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Estimation des paramètres à partir du pourcentage, et de la moyenne
1ère année Médecine 2016/2017
1- Introduction
Faire une estimation, c'est tenter de dĠfinir les paramğtres d'une population ă partir des paramètres observés sur un échantillon.Yue la ǀaleur obserǀĠe a fort peu de chance d'ġtre edžactement la ǀaleur inconnue de la
population - Que cette valeur est néanmoins assez proche de la valeur inconnue si notreéchantillon est représentatif
- Yu'en rĠpĠtant l'Ġchantillonnage, on trouǀerait d'autres ǀaleurs, toutes assez proches les unes des autres.2- Estimation d'une moyenne inconnue
M est la moyenne de la variable quantitative sur un échantillon Problème: ʅ est l'estimation de la moyenne ce cette ǀariable dans la population, donc a- Ecart type de la moyenne: Il faut savoir que la M est elle-même une variable aléatoire. Elle varie selon leséchantillons, elle suit une loi normale et on peut lui calculer son écart type, écart type de la
moyenne Sm, ă ne pas confondre aǀec l'Ġcart type des ǀaleurs de l'Ġchantillon. S ͗ Ġcart type des ǀaleurs de l'ĠchantillonN : taille de l'Ġchantillon
b- Intervalle de confiance (IC)Le but: tenter d'estimer ʅ
Pour cela il faut estimer un intervalle dans lequel la moyenne a la plus grande probabilité de se trouver On démontre que à 95% de chance cette moyenne ʅ se trouve dans un intervalle compris entre M-1,96. Sm et M+ 1,96. Sm On appelle cet intervalle, intervalle de confiance (IC) à 95% de la moyenne ʅL'IC ă 95й s'edžprime͗
ʅ= M+/-1.96.Sm
Avecʅ : la moyenne inconnue de la population
M ͗ la moyenne calculĠe sur l'ĠchantillonSm ͗ l'Ġcart type de la moyenne
5% ʅ peut être à l'edžtĠrieur de cet intervalle.
c- Exemple Dans une enquête sur la durée du sommeil des enfants de 2 à 3 ans effectuée sur un échantillon de 540 enfants d'un dĠpartement franĕais, on a trouvé une moyenne de ce temps par nuit de 11.7 heures. L'Ġcart type est de 1.3 heures. On veut reconnaitre la moyenne générale du temps de sommeil chez tous les enfants du département х l'IC ă 95й est de 11.7нͬ- (1,96. 0,056)= 11.7+/-0,11 heures > la moyenne du temps du sommeil est donc comprise entre 11,6 et 11,8 heures3- Estimation d'un pourcentage inconnu
a- Ecart type du pourcentageIl faut savoir que p est elle-même une variable aléatoire. Elle varie selon les échantillons,
elle suit une loi normale et on peut lui calculer son écart type , écart type du pourcentage Sp.Sp : écart type du pourcentage
p ͗ le pourcentage calculĠ sur l'ĠchantillonN ͗ taille de l'Ġchantillon
b- Intervalle de confiance (IC)Le but: tenter d'estimer P
Pour cela il faut estimer un intervalle dans lequel la moyenne a la plus grande probabilité de se trouver On démontre que à 95% de chance ce pourcentage P se trouve dans un intervalle compris entre p-1,96.Sp et p+1,96.Sp On appelle cet intervalle, intervalle de confiance (IC) à 95% du pourcentage PL'IC ă 95й s'edžprime͗
P= p+/-1,96.Sp
AvecSp : écart type du pourcentage
p : le pourcentage calculĠ sur l'Ġchantillon A 95% de chance le P se trouve dans cet intervalle, mais on peut dire en complément que à5й P peut ġtre ă l'edžtĠrieur de cet intervalle.
c- Exemple Dans une enquête sur la durée du sommeil des enfants de 2 à 3 ans effectuée sur un Ġchantillon de 540 enfants d'un dĠpartement franĕais , on a trouǀĠ 86 enfants présentant des troubles de sommeil. On veut connaitre la proportion des troubles du sommeil chez tous les enfants du département. ¾ La proportion d'enfants prĠsentant des troubles du sommeil dans l'Ġchantillon est de86/540= 15.9%.
¾ L'IC ă 95й est ͗ 0,159нͬ-1,96. 0,016 = 0,159+/-0,031 ¾ La proportion d'enfants prĠsentant des troubles dans ce dĠpartement est donc comprise entre 12,8% et 19,0%évidement moindre, il faudrait alors remplacer la valeur de Zɲ (1.96), dans la table de Z( loi
normale centrée réduite) par la valeur correspondant valeur du risque ɲ, comme pour le Les formules pour calculer la moyenne ou le pourcentage se généralisent alors et deviennent:Moyenne: ʅ= M+/- Zɲ.Sm
Pourcentage: P= p+/- Zɲ. Sp
s'Ġlargit pour contenir plus de ǀaleurs mais, plus on perd la prĠcision sur l'estimation des
paramètres.5- Taille d'un Ġchantillon
La prĠcision d'une estimation dĠpend de͗
moyenne et du pourcentage. Dans ces deux formules, la taille est au dénominateur et donc:¾ Plus la taille est grande
¾ Plus les écarts types ne sont petits
¾ Plus l'IC est resserrĠ
Plus est grande la précision
Calcul de la taille de l'Ġchantillon
a- A partir d'une moyenneN= S²(Zɲϸ/i²)
Où:
--pour ɲ= 5%, Zɲ= 1,96 --S² est la variance de la variable dans la population (elle n'est pas connue, donc on l'estime ă partir d'Ġtudes antĠrieures ou d'Ġtudes pilotes. --i est la prĠcision dĠsirĠe c'est la moitiĠ de l'interǀalle de confiance (plus elle est petite plus N est grand) b- A partir d'un pourcentageN=P(1-P) (Zɲϸ/i²)
Où:
--pour ɲ= 5%, Zɲ= 1,96 --P est le pourcentage de la ǀariable dans la population( elle n'est pas connue, donc on l'estime ă partir d'Ġtudes antĠrieures ou d'Ġtudes pilotes. --i est la précision désirĠe c'est la moitiĠ de l'interǀalle de confiance (plus elle est petite plus N est grand)Exemple
ON désire estimer la proportion des troubles du sommeil chez des enfants de 2 à 3 ans dansproportion de ces troubles est d'enǀirons 16й. On dĠsire une prĠcision de нͬ- 3% et on
choisit un risque ɲ de 5%