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Inégalités – Valeur absolue Année scolaire 2006/2007 Table des matières 1 Intervalles de R 2 2 Comparaison de deux réels 3 2 1 Différentes méthodes de

Définition 2 2 Valeur absolue Proposition 2 4 Propriétés de la valeur absolue montrer qu'une égalité est toujours vraie tandis que dans le second cas,

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– Par exemple, 5 et −5 sont tous deux `a une distance 5 de zéro • Cela dit, voici une définition: – La valeur absolue d'un nombre réel x est le nombre qui donne la

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On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : −3x + 4 = 0 soit x = 4 3 −5 + x = 0 soit x = 5 On remplit un tableau de forme : x −∞ 4 3 5

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Valeur absolue Paul Milan 5 3 Intervalles définis par une valeur absolue Règle 4 L'égalité a = b est équivalente à : a = b ou a = −b ::::::::::: Remarque

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Définition 2 : On appelle valeur absolue d'un réel x la distance (ou l'écart) entre 0 et x On procède de même pour prouver l'égalité min(a, b) = a b + 2 − b a

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3 Valeur absolue 7 3 1 Distanceentredeuxréels 4 Encadrements et valeurs approchées 12 Il existe deux points M1 et M2 vérifiant cette égalité, ils ont

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I Expression de la valeur absolue d'un réel suivant son signe On utilise le signe d'égalité avec trois petits points qui signifient que toutes les décimales sont

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Inégalités - Valeur absolue

Année scolaire 2006/2007Table des matières

1 Intervalles deR2

2 Comparaison de deux réels.3

2.1 Différentes méthodes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.2 Inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

2.3 Application sens de variation et extremum d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3 Valeur absolue - Distance - Applications6

3.1 Distance entre deux réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.2 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.3 Équations et inéquations comportant une valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Table des figures

1 Exemple 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Exemple 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

3 Exemple 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

4 Fonction croissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

5 Fonction décroissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

6 Résolution graphique de|x-a|=r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

8 Résolution graphique de|x-a|< r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

9 Résolution graphique de|x-a| ≥r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Liste des tableaux

1 Différents types d"intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1 INTERVALLES DER1 Intervalles deRExemples :

1.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure1tous les nombres réelsxtels que

2.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure2tous les nombres réelsxtels que

-1< x <3.Fig.2 - Exemple 2Cet ensemble est noté]-1; 3[.

3.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure3tous les nombres réelsxtels quex≥ -1.Fig.3 - Exemple 3Cet ensemble est noté[-1; +∞[.

Remarque :"+∞» se lit " plus l"infini ».

Plus généralement, les différents types d"intervallessont donnés dans le tableau1(oùaetbreprésentent deux

réels, aveca < b).Remarques :

1.L"ensemble des nombres réelsRest l"intervalle]-∞; +∞[.2.Un intervalle est une partie deR" sans trou », en " un seul morceau ».3.+∞et-∞ne sont pas des nombres. Ce ne sont que des notations (ce qui explique qu"ils soient

toujours exclus).4.Les intervalles correspondants aux quatre premières lignes du tableau sont ditsbornés.

Module :Module 5 page 581[Modulo]

Exercices :37, 39, 40, 41, 42 page 642[Modulo]

Intersection et réunion d"intervalles.

2Définition d"un intervalle.2

2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS.

Ensemble desxvérifiantReprésentationIntervalle

2.1 Différentes méthodes de comparaisonActivité :Activité 1 (fp)3

Méthode 1 :Utilisation de la calculatrice

Pour comparer deux nombres, il peut parfois suffire de trouver une valeur approchée à la calculatrice.

Attention cependant, ceci ne permet en aucun cas de montrer que des nombres sont égaux ou opposés.Exemples :

1.A la calculatrice :

289
?3,11etπ?3,14donc289 < π.2.A la calculatrice, ?7-4⎷3?0,267949et⎷3-2? -0.267949mais ceci estinsuffisantpour conclure que ces nombres sont opposés. Pour cela, il faut d"abord calculer leurs carrés :??7-4⎷3

2= 7-4⎷3et?⎷3-2?2=?⎷3

?2-2×2⎷3 + 4 = 3-4⎷3 + 4 = 7-4⎷3.

Les carrés sont égaux donc les nombres sontégaux ou opposés. De plus,?7-4⎷3>0et⎷3-2<0. Ces

deux nombres sont donc opposés.Méthode 2 :Comparaison de fractions

Pour comparer deux fractions, il suffit de les mettre sous le même dénominateur et de comparer les

numérateurs.Exemple :Comparaison de 712
et813 712
=7×1312×13=91156 et813 =8×1213×12=96156 donc712 <813 .Méthode 3 :Méthode de la différence Exemple :ndésigne un entier naturel. On veut comparer(n+ 1)2etn2+ 1. (n+ 1)2-?n2+ 1?=n2+ 2n+ 1-n2-1 = 2n≥0carn≥0.

Par suite,(n+ 1)2≥n2+ 1.Remarque :Cette dernière méthode est surtout utile pour comparer des expressions données sous forme

littérale.3

Comparaison de nombres.3

2.2 Inégalités 2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS.

Exercices :2, 3, 5, 6 page 624- 81, 82 page 695[Modulo]

Exercices :20, 22, 23 page 636[Modulo]

Application :On peut utiliser ces règles pour résoudre des inéquations " simples »

4x-5<5x-1

4x-5+5<5x-1+5(régle 1)

4x <5x+ 4

4x-5x<5x+ 4-5x(régle 1)

-x <4 -x-1>4 -1(régle 3) x >-4 On a donc ici :S= ]-4; +∞[Exercices :57, 59, 60, 62 page 1537- 47, 48, 49 page 658[Modulo] Les résultats suivants sontprovisoirementadmis :Propriété 1 :

Propriété 2 :

≥1b .Le passage à l"inverse change l"ordre pour des nombres strictement positifs. ≥1b .Le passage à l"inverse change l"ordre pour des nombres strictement négatifs.

Remarque :Ces deux propriétés ne sont pas valables si les nombresaetbsont de signes contraires! Par

exemple :-3<4et-13 <4.Propriété 3 : 4

Ranger des nombres avec ou sans calculatrice.

5Plus difficiles.

6Inégalités par reconstruction.

7Premières inéquations.

8Lien avec les réunions et intersections d"intervalles.4

2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS. 2.3 Application sens de variation et extremum d"une fonction

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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