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Université de BordeauxAlgèbre et calcul formel - Agrégation
Mathématiques2022-2023
FEUILLE D"EXERCICES n
o4Multiplication de polynômes : Karatsuba, FFT
On propose ici d"écrire des procédures de multiplication depolynômes. Chacune de ces procédures prendra comme entrée les deux polynômes sous forme de listes et rendra le produit également sous forme de liste. Ces procédures seront faciles à appliquer à des polynômes grâce aux transformations liste-polynôme et polynôme-liste.Exercice 1- [Gérer l"aléa]
Commençons par quelques commandes utiles pour gérer l"aléadans Sage.1)La plupart des ensembles de Sage ont une méthode.random_element(), qui permet
de tirer des éléments aléatoires dans l"ensemble. Si l"ensemble est fini, l"élément est tiré
uniformément dans l"ensemble. Sinon il est tiré selon une distribution choisie par Sage (vous pouvez obtenir plus d"info grâce à l"aide, en faisantZZ.random_element?par exemple).Testez par exemple
ZZ.random_element()
ZZ.random_element(a,b)
(l"élément tiré sera uniforme dans [a,b[)QQ["x"].random_element()
QQ["x"].random_element(d)
(renvoie un polynôme aléatoire de degréd)Integers(7).random_element()
GF(32).random_element()
2)Lorsqu"on veut faire une démo et que certains bouts du code utilisent de l"aléa, on
aime bien fixer l"aléa, pour que la démo fasse toujours la mêmechose. C"est faisable en sage en utilisantset_random_seed(42)(vous pouvez remplacer 42 par votre entier pré-féré). Attention, si vous évaluez plusieurs fois la même cellule, et que vous avez mis votre
set_random_seed(42)dans une cellule précédente, l"aléa va quand même changer. Par exemple set_random_seed(42) print(ZZ.random_element()) print(ZZ.random_element()) Vous devriez obtenir-31, puis 5. Normalement, n"importe qui utilisant Sage avec la même version que vous devrait obtenir les mêmes valeurs.