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V (θ) est appelée la matrice de variance-covariance asymptotique de la suite (rn( Tn − θ)) 25 Page 26 Remarque 9 Notons qu'un estimateur asymptotiquement
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Éléments de
Statistique
AsymptotiqueMarie-Claude VIANO et Charles SUQUET
Master 2 Recherche de Mathématiques année 2010-2011Table des matières
Introduction
3 Chapitre 1. Rappels sur les notions de convergence 51. Distances entre mesures de probabilité
52. Convergence de variables aléatoires à valeurs dans des espaces métriques
10 Chapitre 2. Théorèmes classiques : rappels et compléments 151. Théorème de Glivenko-Cantelli. Ergodicité. Mesure empirique
152. Théorème central limite. Convergence du Processus empirique
26Chapitre 3. Méthodes du maximum de vraisemblance et M-estimateurs 35
1. Introduction
352. Propriétés asymptotiques
373. Robustesse
484. Robustesse contre efficacité
51Chapitre 4. Les delta-méthodes
551. Introduction
552. Notions de dérivabilité directionnelle
573. La delta-méthode fonctionnelle
594. Application aux M-estimateurs
59Chapitre 5. Les quantiles
671. Définition
672. Quelques propriétés élémentaires
673. Propriétés asymptotiques des quantiles.
684. La fonction quantile
695. Une application : l"écart absolu médian
706. Une application : la moyenneα-tronquée71
Annexe A. Solutions d"exercices
73Bibliographie
811
Introduction
Ce cours est d"abord une " visite guidée» de quelques points importants en statis- tique asymptotique : le rôle de la mesure empirique pour estimer la loi des variables, lesδ-méthodes qui permettent d"obtenir les distributions limites d"estimateurs par des développements limités de la mesure empirique autour de cette loi, les notions de robustesse qui conduisent à la construction d"estimateurs non optimaux mais aux performances peufragiles, les notions de contiguïté et de normalité asymptotique locale qui, par des méth-
odes de géométrie différentielle, fournissent une explication à certains " comportements invariants» en statistique classique comme la normalité asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance et la vitesse en⎷nobtenue dans la plupart des convergences en loi. Le deuxième objectif de ce cours est de quitter le domaine des variables indépendantes,terrain de prédilection des statisticiens. Pour un statisticien, un "échantillon» est la réal-
isation d"un vecteur aléatoire à composantes indépendantes et de même loi. Depuis unecinquantaine d"années, on s"est intéressé à ce qu"il advient des résultats limites bien connus
(loi des grands nombres, théorème central limite, loi du logarithme itéré, etc...) lorsque
les variables sont dépendantes. On est arrivé dans bien des cas à évaluer l"impact de la perte d"indépendance. Dans la mesure du possible, chaque chapitre du cours consacre un paragraphe à cette question. 3CHAPITRE 1
Rappels sur les notions de convergence
Dans ce chapitre, nous examinerons des questions de convergence de suites de variablesaléatoires à valeurs dans des espaces métriques. Ces " variables aléatoires » seront définies
sur un espace(Ω,F)et à valeurs dans un espace métriqueE. Parler de variables aléatoires et pas seulement d"applicationsΩ→E, suppose une certaine mesurabilité. Pour cela, nous munirons généralementEde sa tribuborélienne, c"est à dire la tribu engendrée par lesouverts deE. On emploiera aussi l"expression " élément aléatoire deE» pour désigner de
telles variables.1. Distances entre mesures de probabilité
Entre autres distances, nous en retiendrons trois.1.1. La distance de Prokhorov.
Définition 1.1(distance de Prokhorov).La distance de Prokhorov de deux mesures de probabilitéPetQsur la tribu borélienneEd"un espace métrique(E,d)est définie par : oùAεdésigne l"ensemble des points deEdont la distance àAest strictement inférieureThéorème 1.2.
(i) Dans la définition de πci-dessus, on peut se restreindre à la famille desAfermés de E. (iii)πest une distance sur l"ensemble des mesures de probabilité surE. (iv) Si Eest séparable1,πmétrise2la convergence en loi.Preuve.
Remarques préliminaires.Rappelons que siAest une partie d"un espace métrique(E,d), la distance d"un élémentedeEàAest définie pard(e,A) = inf{d(e,x);x?A}. On vérifie facilement qued(e,A) = 0si et seulement sieappartient à la fermetureAdeAet qued(e,A) =d(e,A). De plus, l"application?:E→R+,x?→d(x,A)estcontinue[23, p.103], ce qui implique queAε=?-1(]- ∞,ε[)est un ouvert deE.1. C"est-à-dire s"il existe une partie dénombrable dense dansE.
2. Autrement dit,Xnconverge en loi versXsi et seulement siπ(PXn,PX)tend vers0, oùPXn,PX
désignent les lois desXnet deX. 56 M.-C. Viano et Ch. Suquet
Pour toutes mesures de probabilitésPetQsurEet toute sous-familleGdeE, notons I0n remarque alors queIG(P,Q)est unintervalledeR. En effet, siε?IG(P,Q), pour
montre que siIG(P,Q)?=∅, c"est un intervalle deR, de borne supérieure+∞. En fait, [1,+∞[?IG(P,Q)?[0,+∞[, puisquePetQétant des probabilités, il est clair que toutréelε≥1est dansIG(P,Q). Ceci montre la première inclusion, la deuxième résultant de
la condition "ε >0» dans la définition deIG(P,Q). Preuve de (i).En notantFla famille des fermés deEet˜π(P,Q)la borne inférieure de I F(P,Q), nous avons à comparer cette borne avec la distance de Prokhorovπ(P,Q) = infIE(P,Q). D"abord puisque la familleFdes fermés est incluse dans la tribu borélienne surE. Supposons qu"il existe un couple de probabilités(P,Q)pour lequel cette inégalitésoit stricte. Alors il existe unε?]˜π(P,Q),π(P,Q)[et un borélienA? Evérifiant l"une au
moins des deux inégalitésP(A)> Q(Aε) +εouQ(A)> P(Aε) +ε. Pour fixer les idées,disons que la première est réalisée (le raisonnement qui suit reste valable en échangeant
(A)ε=AεetP(A)≥P(A), ceci est contradictoire avec la minoration stricte deP(A)supposée ci-dessus. Par conséquent, l"inégalité stricte˜π(P,Q)< π(P,Q)ne peut avoir lieu
peut donc bien se restreindre auxAfermés pour calculer la distance de Prokhorov. Preuve de (ii).Pour établir le point (ii), il suffit de vérifier que pour toutes mesures de probabilitéPetQsurE,π1(P,Q) =π1(Q,P). Commençons par le cas particulier oùπ1(P,Q) = 0. Dans ce cas on a pour toutA . CommeAest fermé,∩n≥1A1/n=A, d"où par continuité séquentielle décroissante vers l"infini. En passant aux complémentaires, on en déduit que pour tout ouvertBde Alors il existe unεtel que0< ε < π1(Q,P)et un ferméFtel queQ(F)> P(Fε) +ε. AinsiQ(Fε)≥Q(F)> P(Fε) +ε, d"oùQ(Fε)> P(Fε). Mais commeFεest ouvert,1(Q,P) = 0 =π1(P,Q). En prime nous avons montré au passage que siπ1(P,Q) = 0,
Ainsi les mesures finiesPetQcoïncident sur la classe des fermés deE, qui est stable par intersections finies et engendrent la tribu borélienneE, donc elles coïncident surE, d"où P=Q. Traitons maintenant le casπ1(P,Q)>0. Alors pour toutεtel que0< ε < π1(P,Q), il existe un ferméAtel queP(A)> Q(Aε) +ε, d"où en passant aux complémentairesQ(E\Aε)> P(E\A) +ε. Remarquons que sid(x,y)< εetx?A, alorsy?Aε.3.A1/n↓A?Q(A1/n)↓A.
Éléments de Statistique Asymptotique 7
On en déduit que sid(x,y)< εety?E\Aε, alorsx /?A, ce qui établit l"inclusion (E\Aε)ε?E\A. On a doncQ(E\Aε)> P(E\A) +ε≥P?(E\Aε)ε?+ε. On obtient ainsi l"existence d"un ferméF=E\Aεtel queQ(F)> P(Fε) +ε, ce qui entraîne que étudié ci-dessus, nous avons maintenant établi que pourtoutcouple(P,Q)de probabilités, finalementπ1(P,Q) =π1(Q,P). Preuve de (iii).Vérifions queπest une distance sur l"ensemble de smesures de probabilitésurE. La symétrie découle immédiatement de la définition deπ. D"autre part siP=Q, tout
ε >0vérifie les inégalités figurant dans la définition deπ, d"oùπ(P,P) = inf]0,+∞[= 0.
Réciproquement, on a vu comme sous-produit de la preuve de ( ii ) que l"égalitéπ(P,Q) = 0 impliqueπ1(P,Q) = 0et que ceci implique l"égalité dePetQ.Il ne nous reste plus qu"à montrer queπvérifie l"inégalité triangulaire, ou plus simple-
ques surE. On remarque pour cela que pour tous réelsxetytels queπ1(P,R)< xet1(R,Q)< yet tout borélienAdeE,
1(R,Q).
Preuve partielle de (iv).Nous nous contenterons de démontrer que si lesXn,Xsont des éléments aléatoires deEde loi respectivePn,Pet siπ1(Pn,P)tend vers0, alorsXn converge en loi dansEversX. Pour cela, en vertu duportmanteau theorem(Th.1.11 ci-dessous), il suffit de montrer que siAest un borélien tel queP(∂A) = 0,Pn(A)converge versP(A). Rappelons ici que l"intérieur deAest le plus grand ouvert contenu dansAet l"extérieur deAle plus grand ouvert contenu dans son complémentaire. La frontière∂Ade Aest l"ensemble des points qui ne sont ni intérieurs ni extérieurs àA. Comme l"intérieur deAest l"extérieur de son complémentaire et vice-versa,AetE\Aont même frontière. Fixonsε >0quelconque. Notons que pour tout entierk≥1, (A1/k\A)?(A1/k\◦A)↓(A\◦A) =∂A. CommeP(∂A) = 0, on peut trouver0< δ < εsuffisamment petit pour queP(Aδ\A)< ε etP((E\A)δ\(E\A))< ε. Par hypothèse,π1(Pn,P)tend vers0, donc on peut trouverunn0dépendant deεtel que pour toutn≥n0,π1(Pn,P)< δ. On en déduit les inégalités
P P n(A)versP(A)est établie.