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Au XVIIème siècle, Johannes Kepler (1571-1630) constate que les planète tournent autour du TS MOUVEMENTS DES SATELLITES ET DES PLANETES

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Après avoir décrit le mouvement la planète Mars, nous allons montrer qu'il est possible, programmes du collège au lycée, de la troisième à la terminale S

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3) Equation de la trajectoire II Satellites et planètes 1) Lois de Kepler 2) Etude d 'un mouvement circulaire uniforme 3) Loi de gravitation universelle (rappel)

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Chapitre 13

Mouvements des planètes et satellites13.1 Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

13.1.11èreloi de Kepler : loi des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

13.1.22èmeloi de Kepler : loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

13.1.33èmeloi de Kepler : loi des périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

13.2 Mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2.1 Accélération centripète pour une trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . .

13.2.2 Vitesse pour une trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2.3 Période de révolution et3èmeloi de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

13.2.4 Satellite géostationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54Chapitre 13.Mouvements des planètes et satellitesT

oujoursdans le domaine de la mécanique, à la suite des chapitres10 ,11 , on se propose ici d"étudier le mouvement d"un corps en orbite autour d"un autre, comme pour les planètes, les satellites, les astéroïdes etc.

Ce chapitre s"articule autour du plan suivant :

Lois de Kepler

Mouvement circulaire uniforme (Vidéo)

13.1 Lois de Kepler

13.1.11èreloi de Kepler : loi des orbites1

èreloi de Kepler : loi des orbitesLes planètes et les satellites décrivent uneorbite elliptique planedont le centre attracteur

est l"un des foyers.Figure 13.1- Schéma d"une ellipse, de foyersOetO?, de demi grand axeaet demi petit axeb.

13.1.22èmeloi de Kepler : loi des aires2

èmeloi de Kepler : loi des airesLe segment reliant les pointsOetMibalaie desaires égalespendant desdurées égalesΔt.Figure 13.2- Loi des aires.Poisson Florian Spécialité Physique-Chimie Terminale

13.2.Mouvement circulaire uniforme5513.1.33èmeloi de Kepler : loi des périodes3

èmeloi de Kepler : loi des périodesLa période de révolutionTd"un corps en orbite autour d"un autre, est reliée au demi-grand axe

ade l"ellipse par : T 2a

3=csteRemarques:

Attention, la constante n"est pas une constante universelle, elle dépend du corps qui joue le rôle

de centre de gravitation à l"un des foyers de l"ellipse.

ane désigne pas l"accélération ici, mais bien le demi-grand axe de l"ellipse; c"est une longueur

en m.

13.2 Mouvement circulaire uniforme

D"un point de vue mathématique, un cercle est une ellipse particulière dont les foyers sont confondus

(appelé le centreOdu cercle), et où les demis-grand et petit axes sont égaux au rayonrdu cercle.

Dans cette section, on considère un corps de massem, assimilé à son centre de gravitéG, ayant une

orbite circulaireautour d"un autre corps de masseM, assimilé à son centre de gravitéO. On note

rle rayon de l"orbite (cf. figure13.3 ).

Système :{G}

Référentiel : "O-centrique » dans le repère de Frenet

Bilan des forces : Force gravitationnelle-→Fexercée parOsurGFigure 13.3- Schéma d"un corps en orbite circulaire autour d"un autre, dans le repère de Frenet.

13.2.1 Accélération centripète pour une trajectoire circulaireAccélération centripète

D"après la seconde loi de Newton pour un système de masse constante : m -→a(t) =-→F=GmMr

2n?(13.1)

La force

-→Fétant dirigée deGversO, alors le vecteur accélération-→a(t)aussi. On dit que

l"accélération estcentripète.Spécialité Physique-Chimie Terminale Poisson Florian

56Chapitre 13.Mouvements des planètes et satellites13.2.2 Vitesse pour une trajectoire circulaire

Vitesse en mouvement circulaire

L"accélération s"exprime dans le repère de Frenet par : a(t) =dv(t)dt t?+v2(t)R n?

D"après l"équation

13.1 , on en déduit : dv(t)dt = 0 etv2(t)r =GMr 2 On déduit de la première égalité que le mouvement estuniformecardv(t)dt = 0 =?v= cste. La deuxième égalité nous donne la norme constante de la vitesse : v=?GM r

Remarque:On peut également montrer qu"une orbite circulaire est nécessairement uniforme à l"aide

de la seconde loi de Kepler. En effet, le segment[OG]est alors constant, donc pour que les aires

balayées soient égales pendant une même duréeΔt, il faut que la longueur de l"arc de cercle parcouru

soit le même à chaque fois, et donc que la vitesse soit constante.

13.2.3 Période de révolution et3èmeloi de Kepler

Puisque le mouvement est circulaire uniforme, on en déduit que la vitesse du corpsGpeut s"écrire :

v=2πrT

Où2πrreprésente le périmètre du cercle, donc la distance parcourue parGen un tour complet, etT

la période de révolution deGautour deO.Période de révolution en mouvement circulaire uniforme

La vitessevconstante deGau cours de son mouvement circulaire autour deOs"exprime de deux manières : v=2πrT etv=?GM r Par égalité, et en passant au carré, on obtient :

4π2r2T

2=GMr , soit : T 2r

3=4π2GM

=cste (3èmeloi de Kepler)13.2.4 Satellite géostationnaire

Satellite géostationnaire

On dit qu"un satellite estgéostationnairelorsqu"il est immobile dans le référentiel terrestre.

Il tourne donc à la même vitesse que la Terre sur elle-même.Poisson Florian Spécialité Physique-Chimie Terminale

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