[PDF] [PDF] Continuité 1 Théorie

2. Soitx0?[a,b] tel quef(x0) = supa?x?bf(x). Montrer quef(x0) = supa distinguant les trois cas :x0=a,x0=b,x0?]a,b[.Indication :Dans le casx0=a, par exemple, on pourra consid´erer la suite de r´eelsan=a+ 1/net ´etudier la suite (f(an)).

3. Soitg: [0,1]→Rla fonction d´efinie parg(x) = 0 six?[0,1[ etg(x) = 1 six= 1.

Montrer que

sup

0

0?x?1g(x).

Quelle hypoth`ese est essentielle dans la propri´et´e d´emontr´ee auparavant? 1

2 Pratique

Exercice 8Etudier la continuit´e defla fonction r´eelle `a valeurs r´eelles d´efinie parf(x) =

(sinx)/xsix?= 0 etf(0) = 1. Exercice 9Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuit´e surR? a)f(x) = sinxsin(1x ) ;b)f(x) =1x lnex+e-x2 c)f(x) =11-x-21-x2. Exercice 10Soitf:R→Rcontinue en 0 telle que?x?Rf(x) =f(2x). Montrer quefest constante. 3

´Etude de fonctions

Exercice 11D´eterminer les domaines de d´efinition des fonctions suivantes f(x) =?2 + 3x5-2x;g(x) =⎷x

2-2x-5 ;h(x) = ln(4x+ 3)

Exercice 12 (Partiel Novembre 96)Soit

f:x?R?→f(x) =cosx1 +x2. Montrer quefest major´ee surR, minor´ee surR.

D´eterminer Sup

x?Rf(x). 2

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦12Continuit´e

Indication 11. On pourra utiliser la variante de l"in´egalit´e triangulaire|x-y|?| |x|-|y| |.

2. Utiliser la premi`ere question pour montrer que|f-g|est continue.

Indication 2Ce n"est pas tr`es dur mais il y a quand mˆeme quelque chose `a d´emontrer : ce n"est pas parce quef(x) vaut +1 ou-1 que la fonction est constante. Raisonner par l"absurde et utiliser le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.

Indication 3Il faut raisonner en deux temps : d"abord ´ecrire la d´efition de la limite en +∞,

en fixant par exempleε= 1, cela donne une borne sur [A,+∞]. Puis travailler sur [0,A]. Indication 4Montrer quec= supEest un point fixe. Pour cela montrer quef(c)?cpuis f(c)?c.

Indication 6Non, trouver un contre-exemple.

Indication 8Le seul probl`eme est enx= 0. Montrer que la fonction est bien continue en ce point. Indication 9Oui pour le deux premi`eres en posantf(0) = 0, non pour la troisi`eme. Indication 10Pourxfix´e ´etudier la suitef(12 nx). 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦12Continuit´e

Correction 11. On a pour toutx,y?R|x-y|?| |x|-|y| |(c"est la deuxi`eme formulation de l"in´egalit´e triangulaire). Donc pour toutx?I:| |f(x)|-|f(a)| |?|f(x)-f(a)|. L"impli- cation annonc´ee r´esulte alors imm´ediatement de la d´efinition de l"assertion lim x→af(x) = f(a).

2. Sif,gsont continues alorsαf+βgest continue surI, pour toutα,β?R. Donc les

fonctionsf+getf-gsont continues surI. L"implication de 1.prouve alors que|f-g|est continue surI, et finalement en r´eutilisant l"argument donn´e ci dessus, on peut conclure :

La fonction sup(f,g) =12

(f+g+|f-g|) est continue surI. Correction 2Commef(x)2= 1 alorsf(x) =±1. (Atttention! Cela ne veut pas dire que la fonction est constante ´egale `a 1 ou-1.) Suposons, par exemple, qu"il existextel quef(x) = +1. Montrons quefest constante ´egale `a +1. S"il existey?=xtel quef(y) =-1 alorsfest positive

enx, n´egative enyet continue surI. Donc, par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, il existe

zentrexetytel quef(z) = 0, ce qui contreditf(z)2= 1. Doncfest constante ´egale `a +1.

Correction 3Notons?la limite defen +∞:

?ε >0?A?Rx > A??-ε?f(x)??+ε. Fixonsε= +1, nous obtenons unAcorrespondant tel que pourx > A,f(x)??+ 1. Nous

venons de montrer quefest born´ee "`a l"infini". La fonctionfest continue sur l"intervalle ferm´e

born´e [0,A], doncfest born´ee sur cet intervalle : il existeMtel que pour toutx?[0,A], f(x)?M. En prenantM?= max(M,?+ 1), nous avons que pour toutx?R,f(x)?M?.

Doncfest born´ee surR.

La fonction n"atteint pas n´ecessairement ses bornes : regardezf(x) =11+x. Correction 41. Soitf(0) = 0 et c"est fini, on a trouver le point fixe! Soitf(0) n"est pas nul. Doncf(0)>0 et 0?E. DoncEn"est pas vide.

2. MaintenantEest un partie de [0,1] non vide donc supEexiste et est fini. Notonsc=

supE?[0,1]. Nous allons montrer quecest un point fixe.

3. Soit (xn) une suite deEtelle quexn→cetxn?c. Une telle suite existe d"apr`es les

propri´et´es dec= supE. Commexn?Ealorsxn< f(xn). Et commefest croissante f(xn)?f(c). Donc pour toutn,xn< f(c); commexn→calors `a la limite nous avons c?f(c).

4. Soit (yn) une suite telle queyn→c,yn?cet telle quef(yn)?yn. Une telle suite existe

car sinon?ne serait pas ´egal `a supE. Nous avonsf(c)?f(yn)?ynet donc `a la limite f(c)?c. Nous concluons donc quec?f(c)?c, doncf(c) =cetcest un point fixe def. Correction 51. Soitx?[0,1] ety=f(x)?[0,1]. Alorsf(y) =ycarf(f(x)) =f(x). DoncEf?=∅. Nous venons de montrer queI=f([0,1]) est inclus dansEf. 1

2. Montrons r´eciproquementEfest inclus dansI. Soitx?[0,1] tel quef(x) =xalors

x?I=f([0,1]) (carx=f(x)!). AinsiEf=f([0,1]). Mais l"image de l"intervalle [0,1] par la fonction continuefest un intervalle doncEfest un intervalle.

3. Les fonctions continues qui v´erifient (?) sont les fonctions qui v´erifientEf=f([0,1]).

Correction 6Non, par exemplef:R-→R. Avecf(x) = sin1x pourx?= 0 etf(0) = 0.f n"est pas continue (en 0), mais pour touta,bet pour touty?[f(a),f(b)] il existex?[a,b] tel quey=f(x). Correction 71. Pour toutx?]a,b[, on ax?[a,b] doncf(x)?supa?x?bf(x). Par cons´equent sup a?x?bf(x) est un majorant defsur l"intervalle ]a,b[, donc il est plus grand que le plus petit des majorants : sup a2.fest continue sur un intervalle ferm´e et born´e, donc elle est born´ee et elle atteint ses

bornes. Soitx0le r´eel o`u le maximum est atteint :f(x0) = supa?x?bf(x). - six0=a, consid´erons la suitean=a+1/n. Pourn?1b-aon aan?[a,b], donc on peut consid´erer la suite (f(an))n?1b-a. Orantend versaquandntend vers +∞, et comme fest continue, ceci implique quef(an) tend versf(a) quandntend vers +∞. Donc ?ε >0,?n?N,f(x0)-ε?f(an)?f(x0), ce qui implique quef(x0) = supa3. Avec la fonctiong, on a sup0

carg(0) = 0 etg(1) = 1. La propri´et´e d´emontr´ee pr´ec´edemment n"est pas vraie dans

notre cas, car la fonctiongne remplit pas la condition essentielle d"ˆetre continue. Correction 8Soitx0?= 0, alors la fonctionfest continue enx0, car elle s"exprime sous la forme d"un quotient de fonctions continues o`u le d´enominateur ne s"annule pas enx0. Reste `a

´etudier la continuit´e en 0. Mais

lim x→0sinxx = 1 =f(0) doncfest continue en 0. Correction 91. La fonction en d´efinie surR?. Et elle est continue surR?. Il faut d´eterminer un ´eventuel prolongement par continuit´e enx= 0, c"est-`a-dire savoir sifa une limite en 0. |f(x)|=|sinx||sin1/x|?|sinx|. Doncfa une limite en 0 qui vaut 0. Donc en posantf(0) = 0, nous obtenons une fonction f:R-→Rqui est continue.

2. La fonctionfest d´efinie et continue surR?. Etudions la situation en 0.fest la taux

d"accroissement en 0 de la fonctiong(x) = lnex+e-x2 . Donc si les objets suivants existent : la limie defen 0 est ´egale `a la valeur deg?en 0. Calculonsg?surR?: g ?(x) =?lnex+e-x2 ?=e x-e-x2 e x+e-x2 =ex-e-xe x+e-x. Quandx→0 alors le num´erateur tend vers 0 et le d´enominateur vers 2, doncg?(x) tend vers 0. Doncgest d´erivable en 0 etg?(0) = 0. En posantf(0) = 0 nous obtenons une fonctionfd´efinie et continue surR. 2

3.fest d´efinie et continue surR\ {-1,1}.

f(x) =11-x-21-x2=1 +x-2(1-x)(1 +x)=-1 +x(1-x)(1 +x)==-1(1 +x).

Doncfa pour limite-12

quandxtend vers 1. Et donc en posantf(1) =-12 , nous d´efinissons une fonction continue surR\{-1}. En-1 la fonctionfne peut ˆetre prolong´ee continuement, car en-1,fn"admet de limite finie. Correction 10Soitx?R, commef(y) =f(2y) en prenanty=x/2 nous obtenonsf(12 x) = f(x). Puis en prenanty=14 x, nous obtenonsf(14 x) =f(12 x) =f(x). Par une r´ecurrence facile nous avons ?n?Nf(12 nx) =f(x).

Notons (un) la suite d´efinie parun=12

nxalorsun→0 quandn→+∞. Par la continuit´e def en 0 nous savons alors que :f(un)→f(0) quandn→+∞. Maisf(un) =f(12 nx) =f(x), donc (f(un))nest une suite constante ´egale `af(x), et donc la limite de cette suite estf(x)! Donc f(x) =f(0). Comme ce raisonnement est valable pour toutx?Rnous venons de montrer que fest une fonction constante. Correction 111. Il faut que le d´enominateur ne s"annule pas doncx?=52 . En plus il faut que le terme sous la racine soit positif ou nul, c"est-`a-dire (2 + 3x)×(5-2x)?0, soit x?[-23 ,52 ]. L"ensemble de d´efinition est donc [-23 ,52

2. Il fautx2-2x-5?0, soitx?]- ∞,1-⎷6]?[1 +⎷6,+∞[.

3. Il faut 4x+ 3>0 soitx >-34

, l"ensemble de d´efinition ´etant ]-34

Correction 12Pour toutx?Ron a :

0?|f(x)|=|cosx|1 +x2?11 +x2?1.

Par cons´equent, pour toutx?R,f(x)?[-1,1] doncfest minor´ee (-1 est un minorant), major´ee (1 est un majorant) et sup x?Rf(x)?1. Commef(0) = 1 on a n´ecessairement sup x?Rf(x)?1. Conclusion : sup x?Rf(x) = 1. 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47