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Examen 1 3 Exercice 6 Dans Rd, soit un nombre fini quelconque n ⩾ 1 de sous -ensembles mesurables A1,A2, ,An pour 1 ⩽ k ⩽ m, illustrer son comportement pour m = 1,2,3,4, de classe C 1 sur ]0,1[ et dont le support : supp ϕ def Or pour faire voir que x ↦− → xf(x) est L1 sur [0,∞[, un bon Coup de Fatou là où il

ment dans les cours de finance mais également des exercices portant sur des théories récentes ici en identifier deux : un titre contingent « bonne conjoncture » (noté B), qui donne droit à 1 portefeuille qui réplique exactement le comportement de l'option en combinant l'ac- effectuer le classement de plusieurs projets

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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

[Inégalité de Tchebychev]Soitf:Rd!R+une fonction intégrable à valeurs positives qui est Lebesgue-intégrable. Pour >0, on pose : E :=x2Rd:f(x)> :

Montrer que (figure-bonus possible) :

m E61 Z f:

Exercice 2.

En dimensiond>1, soit une fonction mesurablef:Rd!R+à valeurs positives finies. (a)Rappeler la définition initiale de la mesurabilité d"une fonction, puis des caractérisa- tions équivalentes. (b)Montrer que, pour tout entierk2Z, les sous-ensembles : E k:=x2Rd: 2k1< f(x)62k sont mesurables dansRd. (c)Montrer que l"on a la réunion disjointe (figure-bonus possible) : 1[ k=1E k=x2Rd:f(x)>0: (d)Pour tout entiern2N, on introduit la fonction étagée : F n:=k=+nX k=n2 k1Ek; ainsi queF:=limn!1Fn. Montrer que l"on a en tout point : 1 2

F6f6F:

(e)Montrer que la fonction d"originefest Lebesgue-intégrable si et seulement siP1 k=12km(Ek)<1. 1

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

(f)Aveca;b2R, on introduit les deux fonctions : f(x) :=8 :1 jxjapour00autrement;etg(x) :=8 :1 jxjbpourjxj>1;

0autrement:

En utilisant(e), montrer quefest Lebesgue-intégrable surRdexactement lorsquea < d, et aussi, montrer quegest Lebesgue-intégrable surRdexactement lorsqueb > d.

Exercice 3.

Sur un segment compact[a;b]bR, soitf: [a;b]!Rune fonction réelle quelconque, pas forcément bornée. Montrer qu"on peut néanmoins définir sans modifica- tion la notion de Riemann-intégrabilité def, mais montrer alors que si, pour tout" >0, il existe une subdivisionde[a;b]telle que la différence entre les sommes de Darboux supérieure et inférieure defsatisfait(f)(f)6", alors ceci implique en fait que fest nécessairement bornée.

Exercice4.

SoientE1;E2;E3; :::Rduneinfinité dénombrable d"ensemblesmesurables emboîtés de manière décroissante les uns dans les autres : E kEk+1(k>1):

On suppose que pour un certain entierk0>1, on a :

mEk0<1:

En utilisant un théorème fondamental énoncé avec soin concernant les réunions dénom-

brables disjointes d"ensembles mesurables, montrer que (figure-bonus possible) : m 1\ k=1E k =limK!1mEK; puis trouver un exemple simple faisant voir que cette conclusion peut être mise en défaut sans l"existence dek0tel quem(Ek0)<1.

Exercice 5.

Le but de cet exercice est de montrer que recouvrir les sous-ensemblesERd par un nombrefinide cubes ne suffit pas à produire un concept réellement satisfaisant de mesure extérieurem(E). On se restreint ici à la dimensiond= 1. En effet, la mesure extérieure de Jordan mJ(E)peut être définie par : m

J(E) =infJX

j=1 Ij; où l"infimum est pris sur les recouvrementsfinis : EJ[ j=1I j; par des intervalles fermésIj. (a)Montrer quemJ(E) =mJ E pour tout sous-ensembleER. (b)Trouver un sous-ensemble dénombrableE[0;1]tel quemJ(E) = 1, tandis que sa mesure extérieure de Lebesgue vautm(E) = 0.

1.Examen 13

Exercice 6.

DansRd, soit un nombre fini quelconquen>1de sous-ensembles mesurables A

1;A2;:::;AnRdde mesures finies :

m(A1)<1; m(A2)<1; ::::::; m(An)<1:

Montrer que (figure-bonus possible) :

m A

1[A2[ [An

16k6n(1)k1X

16i1 A i1\Ai2\ \Aik
Exercice 7.
Soitmla mesure de Lebesgue surRet soit" >0arbitrairement petit.
Construire un ouvert

Rdense dansRtel quem(
)6".
Exercice 8.
Soitf2C0c(Rd;R)une fonction réelle continue à support compact. Montrer que :
0 =limh!0Z
R df(xh)f(x)dx:
Indication:
Sisupp(f)B(0;R)pour un rayonR1assez grand, se limiter àh2Rdavec jhj<1et se ramener àR
B(0;R+1).

Exercice 9.
Trouver une suite de fonctions en escalierfn: [0;1]!R+satisfaisant :
0 =limn!1Z
1 0 f n(x)dx; mais telle que, entoutpointx2[0;1], la suite numérique :fn(x)1 n=1 soit bornée et ne converge vers aucune valeur réelle.
Indication:

Utiliser la suite double
F k;m(x) :=1[k1 m ;k m ]pour16k6m, illustrer son comportement pourm= 1;2;3;4,
décrire en mots les idées qui viennent à l"esprit, et enfin, rédiger en détail une démonstra-
tion rigoureuse.
4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

2.Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.
Commef:Rd!R+est Lebesgue-intégrable, pour tout réel >0, l"en- semble de sur-niveau : E :=x2Rd:f(x)> est mesurable dansRd. De plus, l"inégalité entre fonctions : f(x)>1E(x)(8x2Rd); est claire lorsquex62Ecarf(x)>0 =0par hypothèse, et vraie aussi lorsquex2E, carf(x)> =1, donc elle est satisfaite partout. Par intégration de cette inégalité, nous obtenons instantanément :Z R df>mE; ce qui donne bienm(E)61 R R df. R R df E E E m(E) Géométriquement, l"hypographe def:(x;y)2RdR+: 06y6f(x); dont la mesure(d+ 1)-dimensionnelle vautR R dfd"après un théorème du cours, est "coupé» à hauteur >0, et sur le sous-ensembleERdoùf > , on ne retient que la valeur-type, ce qui correspond à restreindre la considération au " pseudo-rectangle» de hauteuret de "base»E, lequel est entièrement contenu dans l"hypographe def au-dessus deE:(x;y):x2E;06y6(x;y):x2E;06y6f(x);
et par intégration "visuelle», on trouve bien que l"aire de ce pseudo-rectangle est inférieure

à l"aire intégrale totale :
mE6Z R df:
2.Corrigé de l"examen 15

Exercice 2.
(a)Une fonctionf:E! f1g [R[ f1gdéfinie sur un sous-ensemble mesurableERdest dite mesurablesi, pour touta2R, son ensemble de sous-niveau : f
1[1; a[=x2E:f(x)< a;
est un sous-ensemblemesurabledeRd. Dans le cours, on a obtenu les caractérisations
équivalentes suivantes :
pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)6a est mesurable; pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)>a est mesurable; pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)> a est mesurable; pour tout couple de nombres réels finis :
1< a < b <+1;
les ensembles-tranches : a < f < b sont mesurables; plus généralement, il en va de même en remplaçantfa < f < bgpar l"un des trois ensembles :a6f < b;a < f6b;a6f6b: (b)On en déduit que pour toutk2Z, les ensemblesEk:=fx2Rd: 2k1< f(x)6 2 kgsont mesurables dansRd. (c)Pour toutk2Z, l"ensembleEk=fx2Rd: 2k1< f(x)62kgest contenu dans l"ensemble : E :=x2Rd:f(x)>0; donc : k2ZE kE: Pour l"inclusion opposée, soitx2Equelconque. Commef(x)>0, et comme la réunion d"intervalles enchaînés :a k2Z
2k1;2k= ]0;1[
est disjointe, il existe un unique entierkx2Ztel que : 2 kx1< f(x)62kx; ce qui signifiex2Ekx, et donne bien :[ k2ZE kE:
6FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud
(d)Soitx2Rdquelconque fixé. Sif(x) = 0, alors pour toutn2N, puisquex62Ekquel que soitk2Z, on a : F n(x) =X jkj6n2 k1Ek(x) = 0; puis en faisantn! 1:
F(x) = 0 =f(x);
d"où trivialement 1 2
F(x)6f(x)6F(x), car1
2
06060, c"est très vrai, mon bébé!
Si maintenantf(x)>0, il existe un uniquekx2Ztel quex2Ekx, d"où pour tout n>jkxj: F n(x) = 2kx; puis en faisantn! 1:
F(x) = 2kx:

Comme par définition dekxon a :
1 2
F(x) = 2kx1< f(x)62kx=F(x);
en relaxant la " strictitude» de l"inégalité à gauche, nous obtenons bien1 2
F(x)6f(x)6
F(x). (e)Commef:Rd!R+est mesurable à valeurs positives finies,fest Lebesgue- intégrable (par définition!) si et seulement siR R df <1. Or une intégration de l"enca- drement defparFobtenu à l"instant dans la question précédente donne : 1 2 Z R dF6Z R df6Z R dF; doncfest Lebesgue-intégrable surRdsi et seulement siFl"est. Maintenant, il est temps d"observer que la suite(Fn)1n=1de fonctions positives est crois- sante : F n+1(x)Fn(x) = 2(n+1)1En1(x) + 2n+11En+1(x)>0; ce qui permet d"appliquer le théorème de convergence monotone pour obtenir :Z R dF=Z R d limn!1Fn =limn!1Z R dFn =limn!1Z R d X jkj6n2 k1Ek =limn!1X jkj6n2 kmEk X k2Z2 kmEk
2R+[ f1g;
et donc on a bien : Z R df <1 ()Z R dF <1 ()X k2Z2 kmEk:
2.Corrigé de l"examen 17
(f)Avec un exposanta2R, la fonction : f a(x) :=(jxjalorsque00ailleurs;

est mesurable à valeurs>0. Puisque dans la boule unité ferméefjxj61g, on ajxjc61pour tout exposant réel c>0, la fonctionfaest toujours intégrable lorsquea60. Supposons donca >0, et, en application de ce qui précède, regardons, pour toutk2Z, les ensembles : E k=x2Rd: 2k1< fa(x)62k x2Rd: 06jxj<1 2 k1 a qui s"avèrent ainsi visuellement être une collection infinie d"anneaux (en dimensiond= 2), ou de coquilles sphériques (en dimensiond= 3), emboîtés. Or lorsquek60, on voit queEk=;, et donc seuls lesEkaveck>1interviennent. Maintenant, grâce à la question(e),fest Lebesgue-intégrable si et seulement si : 1X k=12 kmEk<1: Mais chacune de ces coquillesd-dimensionnellesEkaveck>1apparaît manifestement comme étant la dilatée du facteur 1 2 k a de la coquille de référence : C a:=x2Rd: 16jxj<1 2 1 a évidemment de mesure strictement positive finie0< m(Ca)<1, et donc d"après la propriété naturelle de dilatation de la mesure de Lebesgue : mF=dm(F)(>0; FRdmesurable); on obtient ici : mEk=1 2 k a d mCa; d"où enfin, en reconnaissant une série géométrique sérendipitrice : 1 X k=12 kmEk=mCa1X k=12 k(1d a )=8 :1lorsquea>d; m(Ca)2(1d a 12(1d a )lorsque0< a < d; ce qui montre quefaest intégrable si et seulement sia < d. Passons maintenant au cas fort similaire! de la fonction : gquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

Montrer que (figure-bonus possible) :

Exercice 2.

F6f6F:

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

0autrement:

Exercice 3.

Exercice4.

On suppose que pour un certain entierk0>1, on a :

Exercice 5.

J(E) =infJX

1.Examen 13

Exercice 6.

1;A2;:::;AnRdde mesures finies :

Montrer que (figure-bonus possible) :

1[A2[ [An

16k6n(1)k1X

Exercice 7.

Construire un ouvert

Rdense dansRtel quem(

Exercice 8.

0 =limh!0Z

Indication:

B(0;R+1).

Exercice 9.

0 =limn!1Z

Indication:

Utiliser la suite double

4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

2.Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.

à l"aire intégrale totale :

2.Corrigé de l"examen 15

Exercice 2.

1[1; a[=x2E:f(x)< a;

équivalentes suivantes :

1< a < b <+1;

2k1;2k= ]0;1[

6FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

F(x) = 0 =f(x);

F(x)6f(x)6F(x), car1

06060, c"est très vrai, mon bébé!

F(x) = 2kx:

Comme par définition dekxon a :

F(x) = 2kx1< f(x)62kx=F(x);

F(x)6f(x)6

2R+[ f1g;

2.Corrigé de l"examen 17