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?Corrigé dubaccalauréat S Pondichéry?

17 avril 2015

EXERCICE14 points

Commun à tous les candidats

PartieA

123

1 2 3 4-1-2

O C a

1.On sait que e-2x>0 quel que soit le réelx, donc 1+e-2x>1>0. Le dénomi-

nateur étant non nul, la fonctionfest dérivable surRet sur cet intervalle la fonction étant de la forme 3 u(x), avecu(x)=1+e-2x, doncu?(x)=-2e-2xon a : f ?(x)=-3u?(x) supérieurs àzéro.lafonctionfestdoncstrictement croissantesurR(comme le laisse supposer le graphique).

2.On a limx→+∞-2x=-∞et en posantX=-2x, limX→-∞eX=0, d"où

lim X→-∞1+eX=1 et enfin par quotient de limites limx→+∞f(x)=3 : ceci montre que la droite (Δ) d"équationy=3 est asymptote àCau voisinage de plus l"infini.

3.Sur l"intervalle [0 ;+∞[, la fonctionfest continue car dérivable, strictement

croissante def(0)=3

1+1=1,5 à 3 : il existe donc un réel uniqueα?[0 ;+∞[

tel quef(α)=2,999.

La calculatrice donne :

f(4)≈2,99899 etf(5)≈2,9999, donc 4<α<5; f(4,0)≈2,99899 etf(4,1)≈2,9992, donc 4,0<α<4,1; f(4,00)≈2,99899 etf(4,01)≈2,99901, donc 4,00<α<4,01 (encadrement à 10 -2près).

PartieB

1.On a vu dans la partie A que 0 h(x)>0 surR.
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.La fonctionHest dérivable surRet sur cet intervalle :
H ?(x)= -3
3?e-2x+1?

1+e-2x-31+e-2x=3-f(x)=h(x).

DoncHest une primitive dehsurR.

3. a.On a vu que surRdonc en particulier sur l"intervalle [0 ;a] (aveca>),
la fonctionhest positive, donc l"intégrale? a 0 h(x)dxest égale en unités d"aireà la mesure de la surface limitée par la représentation graphique de h, l"axe des abscisses, et les droites d"équationx=0 etx=a. Mais commeh(x)=3-f(x), cette surface est la surface limitée par la droiteΔ, la courbeCet les droites d"équationx=0 etx=a(voir l"aire hachurée ci-dessus. b.D"après la questionB. 2., on a :?a 0 h(x)dx=[H(x)]a0=H(a)-H(0)=-3
2ln?1+e-2×a?+32ln?1+e-2×0?=
3
2ln2-32ln?1+e-2×a?=32ln?21+e-2a?
c.D"après la question précédente, on sait que l"aire deDa, surface limitée par la droiteΔ, la courbeCet les droites d"équationx=0 etx=aest
égale à
3
2ln?21+e-2a?

Or lim
x→+∞e-2x=0, donc limx→+∞1+e-2x=1 et limx→+∞? 2
1+e-2x?
=2, donc finalement par composition, l"aire deDest égale à limx→+∞3
2ln?21+e-2x?
3
2ln2≈1,04 (u. a.)

EXERCICE25 points

Commun à tous les candidats

PartieA

1.On a pour tout natureln,vn+1=un+1-b

1-a=aun+b-b1-a=
au n+b(1-a)-b
1-a=aun-ab1-a=a?
u n-b1-a? =avn. L"égalitévn+1=avn, vraie pour tout naturelnmontre que la suite(vn)est géométrique de raisona.
2.On sait quevn=v0×an; donc sia?]-1 ; 1[, alors limn→+∞an=0, donc
lim
1-a=0 soit limn→+∞un=b1-a.

PartieB

1.Après la taille la plante mesure 80×?
1-1 4? =80×34=60 (cm). Au bout de
1 an elle a poussé de 30 cm; elle mesurera donc en mars 2016 avant la taille
quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

[PDF] Pondichéry 17 avril 2015 - APMEP

17 avril 2015

EXERCICE14 points

Commun à tous les candidats

PartieA

1 2 3 4-1-2

1.On sait que e-2x>0 quel que soit le réelx, donc 1+e-2x>1>0. Le dénomi-

2.On a limx→+∞-2x=-∞et en posantX=-2x, limX→-∞eX=0, d"où

3.Sur l"intervalle [0 ;+∞[, la fonctionfest continue car dérivable, strictement

1+1=1,5 à 3 : il existe donc un réel uniqueα?[0 ;+∞[

La calculatrice donne :

PartieB

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.La fonctionHest dérivable surRet sur cet intervalle :

3?e-2x+1?

1+e-2x-31+e-2x=3-f(x)=h(x).

DoncHest une primitive dehsurR.

3. a.On a vu que surRdonc en particulier sur l"intervalle [0 ;a] (aveca>),

2ln?1+e-2×a?+32ln?1+e-2×0?=

2ln2-32ln?1+e-2×a?=32ln?21+e-2a?

égale à

2ln?21+e-2a?

Or lim

1+e-2x?

2ln?21+e-2x?

2ln2≈1,04 (u. a.)

EXERCICE25 points

Commun à tous les candidats

PartieA

1.On a pour tout natureln,vn+1=un+1-b

1-a=aun+b-b1-a=

1-a=aun-ab1-a=a?

2.On sait quevn=v0×an; donc sia?]-1 ; 1[, alors limn→+∞an=0, donc

1-a=0 soit limn→+∞un=b1-a.

PartieB

1.Après la taille la plante mesure 80×?

1 an elle a poussé de 30 cm; elle mesurera donc en mars 2016 avant la taille