L1:Autrement dit : (f;g) verie (H1) etf2 L1:
Notonsu:R2!C;(x;y)7!f(xy)g(y);qui est continue surR2: Pour toutx2R;l'applicationu(x;) :y7!f(xy)g(y) est integrable surR, carju(x;)j6jjfjj1jgj etg2 L1:L'applicationx7!Z
+1 1 ju(x;y)jdyest continue surR;par theoreme de continuite sous le signe integrale, la domination globale etant assuree parjjfjj1jgj:L'applicationx7!Z
+1 1 u(x;y)dyest continue surRpour la m^eme raison que ci-dessus. Pour touty2R;l'applicationu(;y) :x7!f(xy)g(y) est integrable surR, d'apres 1.L'applicationy7!Z
+1 1 ju(x;y)jdx=Z+1 1 jf(xy)jdx jg(y)j=jjfjj1jgj(y) est continue et integrable surR, carg2 L1:L'applicationy7!Z
+1 1 u(x;y)dx=Z+1 1 f(xy)dx g(y) =Z R f g(y) est continue surRcargl'est.D'apres le theoreme de permutation de deux integrales admis dans les preliminaires de l'enonce, on deduit
que, pour toutx2R;l'applicationfg:x7!Z +1 1 f(xy)g(y)dyest integrable surRet que : Z R fg=Z +1 1 Z+1 1 u(x;y)dy dx=Z +1 1 Z+1 1 u(x;y)dx dy Z +1 1 Z+1 1 f(xy)g(y)dx dy=Z +1 1 Z+1 1 f(xy)dx g(y)dy=Z +1 1 Z R f g(y)dy=Z R fZ R g: