Quantitative estimates, multiplicative functions, effective mean-value theorems, weighted distribution of additive functions 2010 AMS Classification Primary 11N56
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Ramanujan J.
44, no3 (2017), 641-701;
Corrig.51, no1 (2020), 243-244.
Moyennes eectives de fonctions
multiplicatives complexesGerald Tenenbaum
Abstract.We establish eective mean-value estimates for a wide class of multiplicative arithmetic functions, thereby providing (essentially optimal) quantitative versions of Wirsing's classical estimates and extending those of Halasz. Several applications are derived, including: estimates for the dierence of mean-values of so-called pretentious functions, local laws for the distribution of prime factors in an arbitrary set, and weighted distribution of additive functions. Keywords.Quantitative estimates, multiplicative functions, eective mean-value theorems, weighted distribution of additive functions.2010 AMS Classication.Primary 11N56, Secondary 11K65, 11N37, 11N60, 11N64.
Sommaire
1Introduction et enonce des resultats:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1
3Preuve du Theoreme 1.1:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::10
3.1 Lemme de Gallagher::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::10
3.2 Reduction au cas exponentiellement multiplicatif::::::::::::::::::::::::::::::11
3.3 Preuve dans le cas exponentiellement multiplicatif::::::::::::::::::::::::::::12
4Preuve du Theoreme 1.2:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::16
4.1 Lemmes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::16
4.2 Preuve dans le cas exponentiellement multiplicatif:::::::::::::::::::::::::::::21
4.3 Completion de l'argument:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::28
5Preuve du Theoreme 1.3:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::29
5.1 Inegalite de Turan-Kubilius ponderee::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::29
5.2 Completion de l'argument:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::30
6Preuve du Theoreme 1.4:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::34
7Preuves des corollaires:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::35
7.1 Preuve du Corollaire 2.1:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::35
7.2 Preuve du Corollaire 2.4:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::36
7.3 Preuve du Corollaire 2.5:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::38
7.4 Preuve du Corollaire 2.6:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::40
1. Introduction et enonce des resultats
Les estimations de valeurs moyennes de fonctions multiplicatives constituent un outil pri- vilegie de la theorie probabiliste des nombres. Elles permettent notamment d'apprehender la repartition des fonctions additives sur lesNpremiers entiers via leurs fonctions caracteristiques et, partant, d'obtenir des theoremes de convergence avec contr^ole de l'approximation. Les deux succes historiques de la theorie sont respectivement dus a Wirsing [35] et Halasz [13]. Designons parM(A;B) la classe des fonctions multiplicatives veriant (11) maxpjf(p)j6A;X p;>2jf(p)jlogpp 6B: Ici et dans la suite, nous reservons la lettreppour designer un nombre premier. Dans son remarquable article [35], Wirsing etablit notamment que, sir2M(A;B),r>0, et s'il existe% >0 tel que (12)X p6xr(p)logpp %logx(x! 1); alors toute fonction multiplicative reelleftelle quejfj6rverie, lorsquex! 1, (13)M(x;f) :=X n6xf(n) =e %(%)Y pP >0f(p)=pP >0r(p)=p+o(1)xlogxY pX p6xr(p)p
ou le produit inni est considere comme nul lorsqu'il diverge. (1)Ici et dans la suite, nous notons la constante d'Euler. Nous incluons ici quelques corrections mineures relativement a la version publiee.1. Le second produit est en fait ni.
2Gerald Tenenbaum
Le casr=1(la fonction constante egale a 1),%= 1, conrme une celebre conjecture d'Erd}os selon laquelle une fonction multiplicative reelle a valeurs dans [1;1] possede necessairement une valeur moyenne. Dans [13], Halasz a elucide le comportement asymptotique des fonctions multiplicatives complexesfa valeurs dans le disque unite. Son resultat principal etablit une dichotomie : soit il existe2Rtel que (14)X p1(3)2. Un resultat qualitatif anterieur, de m^eme nature mais valide sous des hypotheses plus fortes, est d^u
a Levin & Timofeev [24].3. Voir egalement [30] pour des variantes relatives a des sommes ponderees.
Moyennes eectives de fonctions multiplicatives complexes3 Lorsque lesf(p) sont connes a une ellipse de diametre 2 strictement incluse dans le disque unite, Hall & Tenenbaum [19] etablissent la majoration eectiveM(x;f)xexpn
KX p6x1T()2:=X
k2Zjkj6T1k2+ 1max=1+
jkj61=2jevf(s;x)j2( >0; T>1): Dans tout ce travail, nous denissons implicitement les parties reelle et imaginaire d'un nombre complexespar la formules=+i.Nous posons encore
(111)Z(y;f) :=X p6yf(p)p (26y6x): Theoreme 1.1.SoientA >0; B >0. Sous les hypothesesx>3,f;r2M1(x;A;B),jfj6r, etT>1, nous avons uniformement (112)M(x;f)xlogx Z11=logxH
T() d+eZ(x;r)pT +eZ(x;r)logx+eZ(x;r)log2xT De plus, pour toutc >0xe, et sous l'hypothese supplementaire (113)Z(x;r)Z(y;r)>cloglogxlogy +O(1) (26y6x); le dernier terme dans l'accolade de(112)peut ^etre omis.4Gerald Tenenbaum
Le resultat suivant fournit une version eective des formules asymptotiques (17) et (18). Conformement a une remarque eectuee plus haut, nous nous restreignons, sans perte degeneralite, au cas= 0.Etant donnee une fonction arithmetique multiplicative complexef, nous posonswf:= 1 si
fest reelle, etwf:=12 dans le cas general.