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à l'agrégation externe de mathématiques, en 2014/2015 ment de soi que l'oral de l'agrégation est quelque chose qu'on doit préparer de façon personnelle ; 

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Concours externe de l'agrégation du second degré Section mathématiques Programme de la session 2019 Le programme des épreuves de l'agrégation n' est 

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Sur une leçon bateau, il est intéressant de parler d'histoire des maths ou au Francinou, Gianella, Exercices de mathématiques pour l'agrégation - Algèbre 1

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Agrégation CRCG mathématiques variés (c'est aussi pour cela que le jury les aime), ce qui permet de le caser dans un nombre conséquent de leçons L'idée 

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Leçons pour l'agrégation de mathématiques elle se fait le germe de réflexions et débats autour de ces petits thèmes d'agrégation, j'en serai plus ravi encore

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Développements

pour l"agrégation externe

Florian LEMONNIERAnnée 2014 - 2015

DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

Avant-propos

Cher agrégatif,

Avant toute chose, bon courage.

Voici, dans ce document, tous les développements que j"ai rédigés durant mon année de préparation

à l"agrégation externe de mathématiques, en 2014/2015. J"ai essayé, le plus souvent possible, d"y ajouter

des annotations, des commentaires, ou des idées à retenir pour les questions.

Évidemment, ce document ne peut pas être exempt de coquilles, de mauvaise foi, d"explications trop

elliptiques, ou même d"erreurs mathématiques grossières. Gardez en tête cet avertissement! Il va égale-

ment de soi que l"oral de l"agrégation est quelque chose qu"on doit préparer de façon personnelle; vous

et moi, nous ne pouvons pas avoir les mêmes goûts, ni les mêmes aptitudes. Ce document ne peut pas

être plus qu"une boîte à idées : un développement, ça se prépare et ça se comprend au tableau. Vous ne

travaillerez pas votre rythme de présentation en lisant une feuille de papier!

Je ne peux absolument pas assumer seul la paternité de ce document, car beaucoup d"idées m"ont été

inspirées par d"autres personnes que je tiens tout particulièrement à remercier :

ceux et celles qui, par le passé, ont mis en ligne leurs développements, ou leurs plans résumés (et

tout particulièrement Arnaud GIRAND, Ophélie ROUBYet Hélène HIVERT);

ceux et celles qui, durant l"année, o ntvu et/ou lu certains de mes développements, et qui m"ont

permis de les corriger et/ou de les enrichir de commentaires, d"idées, ou de questions (et parmi eux, notamment, Arnaud STOCKER, Laura GAY, Maud JOUBAUDet Caroline ROBET);

les enseignants qui ont encadré la préparation à l"ENS Rennes et à l"université Rennes 1 durant

l"année 2014/2015, et qui nous ont posé des questions "classiques".

développements ont été considérablement modifiés entre la référence utilisée et le développement final.

C"est comme ça!

Chaque développement est précédé d"une liste de leçons : celles écrites en droit correspondent à mes

couplages en fin d"année; celles écrites en penché correspondent à d"autres couplages possibles, mais

qui me plaisaient moins (ou à une cruelle présence de mauvaise foi). Bien sûr, je reste ouvert à toute remarque de votre part.Florian LEMONNIER2 Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

Table des matières

1 Développements d"algèbre 5

1.1 Automorphismes deK(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Borne de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Dual deMn(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.5 Ellipse de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.6 Étude de l"anneauZh1+ip19

2 i 16

1.7 Étude du groupe O(p,q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

1.8 Groupes d"isométries du tétraèdre et du cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.9 Irréductibilité des polynômes cyclotomiques surZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

1.10 Polygones réguliers constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.11 Polynômes irréductibles surFq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

1.12 Réduction des endomorphismes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.13 Simplicité deAnpourn>5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

1.14 Sous-groupes distingués et caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.15 Table de caractères deDn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

1.16 Table de caractères deS4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

1.17 Théorème de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.18 Théorème de Frobenius-Zolotarev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.19 Théorème de Kronecker et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.20 Théorème de Molien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.21 Théorème des deux carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48
50

2 Développements d"analyse 52

2.1 Algorithme du gradient à pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2 Densité des fonctions continues nulle part dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.3 Densité des polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.4 Équation de la chaleur sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.5 Estimateur du maximum de vraisemblance pour le paramètre d"une loiU([0,q]). . . . .61

2.6 Étude de vp1x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

2.7 Formule des compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.8 Formule sommatoire de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2.9 Harmonicité et propriété de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.10 Inégalité de Hoeffding et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.11 Intégrale de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

2.12 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.13 Méthode des petits pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.14 Nombre de zéros des solutions d"une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.15 Processus de Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.16 Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

2.17 Théorème de Bernstein (sur les séries entières) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

2.18 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

2.19 Théorème de réarrangement de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.20 Théorème de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

2.21 Théorème de Stampacchia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.22 Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

2.23 Théorèmes d"Abel angulaire et taubérien faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

2.24 Transformée de Fourier-Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 Florian LEMONNIER3

Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

3 Les inclassables105

3.1 Ellipsoïde de John-Loewner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105

3.2 Lemme de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

3.3 Partitions d"un entier en parts fixées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

3.4 SO

3(R)est simple, mais pas seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

3.5 Sous-groupes compacts de GL

n(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

3.6 Surjectivité de l"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

3.7 Théorème des extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

4 Ils sont passés à la trappe! 121

4.1 Développement asymptotique de la série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

4.2 Distributions à support ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

4.3 Inversion de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

4.4 Ruine du joueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

4.5 Théorème de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

4.6 Théorème de Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

4.7 Théorème des événements rares de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

5 Vous serez content d"avoir préparé ça si on vous pose des questions dessus 136

5.1 Anneaux euclidiens, principaux, factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

5.2 Groupe multiplicatif d"un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139 Florian LEMONNIER4

Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

Automorphismes deK(X)

Leçons : 140,141

[X-ENS Al1], exercice 5.54

ThéorèmeSoitKun corps quelconque.

K(X)!K(X)

G7!GaX+bcX+d

Étape 1 :Déterminons les endomorphismes deK-algèbres deK(X). SoitFun endomorphisme deK-algèbres deK(X). PosonsF=F(X).

SoitP=å

k2Np kXk2K[X], on a :F(P) =å k2Np kF(Xk) =å k2Np kFk=PF.

Ainsi, pour tousP2K[X],Q2K[X]nf0getG=PQ

, où, on a :F(G) =F(P)F(Q)=PFQF=GF.

G7!GFestbienunmorphismedeK-algèbres.1

Remarquons que siF=a2K, alorsFFn"est pas bien défini : en effet1Xan"a pas d"image parFF. Ainsi, l"ensemble des endomorphismes deK-algèbres deK(X)est l"ensemble desFF, oùFparcourt

K(X)nK.

Étape 2 :Cherchons à quelle condition surF,FFest un automorphisme.

Supposons queFFsoit un automorphisme.

AlorsFFest surjectif et donc :9G2K(X),FF(G) =GF=X.

SoientF=AB

etG=PQ des représentations irréductibles de ces fractions rationnelles.

On écritP=d

På j=0p jXjetQ=d Qå k=0q kXkoùdPetdQsont les degrés respectifs dePetQ.

On a :GF=X,PF=X(QF)

d På j=0p jFj=Xd Qå k=0q kFk d På j=0p jAjB j=Xd Qå k=0q kAkB k d På j=0p jAjBmj=Xd Qå k=0q kAkBmk, où on a notém=maxdP,dQ.

D" unepart, Aj(p0q0X)Bm.

Aussi, commePetQsont premiers entre eux, on a(p0,q0)6= (0,0). Doncp0q0Xest de degré 0 ou 1, doncAest de degré 0 ou 1.1. Il s"agit de vérifier : -FF(1) =1. -FF(G)est bien défini pour toutG2K(X).

Pour cela, on montre queGF=Bm(PF)B

m(QF), oùF=AB est une écriture irréductible etm=maxfdegP,degQgest

une écriture deGFen fraction de polynômes et que le polynômeBm(QF)n"a qu"un nombre fini de racines.

-FFestK-linéaire. -FF(G1G2)=FF(G1)FF(G2)pour tousG1,G22K(X).Florian LEMONNIER5 Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

D" autrepart, BpdPAdPBmdPqdQXAdQBmdQ.

Si m=dP=dQ, alorsBj(pmqmX)Amet doncBjpmqmXcarBetAmsont premiers entre eux. Orqm6=0 carQest de degrém=dQ, donc degB=0 ou 1. Si m=dQ>dP, alorsBjqmXAmdoncBjqmXdonc degB=0 ou 1.

Si m=dP>dQ, alorsBjpmAmdoncBjpmdonc degB=0.

Toujours est-il que degB=0 ou 1.

Par conséquent, il existe(a,b,c,d)2K4,F=aX+bcX+d. EtFne pouvant évidemment pas être constant, on doit imposeradbc6=0. Étape 3 :Réciproquement, montrons que cette condition nécessaire est suffisante.

Pour(a,b,c,d)2K4vérifiantadbc6=0, on noteFa b

c d le morphisme deK-algèbres défini par : F a b c d (X) =aX+bcX+d.

Montrons que :F:GL

2(K)!EndK-alg.(K(X))

M7!FM1est un morphisme de groupes.

Cela découle de l"égalité :

F a0b0 c 0d00 Fa b c d (X)1 A =aX+bcX+da0X+b0c

0X+d0=aa0X+b0c

0X+d0+bc

a0X+b0c

0X+d0+d=Fa b

c d a0b0 c

0d0(X)

a b c d a0b0 c 0d0 =aa0+bc0ab0+bd0 ca

0+dc0cb0+dd0

Donc8M,N2GL2(K),F(MN) =F(MN)1=FN1M1=FM1FN1=F(M)F(N). On en déduit alors queFMest inversible, d"inverseFM1, pour toutM2GL2(K).

On en déduit finalement que l"ensemble des automorphismes deK-algèbres deK(X)est l"ensemble des

applications de la forme

K(X)!K(X)

[X-ENS Al1] S. FRANCINOU, H. GIANELLAet S. NICOLAS-Oraux X-ENS Algèbre 1, 2eéd., Cassini,

2007.2. Le 2

ndthéorème d"isomorphisme peut même nous donner un résultat supplémentaire. On a montré au cours de la démonstration que Im(F) =AutK-alg.(K(X)).

De plus

F a,b,c,d(X) =X,aX+b=cX2+dX,b=c=0 eta=d

Donc Ker(F) =lI2l2K.

Et on en déduit donc :

Aut

K-alg.(K(X))'GL

2(K)/Ker(F)=GL

2(K)/flI2jl2Kg=PGL2(K)Florian LEMONNIER6

Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

Borne de Bézout

3

Leçons : 143, 180

4,142,144

Merci Arnaud!

5

ThéorèmeSoientA,B2K[X,Y]de degrés totaux respectifsmetn; on suppose queAetBsont premiers entre

eux et queKest de cardinal infini6. On noteV(A) =(x,y)2K2A(x,y) =0etV(B) =(x,y)2K2B(x,y) =0.

Alors on a : #(V(A)\V(B))6mn.Démonstration:

Évidemment, on supposeV(A)\V(B)6=?, car sinon, il n"y a rien à montrer. Étape 1 :Soit(x,y)2V(A)\V(B); on noteRY:=ResY(A,B), et on aRY(x) =0. CommeA^B=1, on sait queRY2K[X]nf0get doncRYadmet au plus degRYracines. Ainsi, pour un point deV(A)\V(B), il y a au plus degRYabscisses possibles, et similairement, au plus degRXordonnées possibles.7

Dès lors, #(V(A)\V(B))6degRXdegRY<¥.

Étape 2 :Obtenons désormais une borne sur degRY.

On noteA(X,Y) =p

k=0a k(X)YketB(X,Y) =q k=0b k(X)Yk, avec degak6mk, degbk6nk,ap6=0 etbq6=0.

Par conséquent,RY=det(SylY(A,B))=a

p... ... ...a009 qlignes. .....0ap... ... ...a0b q... ...b09 >>>;plignes. .....00 ......b q... ...b0.

Notons Syl

Y(A,B) =ci,j

16i,j6p+q.

Soiti2[[1,q]], on a : degci,j=degap(ji)sii6j6p+i

¥sinon6mp+ji.

Soiti2[[q+1,q+p]], on a : degci,j=degbq(j(iq))siiq6j6i

¥sinon6ni+j.83. Je sais : vous vous posez très probablement la même question que moi. Et je vous propose de clore ici immédiatement le

débat sur l"accent du 'e" du nom de famille d"Étienne machin (1730-1783). Si on se réfère à une thèse de Liliane ALFONSI, qui a

écritÉtienne Bézout, mathématicien des Lumièresen 2011, l"accent apparaît ou non selon les documents, mais il est mis systémati-

quement à partir d"une certaine date (1765 pour les manuscrits, 1770 pour les imprimés) par Bézout lui-même. En conséquence,

respectons son choix de mettre un accent; même si l"académie de Créteil le lui a retiré en donnant le nom d"Étienne Bezout à

un lycée de Nemours, en Seine-et-Marne.

4. Dans la 180, je prends un des deux polynômes de degré total égal à 2. Okay, c"est moche, mais qui veut faire les coniques

devant le jury?

5. Un lien vers la page personnelle d"Arnaud STOCKER. On trouvera néanmoins une piste de démonstration au théorème

10.111 de A. SZPIRGLAS-Algèbre pour la L3, Pearson Éducation, 2009.

6. Cette hypothèse est dispensable : siKest de cardinal fini, alorsKs"injecte dans sa clôture algébriqueKqui est de cardinal

infini. Alors les courbes algébriques définies parAetBsurK

2s"intersectent en au plusmnpoints deK

2. En conséquence, les

courbes algébriques définies parAetBsurK2s"intersectent en au plusmnpoints deK2.

7. Vous l"aurez compris,RX=ResX(A,B)2K[Y]nf0g.

8. C"est LE passage difficile du développement, parce qu"il faut être capable d"expliquer ceci clairement au tableau. Quand

i2[[1,q]], on remarque queci,i=ap, puis, quand 06ji6p, passer deci,iàci,jrevient à faire(ji)pas vers la droite, donc

à passer deapàap(ji). Quandi2[[q+1,q+p]], on opère similairement :ci,iq=bq, puis, en décalant de(j(iq))cases

vers la droite, où 06j(iq)6q, on obtientci,j=bq(j(iq)).Florian LEMONNIER7 Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

Par la formule du déterminant en fonction des coefficients de la matrice :RY=å s2Sp+q#(s)p+q i=1c i,s(i) |{z} =:Fs.

Et pour touts2Sp+q, on a :

degFs=p+q i=1degci,s(i)6q i=1mp+s(i)i+q+p i=q+1ni+s(i) =9mqpq+np=mn+ (mp)(qn)|{z} 60
6mn.

En conséquence, degRY6mn.

Similairement, degRX6mnet donc #(V(A)\V(B))6(mn)2. Étape 3 :On numérote alors les éléments deV(A)\V(B):V(A)\V(B) =f(xi,yi)ji2[[1,r]]g.

SoitE:=(xixjy

jyi yi6=yj,i,j2[[1,r]]) , alors #E<¥=#K. Donc9u2KnEet ensuite8i,j2[[1,r]],xixj6=uyjyi,xi+uyi6=xj+uyj. On effectue alors le changement de variables :X0=X+uY Y

0=Yet on poseeA(X0,Y0) =A(X,Y)

eB(X0,Y0) =B(X,Y).

Soit alorsF:

V(A)\V(B)! Rac

Res

Y0eA,eB

(x,y)7!x+uy. -Fest bien définie : (x,y)2V(A)\V(B))A(x,y) =B(x,y) =0)eA(x+uy,y) =eB(x+uy,y) =0 )ResY0eA(x+uy,Y0),eB(x+uy,Y0) =0) Res

Y0eA,eB

(x+uy) =0 -Fest injective : Si(x,y)et(x0,y0)2V(A)\V(B)sont distincts, alorsu/2 Eimposex+uy6=x0+uy0.

D"où : #(V(A)\V(B))6#Rac

Resquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48