Multiplication par un réel Règle de calcul Le produit d'une matrice par un réel , est la matrice ×A obtenue en multipliant chaque coefficient de A par
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[PDF] Chapitre 2 1 24 Produits matriciels
Le produit des matrices a des propriétés étranges par rapport au produit de nombres On a vu dans la premi`ere section que la multiplication des matrices est
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8 nov 2011 · ter deux matrices de mêmes dimensions terme à terme) et d'une multiplication externe (on peut multiplier une matrice par un réel terme à
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2 2 Multiplication par un réel Définition 6 Soit M une matrice quelconque et λ un réel Le produit de M par λ est la matrice de même dimension que M et dont
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Multiplication par un réel Règle de calcul Le produit d'une matrice par un réel , est la matrice ×A obtenue en multipliant chaque coefficient de A par
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Envisageons donc le produit entre deux matrices 2 × 2 et une matrice colonne Commençons par effectuer le second puisque nous connaissons déjà la règle à
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Néanmoins le produit matriciel est bien une matrice, et non un scalaire Oublier cette subtilité mènerait vite à des incohérences : par exemple, la multiplication
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Le premier est algorithme de multiplication rapide est dû à V STRASSEN (1969) et son amélioration à S WINOGRAD (1971) Si la multiplication naïve de matrices
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Le produit AB de deux matrices A et B est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Définition 5 (Produit de deux
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Rappel : le sens de la multiplication des matrices Rappel a) La matrice de la composée de deux applications linéaires est le produit des matrices
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28 fév 2013 · Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure (et de même pour les matrices triangulaires
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Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Chapitre 3Calcul matriciel
1. Définitions et Vocabulairea. Définitions d'une matriceDéfinitionUne matrice de dimension n×p est un tableau de nombres comportant n lignes et p
colonnesExemples [3787 214556102]Cette matrice a pour dimension 3×4Elle comporte 3 lignes et 4 colonnesC'est une matrice quelconque
[36-57 4781082-5
00-16]Cette matrice a pour dimension 4×4Elle comporte 4 lignes et 4 colonnesC'est une matrice carrée
[7131153]Cette matrice a pour dimension 1×5Elle comporte 1 lignes et 5 colonnesC'est un vecteur ligne
[1 4 2 5-3]Cette matrice a pour dimension 5×1Elle comporte 5 lignes et 1 colonnesC'est un vecteur colonne1 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)b. Vocabulaire•Les nombres dans les matrices se nomment : les coefficients de la matrice•On noteaijle coefficient à l'intersection de la ligne i et la colonne j.•Toute matrice est de la forme :
[a11a12a13...........a1p a21a22a23..........a2p a31a32a33...........a3p an1an2an3...........anp]•Une matrice carrée est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnesOn a alors n = p.•Un vecteur colonne est une matrice avec une seule colonne•Un vecteur ligne est une matrice à une seule ligne•Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à
la même place sont égaux.c. Transposée d'une matriceDéfinitionLa transposée d'une matrice est obtenu en échangant les lignes et les colonnesSi A est une matrice alors sa transposée se note : tA
Les lignes de A sont les colonnes de tA
Si A= [a11a12a13...........a1p a21a22a23..........a2p a31a32a33...........a3p an1an2an3...........anp ]alors tA= [a11a21a31...........an1 a12a22a32..........an2 a13a23a33...........an3 a1pa2pa3p...........anp ]2 / 10 Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Exemples A= [3787 214556102]
tA= [325 7168410
752]B=
[36-57 4781082-5
00-16]tB=
[3400 6780-582-1
71-56]
C=[41034]tC=
[4 10 3 4] D= [5 2 16]tD=[5216]2. Additions et Soustractionsa. Les additions et soustractions de matricesRègle de calculLa somme ( ou la différence ) de deux matrices A et B de même dimension est la
matrice obtenue en ajoutant ( ou soustrayant ) les coefficients de A et B situés à la même place.Exemple Si A= [3787 214556102]et
B= [0347 13610019]alors
AB=
[3101214 34106561111]3 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)Remarque :A+B a la même dimension que A et B. b. Multiplication par un réelRègle de calculLe produit d'une matrice par un réel , est la matrice ×A obtenue en multipliant
chaque coefficient de A par .Exemples Si A= [3787 214556102]alors
10A= [3070807020104050
506010020] Si
A= [1 3 7 3 8 3 7 3 2 3 1 3 4 3 5 3 5 3 6 3 10 3 2 3 ]alors 3A= [1787 214556102]Si
A= [1787 214556102]alors
1 2 A= [1 2 7 2 8 2 7 2 2 2 1 2 4 3 5 2 5 2 6 2 10 2 2 24 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)3. Multiplications a. Produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonneRègle de calcul[a1a2....an-1an]×
[b1 b2 bn-1 bn a1 ×b1a2 ×b2....an-1×bn-1an×bnExemple [14201]× [3 1 5 4 01 ×34 ×12 ×50 ×41 ×0= 17b. Produit d'une matrice par un vecteur colonneRègle de calculPour multiplier une matrice A ( n×p ) par un vecteur colonne B( p×1 ), on multpilie
chacune des n lignes de la matrice A par le vecteur colonne BOn obtient alors un vecteur colonneExemples Si
A=[2432]et B=[5
7]alorsA×B=[24
32]×[5
7]=[2 ×44 ×7
3 ×52 ×7]=[36
29] Si
A=[241
322]et B=
[1 00]alors
A×B=[241
322]×
[1 00]=[2 ×14 ×01 ×0
3 ×12 ×02 ×0]=[2
3]5 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605) Si A=[241322]et B=
[0 10]alors
A×B=[241
322]×
[0 10]=[2 ×04 ×11 ×0
3 ×02 ×12 ×0]=[4
2] Si
A=[241
322]et B=
[0 01]alors
A×B=[241
322]×
[0 01]=[2 ×04 ×01 ×1
3 ×02 ×02 ×1]=[1
2]SiA=[241
322]et B=
[x y z]alorsA×B=[241
322]×
[x y z]=[2x4y1z3x2y2z]d. Produit de deux matricesRègle de calculSi A
aijest une matrice de dimension n×p et B bijest une matrice de dimension p×m alors C=A×B cijest une matrice de dimension n×m et Cij est le produit de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.Exemple SiA=[241
322]et B=
[014 017156]alors
A×B=[241
322]×
[014 017 156]A×B=[2 ×04 ×01 ×12 ×14 ×11 ×52 ×44 ×71 ×6
3 ×02 ×02 ×13 ×12 ×12 ×53 ×42 ×72 ×6]=[11142
21538]6 / 10
Classe de Première ES, option Maths (603 - 605)e. Propriétés de la multiplicationLa multiplication n'est pas commutative :