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Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice 2 Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable

Démontrer que A est diagonalisable et déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telles A = PDP−1 3 Donner en le justifiant, mais sans

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qui déterminent exactement quand une matrice est diagonalisable Montrer ( sans utiliser le cours) que si λ et µ sont deux valeurs propres distinctes d'un

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Montrer que f ∈ L(R2 [X]) et que (X + 1) 2 est un vecteur propre de f Définition : f ∈ L(E) est diagonalisable s'il existe une base de E dans laquelle la matrice de

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vecteur propre de ϕ, associé λ est un vecteur v tel que ϕ(v) = λv Proposition Ce sont les valeurs propres de l'endomorphisme dont la matrice est A dans la base standard de Montrer que ce théor`eme s'applique au cas des projecteurs

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Par conséquent, on a : avec donc étant de dimension 1, cette matrice n'est pas diagonalisable dans 2) Une matrice est toujours trigonalisable dans 3) Comme ,

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X ∈ Rn \ {0} est un vecteur propre de A associé `a la valeur propre λ si AX = λX `a poser xi = ai − bi il suffit de montrer par récurrence sur p que si x1 ∈ ker(A

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ii) On dit qu'une matrice A est diagonalisable si elle est semblable `a une ma- trice diagonale Page 5 8 2 Trigonalisation, diagonalisation 123 En d'autres

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une matrice inversible P telle que P−1AP est diagonale C'est ce qu'on appelle Montrer que A est diagonalisable, et en déduire que An = 0 −6 −6

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Le cas des matrices symétriques réelles Deux remarques pour conclure Généralités La représentation matricielle de f dans la base (ei)1≤i≤n est la matrice

Fiche Méthode 14 :

Diagonaliser une matrice, dire si elle est diagonalisable...

Cette fiche doit être lue après (ou en parallèle de) les Fiches Méthodes 12 et 13, qui portent sur

les valeurs propres et les vecteurs propres. Les exemples sont normalement les mêmes avec la même

numérotation (d"où le désordre apparent sur la présente fiche), mais la résolution ne correspond plus

nécessairement à l"énoncé d"origine.

On notera dans la suiteEle sous-espace propre associé à la valeur propre, c"est-à-dire, selon le

contexte : •E=Ker(fidE) =f~xjf(~x) =~xg; •E=Ker(AI) =fXjAX=Xg;

1 Les résultats théoriques

Rappelons les principaux critères sur la diagonalisabilité d"une matrice : 1. Une matrice Aest diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l"ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée Ad"ordrenadmetnvaleurs propres différentes, alorsAest diagonalisable. 3. Si une matrice carrée Aest symétrique, alorsAest diagonalisable. 4.

(À redémon trerà c haquefois) Si une matrice Anon multiple de l"identité n"a qu"une valeur

propre, alorsAn"est pas diagonalisable. Enfin, soulignons queAest diagonalisable si et seulement si il existe une matrice diagonaleDet une matrice inversible telle queA=PDP1. Dans ce cas, les coefficients diagonaux deDsont les valeurs propres deA(comptées autant de fois que la dimension du sous-espace propre correspondant), et la colonne dePcorrespondant à la colonne deDcomprenant une valeur propredonnée doit contenir un vecteur propre associé à la valeur propre!

Dans les sujets, on demande généralement une matricePremplissant des conditions particulières.

Faites attention!

2 Les exemples des sujets

Exemple 1 : trois valeurs propres distinctes(D"après Écricome 2009)

Ici,A=0

@1 1 1 0 2 2

0 0 31

A et les valeurs propres sont1;2et3. Ainsi,Aest d"ordre3et a3valeurs propres distinctes :Aest diagonalisable. De plus, commeE1=Vect0 @0 @1 0 01 A1 A ,E2=Vect0 @0 @1 1 01 A1 A etE3=Vect0 @0 @3 4 21
A1 A , on a, en posantP=0 @1 1 3 0 1 4

0 0 21

A etD=0 @1 0 0 0 2 0

0 0 31

A ,A=PDP1. 1/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Exemple 2 : matrice symétrique, quatre valeurs propres(D"après ÉM Lyon 2013)

On considère la matriceA:=0

B@0 0 0 2

0 0 1 0

0 1 0 0

2 0 0 01

CA2 M4(R).

Est-ce que Aest diagonalisable dansM4(R)?

2. Déterminer une matrice diagonale D2 M4(R), à coefficients diagonaux rangés dans l"ordre

croissant, et une matrice inversibleP2 M4(R), à coefficients diagonaux tous égaux à1, telles

queA=PDP1.

Solution :

1. On remarque que la première colonne de Aet sa première ligne sont identiques, et qu"il en est d même pour les suivantes. Autrement dit, tA=A:Aest symétrique. Ainsi, d"après le cours,

Aest diagonalisable.

2. On a vu (cf fic hesprécéden tes)que les v aleursp ropresde Asont2;1;1et2. Ainsi, comme les coefficients diagonaux deDsont les valeurs propres deAet qu"ils doivent être classés par ordre croissant,D=0 B

B@2 0 0 0

01 0 0

0 0 1 0

0 0 0 21

C CA. On en déduit que la première colonne dePdoit être un vecteur propre deAassocié à la valeur propre2, que la deuxième colonne dePest un vecteur propre deAassocié à la valeur propre1, la troisième en est un associé à1et la quatrième associée à2. •CommeE2=8 >:0 B B@t 0 0 t1 C

CA;t2R9

>;et qu"il faut un vecteur deE2de la forme0 B B@1 1 C

CAcarP

doit avoir des coefficients diagonaux égaux à1, la première colonne dePest0 B B@1 0 0 11 C

CA(il faut

prendret=1, on n"a pas le choix). •CommeE1=8 >:0 B B@0 z z 01 C

CA;z2R9

>;et qu"il faut un vecteur deE1de la forme0 B B@ 1 1 C

CAcarP

doit avoir des coefficients diagonaux égaux à1, la deuxième colonne dePest0 B B@0 1 1 01 C

CA(il faut

prendrez=1, on n"a pas le choix). •CommeE1=8 >:0 B B@0 z z 01 C

CA;z2R9

>;et qu"il faut un vecteur deE1de la forme0 B B@ 1 1 C

CAcarPdoit

2/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 avoir des coefficients diagonaux égaux à1, la troisième colonne dePest0 B B@0 1 1 01 C

CA(il faut prendre

z= 1, on n"a pas le choix). •CommeE2=8 >:0 B B@x 0 0 x1 C

CA;x2R9

>;et qu"il faut un vecteur deE2de la forme0 B B@ 11 C

CAcarPdoit

avoir des coefficients diagonaux égaux à1, la quatrième colonne dePest0 B B@1 0 0 11 C

CA(il faut prendre

x= 1, on n"a pas le choix).

Finalement, en posantP=0

B@1 0 0 1

0 1 1 0

01 1 0

1 0 0 11

CA, etD=0

B@2 0 0 0

01 0 0

0 0 1 0

0 0 0 21

CA, la formule de

changement de base donneA=PDP1etP;Dremplissent les conditions demandées. Exemple 3 : matrice n"ayant qu"une valeur propre(D"après Écricome 2010) SoitEun espace vectoriel etB:= (e1;e2;e3)une base deE. Pour tout réela, on considère l"endo- morphismefadeEdont la matrice dans la baseBest donnée parMa:=0 @a+ 2(2a+ 1)a 1 0 0

0 1 01

A Lorsquea= 1, l"endomorphismefaest-il diagonalisable? Solution :On sait (cf fiche 17 et corrigé du sujet) queest valeur propre defasi et seulement si est racine deQ(x) =x3(a+2)x2+(2a+1)xa=x33x2+3x1(cara= 1). OrQ(x) = (x1)3 (développez pour vous en convaincre). Donc, quanda= 1, la seule valeur propre defaest1. Dans ce

cas, on "sait" d"après le cours quefane va pas être diagonalisable (cf. la remarque dans la première

section de cette fiche. Il faut toujours redémontrer le résultat comme suit). Supposons quefasoit diagonalisable. Alors il existe une base deEformée de vecteur propres defa.

Dans cette base, la matrice defaestD=0

@1 0 0 0 1 0

0 0 11

A =Icar la seule valeur propre defaest1. De plus, en appelantPla matrice de passage deBà cette nouvelle base, la formule de changement de base donneM1=PDP1. OrM1=0 @33 1 1 0 0

0 1 01

A etPDP1=PIP1=PP1=I6=M1. On a donc une contradiction :M1n"est pas diagonalisable. 3/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Exemple 4 : matrice symétrique avec un sous-espace propre de dimension 2(D"après ÉM

Lyon 2007)

On considère la matrice carrée d"ordre3:A=12 0 @0 1 1 1 0 1

1 1 01

A 1.

Mon trer,sans calcul, que Aest diagonalisable.

2. Déterminer une matrice diagon aleDet une matrice inversible et symétriqueP, de première ligne1 1 1et de deuxième ligne11 0telles queA=PDP1.

Solution :

1. On remarque que la première colonne de Aet sa première ligne sont identiques, et qu"il en est d même pour les suivantes. Autrement dit, tA=A:Aest symétrique. Ainsi, d"après le cours,

Aest diagonalisable.

2. La question est inhabituellemen tp osée!On n" auramême pas b esoind" utiliserla rec herchede valeurs propres et de vecteurs propres de la fiche 18 (mais on peut le faire! Je vais faire les deux!) Solution 1 :D"après l"énoncé, comme on connaît les deux premières lignes dePet qu"on sait quePdoit être symétrique, on sait déjà quePest de la forme0 @1 1 1 11 0 1 0b1 A , oùaest à déterminer. Comme de plusDdoit être diagonale, on sait que les vecteurs colonnes dePsont vecteurs propres deA. •On aA0 @1 1 11 A =0 @1 1 11 A , ce qui montre que0 @1 1 11 A est vecteur propre deApour la valeur propre

1. La première colonne deDsera donc0

@1 0 01 A •On aA0 @1 1 01 A =0 @12 12 01 A , ce qui montre que0 @1 1 01 A est vecteur propre deApour la valeur propre12 . La deuxième colonne deDsera donc0 @0 12 01 A •Enfin,A0 @1 0 a1 A =0 @a2 12 +a2 12 1 A . Comme on veut que ce vecteur soit colinéaire à0 @1 0 a1 A (pour que ce soit un vecteur propre deA), il faut12 +a2 = 0donca=1. Ainsi,A0 @1 0 11 A =0 @12 0 12 1 A 12 0 @1 0 11 A , ce qui montre que la troisième colonne dePest0 @1 0 11 A , et de plus le calcul montre que ce vecteur propre est vecteur propre pour la valeur propre12 , donc la troisième colonne deDest0 @0 0 121
A 4/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 •Attention, ce n"est pas fini! Il reste à prouver queP:=0 @1 1 1 11 0 1 011 A est inversible, ce qui prouvera que la famille de trois vecteurs colonnes forme une base, et comme elle est constituée de vecteurs propres deA, on aura une base constituée de vecteurs propres. La formule de chan- gement de base donne alorsA=PDP1oùD=0 @1 0 0 012 0quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15