[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques PDF EspaceTS3.pdf

Alors Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux II Vecteur normal à un plan 1) Définition et est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan Démonstration 1) Démontrer que la droite (AB) et le plan P sont sécants 2) Déterminer leur

Rappels : Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c =0(a, b et c réels avec (a;b) = (0; 0) ) et le vecteur −→ u (−b;a) est un

[PDF] Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons alors elle est perpendiculaire au côté opposé `a ce sommet les droites (CH) et (AB)

[PDF] Cours - Sarah Dijols

Dire que deux vecteurs sont orthogonaux équivaut à dire que leur produit scalaire Pour démontrer que deux droites d, et d2 sont orthogonales, on démontre

[PDF] 1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan

Definition : - deux droites D et D' de vecteur directeurs u et v non nul sont orthogonales si les vecteursu et v sont orthogonaux - Si de plus elles sont sécantes,

[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques

[PDF] VECTEURS ET DROITES - maths et tiques

ne sont pas colinéaires II Equations de droite 1) Vecteur directeur d'une droite Définition : D

[PDF] Chapitre 14 : Equations paramétriques et cartésiennes

deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées dont Remarque : On réserve le terme « perpendiculaire » à des droites qui sont orthogonales A l'aide du produit scalaire, nous pouvons démontrer la propriété suivante :

[PDF] Produit scalaire et orthogonalité dans lespace : exercices - Pierre Lux

Démontrer une orthogonalité sans les vecteurs Ex 9 : Vrai ou faux Dans l' espace : 2 ) Montrer que ces deux droites sont perpendiculaires et déterminer leur

PRODUIT SCALAIRE

DANS L'ESPACE

I. Produit scalaire de deux vecteurs

1) Définition

Soit et deux vecteurs de l'espace. A, B et C trois points tels que et Il existe un plan P contenant les points A, B et C.

Définition :

On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P.

On a ainsi :

- si ou est un vecteur nul,

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk

ABCDEFGH est un cube d'arête a.

uvuAB=vAC=uv.uv.ABAC.0uv=uv .cos ;uvuv uv=´´ 2 uvAB DG ABAF ABAB a H 2

2) Propriétés

Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. Propriétés : Soit , et trois vecteurs de l'espace. - et sont orthogonaux.

Démonstration :

Il existe un plan P tel que les vecteurs et admettent des représentants dans P. Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent.

3) Expression analytique du produit scalaire

Propriété : Soit et deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé . Alors .

Et en particulier : .

Démonstration :

En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple : , et .

On a en particulier : .

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E

On considère le repère de l'espace .

uvw 2 .uuu= ..uvvu = ...uvwu vuw +=+ ...kuvu kvk uv== kÎ.0uv=Ûuvuv x uy z x vy z ,,,Oijk .'''uvx xyy zz=++ 222
.uuuxyz==++ uvx iyj zkxiyjz k xxiixy ij xzi kyxjiy yjj yzj kzxkizyk jzzk k xxyyzz ;ij 2 .1iii== 2 .1jjj== ..0ijji == 2 222
.uuu xxy yzz xyz==++=++ ;,,CCBCDCG 3

Alors : et soit .

Alors .

Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.

II. Vecteur normal à un plan

1) Définition et propriétés

Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.

Démonstration :

Elle est incluse dans la démonstration du corollaire qui suit. Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, Hermann

Günther Grassmann (1809 ; 1877).

Corollaire : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Démonstration (exigible BAC) :

- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P. - Démontrons la réciproque : 1 1 1 CE 10 01 0,50 DI 1 1 0,5 DI .111110,50,5CEDI =´+´-+´= CE DI nnnuv 4 Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur . Soit une droite quelconque () de P de vecteur directeur .

Démontrons que () est orthogonale à .

peut se décomposer en fonction de et qui constituent une base de P (car non colinéaires).

Il existe donc deux réels x et y tels que .

Donc , car est orthogonal avec et .

Donc est orthogonal au vecteur .

Et donc est orthogonale à ().

Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un plan

Vidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4

ABCDEFGH est un cube.

Démontrer que le vecteur est normal au plan

(ABG).

On considère le repère .

Dans ce repère : ,,,,.

On a ainsi :

, et , donc : Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan

Vidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU

Dans un repère orthonormé, soit et .

Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).

d n 1 d 2 d uvuvn D w D d wuv wxuyv=+...0wnxu nyvn=+= nuvnw d D CF ;,,BBABC BF 1 0 0 A 0 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 F 0 1 1 G 0 1 1 CF 0 1 1 BG 1 0 0 AB .0011110 .0(1)10100 CFBG CFAB CF 11 2,3 21
AB 2 0 2 C 5

On a : et .

Soit un vecteur orthogonal au plan (ABC). Il est tel que : soit

Prenons par exemple, alors et .

Le vecteur est donc normal au plan (ABC).

2) Equation cartésienne d'un plan

Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé . Un plan P de vecteur normal non nul admet une équation cartésienne de la forme , avec ℝ. Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points tels que , avec ℝ, est un plan.

Démonstration (exigible BAC) :

- Soit un point de P. 2 1 3 AB 1 2 0 AC a nb c .0 .0 nAB nAC 230
20 abc ab 2230
2 330
2 2 bbc ab bc ab cb ab b=1 1c= a=2 2 1 1 n ;,,Oijk a nb c ax+by+cz+d=0 dÎ x My z ax+by+cz+d=0 dÎ A A A x Ay z 6 et sont orthogonaux avec . - Réciproquement, supposons par exemple que (a, b et c sont non tous nuls). On note E l'ensemble des points vérifiant l'équation

Alors le point vérifie l'équation .

Et donc E.

Soit un vecteur . Pour tout point , on a :

E est donc l'ensemble des points tels que .

Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal .

Exemple :

Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan

Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY

Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point et de vecteur normal . x MyP z AM n.0AMnÛ= 0 0 AAA AAA axxb yyc zz axbyc zaxby cz

Ûax+by+cz+d=0

d=-ax A -by A -cz A a¹0 x My z ax+by+cz+d=0 ;0;0 d A a ax+by+cz+d=0 AÎ a nb c x My z .000 d

AMna xby cz axbyc zd

a x My z .0AMn=n x-y+5z+1=0 1 1 5 n 1 2 1 A 3 3 1 n 7 Une équation cartésienne de P est de la forme . Le point A appartient à P donc ses coordonnées vérifient l'équation : donc .

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PRODUIT SCALAIRE

DANS L'ESPACE

I. Produit scalaire de deux vecteurs

1) Définition

Définition :

On a ainsi :

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk

ABCDEFGH est un cube d'arête a.

2) Propriétés

Démonstration :

3) Expression analytique du produit scalaire

Et en particulier : .

Démonstration :

On a en particulier : .

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E

On considère le repère de l'espace .

Alors : et soit .

Alors .

Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.

II. Vecteur normal à un plan

1) Définition et propriétés

Démonstration :

Günther Grassmann (1809 ; 1877).

Démonstration (exigible BAC) :

Démontrons que () est orthogonale à .

Il existe donc deux réels x et y tels que .

Donc , car est orthogonal avec et .

Donc est orthogonal au vecteur .

Et donc est orthogonale à ().

Vidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4

ABCDEFGH est un cube.

Démontrer que le vecteur est normal au plan

On considère le repère .

Dans ce repère : ,,,,.

On a ainsi :

Vidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU

Dans un repère orthonormé, soit et .

Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).

On a : et .

Prenons par exemple, alors et .

Le vecteur est donc normal au plan (ABC).

2) Equation cartésienne d'un plan

Démonstration (exigible BAC) :

Alors le point vérifie l'équation .

Et donc E.

Soit un vecteur . Pour tout point , on a :

E est donc l'ensemble des points tels que .

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY

Ûax+by+cz+d=0

AMna xby cz axbyc zd

Une équation cartésienne de P est donc .

3) Positions relatives d'une droite et d'un plan

Vidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE