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Exo7
Calculs d"intégrales
1 Utilisation de la définition
Exercice 1Soitfla fonction définie sur[0;3]par
f(x) =8 >>>>>:1 six=01 si 0 3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R3 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;3], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;3]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;3]? Montrer que les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Calculer l"intégrale def:[a;b]!Rcomme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants : 1.f(x) =sinxetf(x) =cosxsur[0;p2
]etxk=kp2n,k=0;1;:::;n, 2.g(x) =1x
sur[a;b]R+etxk=aqk,k=0;1;:::;n(qétant à déterminer), 3.h(x) =axsur[a;b],a>0, etxk=a+(ba):kn
,k=0;1;:::;n. Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann? 1.f(x) = [x]sur[0;2]
2.g:[0;1]!R;g(x) =(
1x si 01 six=0
3.h:[0;1]!R;h(x) =(
1x sin1x si 01 six=0
1 4.k:[0;1]!R;k1(x) =(
1 six2[0;1]\Q,
0 six2[0;1]nQ
Soitf:[a;b]!Rune fonction intégrable sur[a;b](a0. Montrer queRb
af(x)dx>0. En déduire que sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2. On suppose que fest continue sur[a;b], et queRb
af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel que f(c) =0. 3. Application : on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(t)dt=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:[a;b]!Rcontinue, positive; on posem=supff(x);x2[a;b]g. Montrer que lim n!¥ Zb a(f(x))ndx 1n =m: Soitf:[0;1]!Rune application strictement croissante telle quef(0) =0;f(1) =1. Calculer : lim n!¥Z 1 0fn(t)dt:
Exercice 8Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
a) Z arctanxdxb)Z tan 2xdxc)Z1xlnxdxd)Zxpx+1dx
e) Z arcsinxdxf)Z13+exp(x)dxg)Z1p4xx2dxh)Z1x p1ln2xdx i) Z1p1+expxdxj)Zx1x
2+x+1dxk)Zx+2x
23x4dxl)Z
cosxexpxdx Calculer les primitives suivantes :
Zsinxsinx+cosxdxetZcosxsinx+cosxdx:
2 Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
a) Z sin 8xcos3xdxb)Z
cos 4xdxc)Z
cos 2003xsinxdxd)Z12+sinx+cosxdx
Exercice 11Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx 0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes : 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Soientuetvdeux fonctions dérivables surRetfune fonction continue surR. 1. On pose F(x) =Z
v(x) u(x)f(t)dt. Montrer queFest dérivable surRet calculer sa dérivée. 2. Calculer la déri véede G(x) =Z
2x xdt1+t2+t4. SoitF(x) =Z
x2 x1lntdt 1. Quel est l"ensemble de définition de F.Fest-elle continue, dérivable sur son ensemble de définition?
2. Déterminer lim
x!1+F(x)en comparantFàH(x) =Z x2 x1tlntdt. 4 Calculs d"intégrales
Exercice 14Calculer les intégales suivantes :
a) Z 1 0arctanx1+x2dxb)Z
2 12 1+1x 2 arctanxdxc)Z p2 0xsinxdx
d) Z 1 1(arccosx)2dxe)Z
1 01(1+x2)2dxf)Z
p3 0x 2p4x2dx
g) Z 2 1x2lnxdxh)Z
1 11x 2+4x+7dxi)Z
1 03x+1(x+1)2dx
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
Intégrales de Wallis
SoitIn=Z
p2 0sinn(x)dxsin2N.
1. Montrer que (In)nest positive décroissante.
2. Montrer que In+2=n+1n+2Inet expliciterIn, en déduireR1 1x21ndx.
3. Montrer que InIn+1
4. A l"aide de (n+1)InIn+1montrer queInpp
2n. 5. En déduire
1:3:::(2n+1)2:4:::(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k Exercice 18Calculer
RR RpR 2x2dx(on poseraq=arcsinxR
) et en déduire l"aire d"un disque de rayonR. 4 Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Exercice 20Calculer la limite des suites suivantes : 1.un=nn1å
k=01k 2+n2; 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n 5 Indication pourl"exer cice2 NIl faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et de la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dx est la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f(a+kban ):Indication pourl"exer cice3 N1.On pourra penser que le cosinus et le sinus sont les parties réelles et imaginaires de la fonction t7!eit.
On chercha donc d"abord à calculerR
p2 0eitdt.
2. On choisira qtel queqn=ba
.Indication pourl"exer cice5 N1.Re venirà la définition de la continuité en prenant e=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que Rb
af(t)dt12 =Rb a(f(t)t)dt.Indication pourl"exer cice6 NEssayez d"encadrer Rb af(t)nm ndt:Indication pourl"exer cice7 NIl s"agit de montrer que la limite vaut 0. Pour una>0 fixé on séparera l"intégrale en deux partie selon quef
est plus petit ou plus grand que 1a.Indication pourl"exer cice9 NCalculer la somme et la différence de ces deux intégrales.
Indication pour
l"exer cice 12 NSe ramener à une composition de fonctions ou revenir à la définition de la dérivée avec le taux d"accroissement.
Indication pour
l"exer cice 13 N1.Soit f airecomme l"e xercice12 , soit séparer l"intégrale en deux, et pour l"une faire un changement de
variableu=x2. 2.H(x)se calcule explicitement et montrer qu"en faitHest une fonction constante, ensuite il faut comparer
H(x)etF(x).Indication pourl"exer cice16 N1.F aireune intégration par parties pour In+2. Pour le calcul explicite on distinguera le cas desnpairs et
impairs. 2. Utiliser la décroissance de Inpour encadrerIn+1I n. 6 Indication pourl"exer cice17 N1.Majorer par xn.
2. 3. On pourra calculer (I0+I1)(I1+I2)+(I2+I3)Indication pourl"exer cice20 NOn pourra essayer de reconnître des sommes de Riemann. Pour le produits composer par la fonction ln.
7 Correction del"exer cice1 N1.On trouv e
R3 0f(t)dt= +3. Il faut tout d"abord tracer le graphe de cette fonction. Ensuite la valeur d"une
intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c"est-à-dire ici les valeurs enx=0,
x=1,x=2 n"ont aucune influence sur l"intégrale. Ensuite on revient à la définition deR3 0f(t)dt: pour
la subdivision de[0;3]définie parfx0=0;x1=1;x2=2;x3=3g, on trouve la valeur de l"intégrale (ici
le sup et l"inf sont atteint et égaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine). 2. C"est la même chose, mais au lieu d"aller jusqu"à 3 on s"arrête à x, on trouve F(x) =8
:xsi 06x61 32xsi 1 9+4xsi 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 ni enx=2.Correction del"exer cice2 N1.En utilisant les sommes de Riemann, on sait que R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) deån1k=01n
f(kn NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R3 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;3], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;3]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;3]? Montrer que les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Calculer l"intégrale def:[a;b]!Rcomme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants : 1.f(x) =sinxetf(x) =cosxsur[0;p2
]etxk=kp2n,k=0;1;:::;n, 2.g(x) =1x
sur[a;b]R+etxk=aqk,k=0;1;:::;n(qétant à déterminer), 3.h(x) =axsur[a;b],a>0, etxk=a+(ba):kn
,k=0;1;:::;n. Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann? 1.f(x) = [x]sur[0;2]
2.g:[0;1]!R;g(x) =(
1x si 01 six=0
3.h:[0;1]!R;h(x) =(
1x sin1x si 01 six=0
1 4 si 2 1. Calculer
R3 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;3], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;3]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;3]? Montrer que les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Calculer l"intégrale def:[a;b]!Rcomme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants : 1.f(x) =sinxetf(x) =cosxsur[0;p2
]etxk=kp2n,k=0;1;:::;n, 2.g(x) =1x
sur[a;b]R+etxk=aqk,k=0;1;:::;n(qétant à déterminer), 3.h(x) =axsur[a;b],a>0, etxk=a+(ba):kn
,k=0;1;:::;n. Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann? 1.f(x) = [x]sur[0;2]
2.g:[0;1]!R;g(x) =(
1x si 01 six=0
Calculer
R30f(t)dt.
2.Soit x2[0;3], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;3]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;3]?Montrer que les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex;0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Calculer l"intégrale def:[a;b]!Rcomme limite de sommes de Riemann-Darboux dans les cas suivants :1.f(x) =sinxetf(x) =cosxsur[0;p2
]etxk=kp2n,k=0;1;:::;n,2.g(x) =1x
sur[a;b]R+etxk=aqk,k=0;1;:::;n(qétant à déterminer),3.h(x) =axsur[a;b],a>0, etxk=a+(ba):kn
,k=0;1;:::;n. Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?1.f(x) = [x]sur[0;2]
2.g:[0;1]!R;g(x) =(
1x si 03.h:[0;1]!R;h(x) =(
1x sin1x si 04.k:[0;1]!R;k1(x) =(
1 six2[0;1]\Q,
0 six2[0;1]nQ
Soitf:[a;b]!Rune fonction intégrable sur[a;b](aMontrer queRb
af(x)dx>0. En déduire que sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle. 2.On suppose que fest continue sur[a;b], et queRb
af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel que f(c) =0. 3. Application : on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR10f(t)dt=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:[a;b]!Rcontinue, positive; on posem=supff(x);x2[a;b]g. Montrer que lim n!¥ Zb a(f(x))ndx 1n =m: Soitf:[0;1]!Rune application strictement croissante telle quef(0) =0;f(1) =1. Calculer : lim n!¥Z 10fn(t)dt:
Exercice 8Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
a) Z arctanxdxb)Z tan2xdxc)Z1xlnxdxd)Zxpx+1dx
e) Z arcsinxdxf)Z13+exp(x)dxg)Z1p4xx2dxh)Z1x p1ln2xdx i)Z1p1+expxdxj)Zx1x
2+x+1dxk)Zx+2x
23x4dxl)Z
cosxexpxdxCalculer les primitives suivantes :
Zsinxsinx+cosxdxetZcosxsinx+cosxdx:
2Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
a) Z sin8xcos3xdxb)Z
cos4xdxc)Z
cos2003xsinxdxd)Z12+sinx+cosxdx
Exercice 11Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes :1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3.Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4.Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5.Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7.Si fest paire alorsFest impaire.
Soientuetvdeux fonctions dérivables surRetfune fonction continue surR. 1.On pose F(x) =Z
v(x) u(x)f(t)dt. Montrer queFest dérivable surRet calculer sa dérivée. 2.Calculer la déri véede G(x) =Z
2x xdt1+t2+t4.SoitF(x) =Z
x2 x1lntdt 1.Quel est l"ensemble de définition de F.Fest-elle continue, dérivable sur son ensemble de définition?
2.Déterminer lim
x!1+F(x)en comparantFàH(x) =Z x2 x1tlntdt.4 Calculs d"intégrales
Exercice 14Calculer les intégales suivantes :
a) Z 10arctanx1+x2dxb)Z
2 12 1+1x 2 arctanxdxc)Z p20xsinxdx
d) Z 11(arccosx)2dxe)Z
101(1+x2)2dxf)Z
p3 0x2p4x2dx
g) Z 21x2lnxdxh)Z
1 11x2+4x+7dxi)Z
103x+1(x+1)2dx
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2011+sinxdxetZ
p20sinx1+sinxdx:
Intégrales de Wallis
SoitIn=Z
p20sinn(x)dxsin2N.
1.Montrer que (In)nest positive décroissante.
2. Montrer que In+2=n+1n+2Inet expliciterIn, en déduireR11x21ndx.
3.Montrer que InIn+1
4.A l"aide de (n+1)InIn+1montrer queInpp
2n. 5.En déduire
1:3:::(2n+1)2:4:::(2n)2pn
pSoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2.Calculer In+In+1.
3.Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1kExercice 18Calculer
RR RpR2x2dx(on poseraq=arcsinxR
) et en déduire l"aire d"un disque de rayonR. 4 Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Exercice 20Calculer la limite des suites suivantes :1.un=nn1å
k=01k 2+n2;2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n 5Indication pourl"exer cice2 NIl faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et de la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dx est la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f(a+kban):Indication pourl"exer cice3 N1.On pourra penser que le cosinus et le sinus sont les parties réelles et imaginaires de la fonction t7!eit.
On chercha donc d"abord à calculerR
p20eitdt.
2.On choisira qtel queqn=ba
.Indication pourl"exer cice5 N1.Re venirà la définition de la continuité en prenant e=f(x0)2
par exemple. 2.Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3.On remarquera que Rb
af(t)dt12 =Rb a(f(t)t)dt.Indication pourl"exer cice6 NEssayez d"encadrer Rb af(t)nmndt:Indication pourl"exer cice7 NIl s"agit de montrer que la limite vaut 0. Pour una>0 fixé on séparera l"intégrale en deux partie selon quef
est plus petit ou plus grand que 1a.Indication pourl"exer cice9 NCalculer la somme et la différence de ces deux intégrales.
Indication pour
l"exer cice12 NSe ramener à une composition de fonctions ou revenir à la définition de la dérivée avec le taux d"accroissement.
Indication pour
l"exer cice13 N1.Soit f airecomme l"e xercice12 , soit séparer l"intégrale en deux, et pour l"une faire un changement de
variableu=x2.2.H(x)se calcule explicitement et montrer qu"en faitHest une fonction constante, ensuite il faut comparer
H(x)etF(x).Indication pourl"exer cice16 N1.F aireune intégration par parties pour In+2. Pour le calcul explicite on distinguera le cas desnpairs et
impairs. 2. Utiliser la décroissance de Inpour encadrerIn+1I n. 6Indication pourl"exer cice17 N1.Majorer par xn.
2. 3.On pourra calculer (I0+I1)(I1+I2)+(I2+I3)Indication pourl"exer cice20 NOn pourra essayer de reconnître des sommes de Riemann. Pour le produits composer par la fonction ln.
7Correction del"exer cice1 N1.On trouv e
R30f(t)dt= +3. Il faut tout d"abord tracer le graphe de cette fonction. Ensuite la valeur d"une
intégrale ne dépend pas de la valeur de la fonction en un point, c"est-à-dire ici les valeurs enx=0,
x=1,x=2 n"ont aucune influence sur l"intégrale. Ensuite on revient à la définition deR30f(t)dt: pour
la subdivision de[0;3]définie parfx0=0;x1=1;x2=2;x3=3g, on trouve la valeur de l"intégrale (ici
le sup et l"inf sont atteint et égaux pour cette subdivision et toute subdivision plus fine). 2. C"est la même chose, mais au lieu d"aller jusqu"à 3 on s"arrête à x, on trouveF(x) =8
:xsi 06x6132xsi 1 9+4xsi 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 ni enx=2.Correction del"exer cice2 N1.En utilisant les sommes de Riemann, on sait que R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) deån1k=01n
f(kn NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
9+4xsi 2 3. Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 ni enx=2.Correction del"exer cice2 N1.En utilisant les sommes de Riemann, on sait que R1 0f(x)dxest la limite (quandn!+¥) deån1k=01n
f(kn NotonsSn=1n
ån1k=0f(kn
). AlorsSn=1n ån1k=0kn
=1n 2ån1k=0k=1n
2n(n1)2
. On a utilisé que la somme des entiers de 0 àn1 vautn(n1)2 . DoncSntend vers12 . DoncR1 0f(x)dx=12
2.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Les seuls points à discuter pour la continuité sont les points x=1 etx=2, mais les limites à droite et à
gauche deFsont égales en ces points doncFest continue. Par contreFn"est pas dérivable enx=1 ni enx=2.Correction del"exer cice2 N1.En utilisant les sommes de Riemann, on sait que R1