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Montrer une égalité ou une inégalité : AB= ou AB< ou AB> (1)

1) La méthode directe

A = ... = B

ex :

Démontrer que (((

10 - 25

4² + (((

1 + 5

4² = 1

2) La méthode directe inverse

B = ... = A.

ex : Montrer que x² + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) = (x + 1)² - 4

3) Egalité avec une troisième expression

A = ... = C

B = ... = C ? A = B

ex : Montrer que (ac + bd)² + (ad - bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

4) La méthode de la différence

Il faut dans ce cas étudier le signe de A - B

ex : Comparer A(x) = (x + 2)² et B(x) = (2x - 5)² ex : Soit nÎn\{0;1;2}, comparer les nombres A = n + 2 n et B = n n - 2 ex :

Montrer que pour tout xÎr, -1 £ 2x

x² + 1 £ 1

5) La méthode du quotient

Si A et B sont strictement positifs, on compare A

B et 1. ex :

Soit nÎn*, comparer f (n) = n² - 1

n² + 2n et g (n) = n + 1 n + 2

6) La méthode des questions équivalentes

A = B ?

C = C ce qui est vrai donc l"hypothèse de départ A = B est vraie. ex : Montrer que si a et b sont deux réels positifs, a + b

2 ³ ab

ex : Montrer que si a et b sont deux réels positifs, a + b = a + b + 2ab

7) La méthode des certitudes

n ³ 1 ? 2n ³ 2 ? 2n + 1 ³ 3 ? ... ex : Montrer que si x > 3 alors x² - 5 x > 7 ex : Après avoir remarqué que 0 < n - 2 < n, si n ³ 3, comparer A = 1 + 2 n et B = 1 + 2 n - 2, si n ³ 3. ex :

Soit x un nombre réel de l"intervalle [3;5].

On donne f

(x) = 2 x - 1 - 1 x + 1. Démontrer que 1 4

£ f (x) £ 5

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