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Initiation à lalgorithmique - ENIB
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Master BioInformatiqueAnn
ee :2013/2014Semestre de decembre 2013PARCOURS :Master 1
UE J1BS7202 :Algorithmique et Programmation
Epreuve :Examen
Date :Jeudi 19 decembre 2013
Heure :9 heures
Duree :2 heures
Documents : autorises
Epreuve de M. AlainGriffaultSUJET + CORRIGE
Avertissement
La plupart des questions son tind ependantes.
A chaque question, vous pouvez au choix
repondre par un algorithme ou bien par un programme python.Les inden tationsdes f onctions ecritesen Python
doivent ^etre respectees. L'espace laiss ep ourles r eponsesest susan t(sauf si vous utilisez ces feuilles comme brouillon, ce qui est fortement deconseille).QuestionPointsScoreMise en bouche7
Algorithmes de rang14
Liste doublement chainee9
Total:30
Exercice 1 : Mise en bouche (7 points)
(a) (1 p oint)Deux nom bresson topp osessi le ursom meest egale a0. Deux nombres sont inverses si leur produit est egal a1.Ecrire un algorithmesontInvOuOpp(a,b)ouaetbsont deux nombres, qui retourneVraisiaetbsont inverses ou opposes,Fauxsinon.Solution:Deux solutions parmi d'autres.
defsontInvOuOpp(a ,b): returna+b==0orab==1Algorithme 1:SontInvOuOpp(a,b)Donnees:Deux nom bresa et b retourner(a+b=0) OU (a*b=1);(b)(2 p oints) Ecrire un algorithmeexisteInvOuOppConsecutifs(T)ouTest un tableau de nombres, qui retourneVraisiTcontient deux nombresconsecutifsopposes ou inverses,Fauxsinon.Solution:Deux solutions parmi d'autres.
defexisteInvOuOppConsecutifs (T): foriinrange ( len (T)1): ifsontInvOuOpp(T[ i ] ,T[ i +1]): returnTrue returnFalseAlgorithme 2:ExisteInvOuOppConsecutifs(T)Donnees:Un tabl eauT de n ombres pouri=0alen(T)-2fairesisontInvOuOpp(T[i],T[i+1])alorsretournerTrue;retournerFalse;(c)(2 p oints) Ecrire un algorithmeexisteInvOuOpp(T)ouTest un tableau de nombres, qui retourne VraisiTcontient deux nombres,ayant des indices dierents, opposes ou inverses,Fauxsinon. UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013Solution:Deux solutions parmi d'autres.
defexisteInvOuOpp(T): foriinrange ( len (T)1): forjinrange ( i +1,len (T)): ifsontInvOuOpp(T[ i ] ,T[ j ] ) : returnTrue returnFalseAlgorithme 3:ExisteInvOuOpp(T)Donnees:Un tableau T de nom brespouri=0alen(T)-2fairepourj=i+1alen(T)-1fairesisontInvOuOpp(T[i],T[j])alorsretournerTrue;retournerFalse;(d)(2 p oints)
Ecrire un algorithmenbInvOuOpp(T)ouTest un tableau de nombres, qui retourne le nombre de paires d'indices(i,j)telles que : d'une partipouri=0alen(T)-2fairepourj=i+1alen(T)-1fairesisontInvOuOpp(T[i],T[j])alorsnb nb+1;retournernb;Exercice 2 : Algorithmes de rang (14 points)
Le probleme de la selection consiste a trouver dans un tableau de nombres l'element dit de rangi. Pour cet exercice, du fait que les indices d'un tableauTsont compris entre0etlongueur(T)-1, nous admettrons que l'element de rang0est le plus petit element du tableau, et que l'element de rang longueur(T)-1est le plus grand.Exemple :SoitT= [8;6;53;8;2;9;3;10], alors :
Les elementsde rang <0sont indenis.
L' elementde rang 0est 2.
L' elementde rang 1est 3.
L' elementde rang 2est 6.
L' elementde rang 3est 8.
L' elementde rang 4est 8.
L' elementde rang 5est 9.
L' elementde rang 6est 10.
L' elementde rang 7est 53.
Les elementsde rang >7sont indenis.
Page 2 sur 10
UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013 Remarque 1 :Une solution simple au probleme de la selection consiste a utiliser un algorithmequelconque de tri, puis de retourner l'element de rang souhaite.Algorithme 5:Rang(T,rang)Donnees:Un tabl eauT de n ombres,et rang un en tier
Resultat:Si rang est un indice, alors T[rang] apr esa voirtri eT sirang<0 OU ranglongueur(T)alorsretournernil;Trier(T);retournerT[rang];Remarque 2 :Il est facile de se persuader qu'il n'est pas utile de triertoutle tableau pour avoir une
solution au probleme de la selection. Dans cet exercice, nous allons adapter des algorithmes de tri vus
en cours an d'obtenir des algorithmes de rang plusecacesque le precedent.Dans toute la suite de l'exercice, vous pourrez utiliser la fonction classiqueEchange(T,i,j)qui echange
les valeurs du tableauTindicees parietj. defechange(T, i , j ):TMP = T[ i ]
T[ i ] = T[ j ]
T[ j ] = TMPAlgorithme 6:Echange(T,i,j)Donnees:Un tableau T de nom bres,et deux indices i et jResultat:T[i] et T[j] echanges
aux T[i];T[i] T[j];
T[j] aux;(a)Solution adapt eedu tri par s electionvu en cours. deftriSelection (T): foriinrange ( len (T)): iMin = i forjinrange ( i +1,len (T)): ifT[ j]Page 3 sur 10
UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013 i. (2 p oints) Ecrire un algorithmerangSelection(T,r)fortement inspire de l'algorithme ou du programme pythontriSelection(T)qui resout le probleme de la selection. Ne pas oublier de s'assurer que le rang desire correspond a un indice du tableau.Solution:Deux solutions parmi d'autres.
defrangSelection (T, r ): ifr<0orr>=len (T): returnNone foriinrange ( r+1): iMin = i forjinrange ( i +1,len (T)): ifT[ j]Temps (meilleur des cas)
(n2) (nr)Temps (pire des cas)O(n2)O(nr)Espace (meilleur des cas) (1) (1)Espace (pire des cas)O(1)O(1)Non demande :Il est facile d'ameliorer (un peu) la solution en selectionnant les valeurs minimales
(comme ici) lorsquer < n=2, et en selectionnant les valeurs maximales lorsquern=2. Les complexites s'expriment alors en remplacantrparmin(r;nr).(b)Solution adapt eedu tri abulle vu en cours. deftriBulle (T): foriinrange ( len (T)1,0,1): forjinrange ( i ): ifT[ j]>T[ j +1]: echange(T, j , j+1)Algorithme 9:TriBulle(T)Donnees:Un tableau T de nom bresResultat:Le tableau T tri een ordre
croissant pouri=len(T)-1a1 decroissantfairepourj=0ai-1fairesiT[j]>T [j+1]alorsEchange(T,j,j+1);Il semble evident qu'une fois la valeur desireebien placeedans le tableau, il est inutile de continuer
le tri. i. (2 p oints) Ecrire un algorithmerangBulle(T,r)fortement inspire de l'algorithme ou du programme pythontriBulle(T)qui resout le probleme de la selection. Ne pas oublier de s'assurer que le rang desire correspond a un indice du tableau.Page 4 sur 10
UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013Solution:Deux solutions parmi d'autres.
defrangBulle (T, r ): ifr<0orr>=len (T): returnNone foriinrange ( len (T)1,r1,1): forjinrange ( i ): ifT[ j]>T[ j +1]: echange(T, j , j+1) returnT[ r ]Algorithme 10:RangBulle(T,r)Donnees:Un tableau T de nom breset un indice rResultat:L' elementde rang r du tableau T
sir<0 OU rlongueur(T)alorsretournernil;pouri=len(T)-1ar, decroissantfairepourj=0ai-1fairesiT[j]>T [j+1]alorsEchange(T,j,j+1);
retournerT[r];ii.(1 p oint)Compl eterle tableau des complexit esen fonction d en=longueur(T)et du rangr.
Solution:TriBulle(T)RangBulle(T,r)
Temps (meilleur des cas)
(n2) (n(nr))Temps (pire des cas)O(n2)O(n(nr))Espace (meilleur des cas) (1) (1)Espace (pire des cas)O(1)O(1)Non demande :Il est facile d'ameliorer (un peu) la solution en faisant monter les grosses bulles
(comme ici) lorsquern=2, et en faisant descendre les petites bulles lorsquer < n=2. Les complexites s'expriment alors en remplacantnrparmin(r;nr).(c)Solution adapt eedu tri rapide vu e ncours. Soit la variante suivante de l'algorithme de partition basee sur l'algorithme du drapeau Hollandais vu en cours. Cet algorithmepartitionnele tableau en trois zones : la premiere contient des valeurs strictement inferieures a la valeur du pivot; la seconde contient des valeurs egales a la valeur du pivot; et la troisieme des valeurs strictement superieures a la valeur du pivot.Page 5 sur 10
UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013 deftroisPartitionner (T,g ,d): pivot = T[ g ] i = g j = i k = d whilej<= k: ifT[ j ] == pivot : j += 1 elifT[ j ]T= [17;3;21;13;17;25;4];g= 0;d= 6
Solution:Temps!pivot17
couple d'indices echanges(0,1)(2,6)(1,2)(2,3)(5,5) i0123 j012345 k654Page 6 sur 10
UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013 ii. (2 p oints)Cette v ersionamelioreedu tri rapide tire prot des trois zones, en ne faisant pas d'appel recursif sur la zone intermediaire, car les valeurs de cette zone sont correctement placees. deftriRapideRec (T,g ,d): ifgResultat:Le tableau T[g..d] tri ee n
ordre croissant sigResultat:Le tableau T tri een ordre
croissantTriRapideRec(T,0,longueur(T)-1);
Ecrire des algorithmesrangRapide(T,r)etrangRapideRec(T,g,d,r)fortement inspires des algorithmestriRapide(T)ettriRapideRec(T,g,d), qui resolvent le probleme de la selection. Ne pas oublier de s'assurer que le rang desire correspond a un indice du tableau.Solution:Deux solutions parmi d'autres.
defrangRapideRec(T,g ,d, r ): ifgResultat:P ositionnel' elementde rang r du
tableau T sigResultat:L' elementde rang r du tableau T
sir<0 OU rlongueur(T)alorsretournernil;RangRapideRec(T,0,longueur(T)-1,r);retournerT[r];iii.(1 p oint)Compl eterle tableau des c omplexitesen fonction de n=longueur(T)et du rangr.
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UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013Solution:
TriRapide(T)RangRapide(T,r)
Temps (meilleur des cas)
(n) (n)(Toutes les valeurs identiques)Temps (pire des cas)O(n2)O(nr)(tableau trie)
Espace (meilleur des cas)
(1) (1)Espace (pire des cas)O(n)O(r)(d)La solution naturelleau probleme de selection base sur le tri rapide est une solution recursive.
En examinant le deroulement de votre programme, vous devez vous apercevoir qu'aucun calcul pertinantn'est realise des que l'on commence a depiler les appels recursifs de la pile d'execution.Dans de tel cas, il est assez facile de transformer une solution recusrsive en une solution iterative.
i. (2 p oints) Ecrire un algorithmerangRapideIteratif(T,r)obtenu a partir de votre solution a la question precedente.Solution:Deux solutions parmi d'autres.
defrangRapideIteratif (T, r ): ifr<0orr>=len (T): returnNone g = 0 d = len (T)1 whileTrue : i , j ,k = troisPartitionner (T,g ,d) ifrk: g = k+1 else: returnT[ r ]Algorithme 16:RangRapideIteratif(T,r)Donnees:Un tableau T de nom bres,et un indice rResultat:L' elementde rang r du tableau T
sir<0 OU rlongueur(T)alorsretournernil;g 0; d longueur(T)-1; tant queTruefaire(i,j,k) troisPartitionner(T,g,d); sirretournerT[r];ii.(1 p oint)Compl eterle tableau des complexit esen fonction d en=longueur(T)et du rangr.
Temps (meilleur des cas)
(n) (n)(Toutes les valeurs identiques)Temps (pire des cas)O(n2)O(nr)(tableau trie)
Espace (meilleur des cas)
(1) (1)Espace (pire des cas)O(n)O(1)Non demande :En realite le pire des cas est soit un tableau trie, ce qui donne une complexite en
O(nr), soit un tableau trie en ordre decroissant qui donne une complexite enO(n(nr)). Ainsi la complexite dans le pire des cas est enO(nmax(r;nr)).Page 8 sur 10 UE J1MI2013 : Algorithmes et Programmes DS Terminal, Annee 2012/2013 (e) (1 p oint)En pr atique,le cas standardcorrespond a un tableau initial non trie, et ayant peu de valeurs repetees. L'algorithme de partitionnement retourne alors souvent trois zones telles que l'intermediaire estpetiteet a peu pres au centre du tableau. Completer le tableau en fonction den=longueur(T)et du rangrpour ce casmoyen. Temps moyen(nlog2(n))(n)(n)(zone 2 petite et centree)