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Fonctions sinus et cosinus Les points M et M' sont symétriques par rapport à l' axe des ordonnées cos(π−x)=−cosx et sin(π−x)=−sin x c) Angles dont la 

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Fonctions sinus et cosinus.

1. Rappels de trigonométrie................................P2

2. Variations et représentations graphiques des

fonctions sinus et cosinus....................................p8

3. Compléments...................................................p10

Fonctions sinus et cosinus.

1. Rappels de trigonométrie

1.1. Définitions

c est un cercle trigonométrique. ⃗OI=⃗iEt⃗OJ=⃗j. (O;⃗i,⃗j)est un repère orthonormé direct du plan. xest un nombre réel quelconque.

On considère le point L tel que

⃗IL=x⃗j(L appartient à la droite passant par I et de vecteur directeur⃗j, cette droite est tangente en I au cercle c).

M est le point de C qui vient en coïncidence avec L lorsque l'on enroule la droite précédente sur le cercle c

donc xest une mesure en radians de l'angle(⃗i;⃗OM)Le cosinus du nombre réelxque l'on note cosxest l'abscisse du point M dans le repère(O;⃗i,⃗j)(ou l'abscisse du point H dans le repère(O;⃗i)de la droite (OI).

Le sinus du nombre réelxque l'on note

cosxest l'ordonnée du point M dans le repère (O;⃗i,⃗j)(ou l'abscisse du point H dans le repère(O;⃗j)de la droite (OJ).

On a donc :

M(cosx;sinx)

⃗OH=(cosx)⃗i

K(0;sinx)⃗OK=(sinx)⃗j

1.2. Valeurs remarquables

Fonctions sinus et cosinus.

1.3. Propriétés

Pour tout nombre réel x, on a :

-1⩽cosx⩽1 -1⩽sinx⩽1

1.4. Angles associés

a) Angles opposés (⃗i;⃗OM)=x+2kπet (⃗i;⃗OM')=-x+2kπ. Les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. cos(-x)=cosxetsin(-x)=-sinx b) Angles supplémentaires

Les angles

(⃗i;⃗OM)et (⃗i;⃗OM')sont supplémentaires si et seulement si leur somme est égale à l'angle plat.

Si(

Fonctions sinus et cosinus.

Les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. cos(π-x)=-cosxetsin(π-x)=-sinx c) Angles dont la différence est l'angle plat Les points M et M' sont symétriques par rapport à O. cos(π+x)=-cosxetsin(π+x)=-sinx d) Angles complémentaires

Les angles(

⃗i;⃗OM)et (⃗i;⃗OM')sont complémentaires si et seulement si leur somme est égale à l'angle droit

positif. Si(

2-x+2kπ.

Les angles(

⃗i;⃗OM)et(⃗OM';⃗j)sont égaux et OK'=OH et OH'=OK. cos

2-x)=sinxetsin(π

2-x)=cosx

Fonctions sinus et cosinus.

e) Angles dont la différence est l'angle droit positif

2+x+2kπ.

Les angles(

⃗i;⃗OM)et(⃗j;⃗OM')sont égaux et OK'=OH et OH'=OK. cos

2+x)=-sinxetsin(π

2+x)=cosx

1.5. Équations : cosx=cosa et sinx=sina

a) Remarque

Pour tout nombre réelx, on a : -1⩽cosx⩽1et-1⩽sinx⩽1donc l'ensemble des solutions de l'équation

cosx=ketsinx=kavec kstrictement supérieur à 1 ou strictement inférieur à -1 est l'ensemble vide. b) cos x=cos a

Nous avons vu que le fonction cosinus est continue (et dérivable) sur ℝ donc le théorème des valeurs

intermédiaires nous permet de conclure que si k∈[-1;1]alors il existea∈ℝtel que cos a=k.

On obtient une valeur exacte de

alorsquekest une valeur remarquable (ou son opposé) pour cosinus. On considère alors un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct (O;⃗i,⃗j) ⃗i=⃗OI ⃗i=⃗OJ

Fonctions sinus et cosinus.

On place le point H(cos a;0), puis on trace la perpendiculaire à (OI) en H. Cette droite coupe le cercle en deux

points distincts (lorsquecosa≠1etcosa≠-1) que l'on note M et M'.

Sur le dessin, on suppose que a est une mesure de

(⃗i;⃗OM). Dans ce cas,-aest une mesure de(⃗i;⃗OM'). Si aétait une mesure de(⃗i;⃗OM')alors-aserait une mesure de(⃗i;⃗OM).

Conclusion :

cosx=cosaÛ {x=a+2kπ x=-a+2kπ

Exemple :

Résoudre dans ℝ l'équationcosx=1

2.

On sait que cosπ

3=1 2. cosx=1

2Û{x=π

3+2kπ

x=-π

3+2kπCas particuliers :

On considère alors un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct

(O;⃗i,⃗j) ⃗i=⃗OI ⃗i=⃗OJOn place le point K(0;sin a), puis on trace la perpendiculaire à (OJ) en K. Cette droite coupe le cercle en deux

points distincts (lorsquesina≠1etsina≠-1) que l'on note M et M'.

Sur le dessin, on suppose que a est une mesure de

(⃗i;⃗OM). Dans ce cas,π-aest une mesure de(⃗i;⃗OM').

Siaétait une mesure de

(⃗i;⃗OM')alorsπ-aserait une mesure de(⃗i;⃗OM).

Fonctions sinus et cosinus.

Conclusion :

sinx=sinaÛ{x=a+2kπ x=π-a+2kπ

Exemple :

Résoudre dans ℝ l'équationsinx=-

2.

On sait que

sinπ

2doncsin(-π

2

2Û{x=-π

4+2kπ

x=π+π

4+2kπÛ{x=-π

4+2kπ

x=5π

4+2kπ

Cas particuliers :

sinx=1=sinπ

2Ûx=π

2)Ûx=-π

1.7. Formules d'addition

aetbsont deux nombres réels. cos(a-b)=cosacosb+sinasinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

Fonctions sinus et cosinus.

1.8. Formules de duplicationaun nombre réel.

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a2. Variations et représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

2.1. Fonctions périodiques

a) Définition

T est un réel strictement positif fixé.

fest une fonction définie sur D.

On dit que

fest une fonction périodique de période T si et seulement si pour tout x∈D, on a (x-T)∈Det (x+T)∈Det f(x+T)=f(x). b) On peut vérifier que pour tout

c) La représentation graphique d'une fonction périodique d'une fonction périodique de période T est

globalement invariante par les translations de vecteurs directeurs

Concrètement, si on obtient la courbe sur [O;T], on translate le " motif » sur [T;2T] puis sur [2T;3T]... et sur

[-T;0] puis [-2T;-T] ; ....

2.2. Propriétés des fonctions sinus et cosinus

a) sin : ℝ ® ℝ x sinxsin est définie, continue et dérivable sur ℝ.

Pour tout

xréel, sin(x+2π)=sinxdonc sin est périodique de période 2 p .

Pour tout xréel,

sin(-x)=-sinxdonc sin est une fonction impaire.

Pour tout xréel,

sin'(x)=cosxb) cos : ℝ ® ℝ x cosxcos est définie, continue et dérivable sur ℝ. Pour tout xréel, cos(x+2π)=cosxdonc cos est périodique de période 2 p .

Pour tout

xréel, cos(-x)=cosxdonc sin est une fonction paire.

Pour tout

xréel, cos'(x)=-sinx

Fonctions sinus et cosinus.

2.3. Tableaux de variations de sin et cos sur [0;2p]

a)

On a aussisinπ=0.

b)

On a aussi cosπ

2=cos3π

2=0.

2.4. Représentations graphiques

a) Sinus sur [0;2π]Sinus sur ℝ On complète la courbe en effectuant les translations précédentes.

Fonctions sinus et cosinus.

Remarques :

La courbe représentative de sin sur ℝ se nomme sinusoïde. sin est une fonction impaire donc l'origine est un centre de symétrie de la courbe. On peut vérifier que la droite d'équation y=xest tangente à la courbe à l'origine. b) Cosinus sur[0;2π]

Cosinus sur ℝ

On complète la courbe en effectuant les translations précédentes.

Remarques :

Pour tout nombre réelx, on acosx=sin(π

2-x)et la courbe représentative de cos est aussi une sinusoïde.

cos est une fonction paire donc l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe.

3. Compléments

3.1. Inéquations trigonométriques

a) Résoudre dans ℝ : cosx⩾-2Pour tout nombre réelx, on a : -1⩽cosx⩽1donc s=ℝ. b) Résoudre dans ℝ : sinx⩽-3 2 -3

2<-1donc s=AE.

c) Résoudre dans ℝ :

2On considère un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct

(O;⃗i,⃗j) ⃗i=⃗OI ⃗i=⃗OJ

Fonctions sinus et cosinus.

2⃗i.

On noteM1etM2les points d'intersection de la perpendiculaire à l'axe des abscisses et du cercle

trigonométrique. (⃗i;⃗OM1)=x1+2kπ( ⃗i;⃗OM2)=x2+2kπ cosx1=cosx2= 2 Soit M un point du cercle trigonométrique et H son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26