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nombre réel Théorème : • Les points A, B et C sont alignés , les vecteurs AB et AC sont colinéaires Les droites (AB) et (CD) sont parallèles , les vecteurs AB et CD sont colinéaires 0 u v w α +β +γ =

Propriété : Soit un point A et deux vecteurs de l'espace u et v ne sont pas colinéaires donc A;u Démontrer que les points E, J et C sont alignés

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Si 3 et 3′ sont deux droites sécantes de l'espace, il existe un plan et un seul Démontrer que la droite (IJ) est sécante au plan (BCD) et construire le point dire que →u et →v sont colinéaires équivaut à dire que les vecteurs →u et →v ont

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Leçon n°10 Géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace Deux vecteurs sont dits colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel Remarque : le vecteur est colinéaire Montrer que les points B, P et C sont alignés A B C + P D

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dans l'espace ℰ il existe un point unique N dans l'espace ℰ tel que Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le de tels vecteurs sont colinéaires AB MN = ssi ABNM Montrer que : u , v et w sont coplanaires Solution : On a

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Les règles de calcul sur les vecteurs de l'espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan v sont colinéaires revient à dire qu'il existe un réel k tel que -→ u = k -→ Ex : Montrer que les points D, I et M sont alignés a ( -→ u + Réciproquement, soit M un point de l'espace tel qu'il existe deux réels

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Dans l'espace, il n'y a pas de formule permettant de prouver que deux vecteurs sont colinéaires 5 3 Norme d'un vecteur Distance entre deux points Théor`eme

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1 fév 2021 · 2 1 Définition d'un vecteur dans l'espace Faire une figure puis montrer que IJKL est un parallélogramme D'après les relations Définition 4 : Deux vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel

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Utiliser les vecteurs pour démontrer que des points sont alignés ou Deux vecteurs u et v sont colinéaires lorsque, si O, A et B sont trois points tels que

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Les règles de calcul sur les vecteurs de l'espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan • RELATION DE u et —→ v sont colinéaires revient à dire qu'il existe un réel k tel que Exemple : Montrer que les points D, I et M sont alignés II) Interprétation vectorielle des droites et plans de l' espace

I) Vecteurs de l'espace

1) Extension de la notion de vecteur

· L'égalité ABCD=uuuruuur signifie que ABDC est un parallélogramme. · Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C de l'espace, ACABBC=+uuuruuuruuur. · la longueur ou norme du vecteur ABuuur se note ABuuur et est égale à la distance AB.

2) Opérations sur les vecteurs

L'addition de deux vecteurs et la multiplication d'un vecteur par un réel se définissent comme pour les vecteurs du plan.

Ces deux opérations possèdent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane.

II) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires

1) Vecteurs colinéaires

Définition : Deux vecteurs de l'espace ur et vr sont colinéaires s'il existe deux nombres réels a et b tels que (a ;b) ' (0 ;0) et 0uva+b=rrr.

Remarque : Si ur et vr sont colinéaires, alors on peut écrire l'un en fonction de l'autre sous la forme ukv=rr où k est un

nombre réel.

Théorème : · Les points A, B et C sont alignés , les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires. · Les droites (AB) et (CD) sont parallèles , les vecteurs ABuuur et CDuuur sont colinéaires.

2) Vecteurs coplanaires

Définition : Trois vecteurs de l'espace ur, vr et wr sont coplanaires s'il existe trois nombres réels a, b et c tels que (a ; b ; c) ' (0 ; 0 ; 0) et 0uvwa+b+g=rrrr.

Remarque : Si ur, vr et wr sont coplanaires alors on peut écrire l'un des trois en fonction des deux autres sous la forme

u k v kw¢=+rrr où k et k' sont des nombres réels.

Théorème : · Les points A, B, C et D sont coplanaires , les vecteurs ABuuur, ACuuur et ADuuur sont coplanaires. · La droite (ED) est parallèle au plan (ABC) , les vecteurs ABuuur, ACuuur et EDuuur sont coplanaires.

III) Repères et coordonnées dans l'espace

1) Repères de l'espace

Définition : Soit O un point de l'espace. On dit que (,,,)Oijkrrr est un repère de l'espace, lorsque les vecteurs ir, jr et

kr ne sont pas coplanaires.

Vecteurs et repérage dans l'espace 2/3

Définition : Soit (,,,)Oijkrrr un repère de l'espace. · Pour tout point M, il existe trois nombres réels x, y et z tels que : OMxyzijk=++uuuurrrr ; (x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère (,,,)Oijkrrr. x est l'abscisse, y l'ordonnée et z la cote du point M dans ce repère. · Tout vecteur ur de l'espace peut s'écrire : xyzuijk=++rrrr ; (x ; y ; z) sont les coordonnées de ur.

O m'(x ; 0 ; 0)M''(x ; y ; 0)m''(0 ; y ; 0)M'(x ; 0 ; z)m'''(0 ; 0 ; z)

M(x ; y ; z)M'''(0 ; y ; z)

iry jr jr x ir krz kr kjirrrzyx++

2) Propriétés : On considère un repère orthonormé (,,,)Oijkrrr de l'espace.

Propriétés : Soit ur (x ; y ; z) et vr (x' ; y' ; z'). · 0xyz0u=Û===rr ; · xx' y y' z z'uv=ì rr

; · ur + vr a pour coordonnées (x + x' ; y + y' ; z + z') ; · k ur a pour coordonnées (kx ; ky ; kz).

Soit A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB). · ABuuur a pour coordonnées (x B - xA ; yB - yA ; zB - zA). · Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ABABABxxyyzz;;

IV) Equations d'objets de l'espace

1) Plans parallèles aux plans de base

Théorème : · Tout plan parallèle au plan (O,ir,jr) d'équation z = 0 a une équation du type z = z

0. · Tout plan parallèle au plan (O,jr,kr) d'équation x = 0 a une équation du type x = x

0. · Tout plan parallèle au plan (O,ir,kr) d'équation y = 0 a une équation du type y = y

2) Sphère centrée sur l'origine O

Théorème : la sphère de centre O et de rayon R a pour équation 2222xyzR++=. Vecteurs et repérage dans l'espace 3/3 3) Cylindres

Théorème : Le cylindre de révolution d'axe (O,kr), compris entre les plans d'équations z = a et z = b et dont les bases

sont des cercles de rayon R est défini analytiquement par le système 222azb xyR££

Remarques :

On peut aussi s'intéresser au cylindre illimité dont l'équation est 222xyR+=. Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cylindre analogues : · cylindre d'axe (O,ir) : 222yzR+= · cylindre d'axe (O,jr) : 222xzR+=.

4) Cônes

Théorème : Le cône de révolution, de sommet O, d'axe (O,kr), de hauteur h et dont le cercle de base a pour rayon R est

défini par le système 2 2 220zh
RxyzH

Remarques :

On peut s'intéresser à la surface illimitée d'équation 2 2 h donnant la tangente du demi-angle au sommet. Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cône analogues :

· cône d'axe (O,ir) : 2

22Ryzxh

22Rxzyh

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