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Exemples de démonstrations

Afin de mettre en évidence la démarche en trois étapes d'une démonstration, nous utiliserons le code suivant :

Données Théorème Conclusion

Pythagore ( 4 )

On a un triangle ABC rectangle en C

D'après le théorème de Pythagore,

On a donc AB

2 = CB 2 + CA 2

D'où 7

2 = CB 2 + 4 2 CB 2 = 49 - 16 = 33 CB =

Comparons BC

2 et AB 2 + AC 2 BC 2 = 52 = 25 AB 2 + AC 2 = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25

On a BC

2 = AB 2 + AC 2 D'après la réciproque du théorème de Pythagore, Le triangle ABC est donc rectangle en A. Comparons BC 2 et AB 2 + AC 2 BC 2 = 10 2 = 100 AB 2 + AC 2 = 5 2 + 7 2 = 25 + 49 = 64

On a BC

2 AB 2 + AC 2 avec [BC] le plus long coté D'après la contraposée du théorème de Pythagore,

Donc le triangle ABC n'est pas rectangle.

I droite des milieux

On a dans le triangle ABC, M milieu de [AB] et N

milieu de [AC] D'après le théorème de la droite des milieux,

On a donc (MN) // (BC) et MN = BC

2 On a (MN) perpendiculaire à (IJ) et (BC) qui est perpendiculaire à (IJ) Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles

Donc (MN) // (BC)

On a dans le triangle ABC, M milieu de [AB],

(MN) // (BC) et N [AC] D'après la réciproque du théorème de la droite des milieux,

On a donc N milieux de [AC].

Dans l'exemple à droite, la conclusion de la première démonstration élémentaire est utilisée comme donnée dans la

qui . Ceci dit, on pourrait écrire : Donc (MN) // (BC) De plus dans le triangle ABC on a M milieu de [AB] et N [AC] 4 B C A

Le triangle ABC est-il

rectangle ? A B C 3 4 5

Le triangle ABC est-il

rectangle ? A B C 5 7 10

Montrer que

(MN) //( BC) et MN = BC 2

Montrer que N est le

milieu de [AC] A B C M N www.automaths.com - La démonstration en géométrie plane

12Cercle circonscrit à un triang le rectangle ( 4 )

On a [AB] diamètre du cercle et C un point de ce cercle Or un triangle inscrit dans un cercle dont un des cotés est un diamètre de ce cercle est rectangle

Donc ABC est un triangle rectangle en C

ABC est un triangle rectangle et O milieu de [AB]

Or le centre du cercle circonscrit d'un triangle

rectangle est le milieu de son hypoténuse Donc O est le centre du cercle circonscrit à ABC.

D'où OA = OB = OC

Les théorèmes utilisés ici n'ont pas de nom, on doit donc les énoncer. dans la démonstration de droite. Cela vient du fait que par définition

Trigonométrie

ABC est un triangle rectangle en A,

cos Comme la somme des angles d'un triangle est égale à

180 degrés

On a donc

ABC est un triangle rectangle en A,

cos

3,5 à 0,1 près

et donc de ne pas écrire " d'après les

Parallélogramme et symétrie centrale ( 5 )

Première démonstration :

On a A' image du point A et B' image du point B par la symétrie centrale de centre O,

Or l'image d 'un point M par une symétrie centrale est un point M' tel que O soit le milieu de [MM']

Donc O est le milieu de [AA'] et de [BB']

Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme

Donc ABA'B' est un parallélogramme

Lorsque l'énoncé ne propose pas de figure, il peut être utile d'en faire une pour mieux visualiser les choses.

sert aussi d'étape ; cela est possible quand ce que l'on obtient en

Le triangle ABC est-il

rectangle ? A B C O

Montrer que :

OA = OB = OC

A B C O 4 www.automaths.com - La démonstration en géométrie plane 13

Deuxième démonstration :

On a A' image du point A et B' image du point B par la symétrie centrale de centre O,

Or la symétrie centrale conserve les longueurs et l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui

est parallèle

Donc AB = A'B' et (AB) // (A'B')

Or un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme

Donc ABA'B' est un parallélogramme

Il existe souvent plusieurs façons d'aboutir à une conclusion.

Angles alternes internes et correspondants ( 5 )

On a Or deux angles correspondants de même mesure sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.

Donc (EB) // (DC)

D'où BCDE est un trapèze.

On a (By) // (Ax)

Or deux droites parallèles coupées par une sécante forment deux angles alternes internes de même mesure.

Donc x = y

Angle au centre, angle inscrit (3)

On a Or dans un même cercle, la mesure d'un angle au centre est le double de celle d'un angle inscrit qui interceptent le même arc. Donc Or dans un même cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont de même mesure. Donc

Droites remarquables dans un triangle ( 4 )

(AD) et (BE) sont deux hauteurs du triangle ABC Or les hauteurs d'un triangle sont concourantes en un même point.

Donc (CH) est une hauteur.

D'où (CH) perpendiculaire (AB).

(DC)est une hauteur du triangle ABC isocèle en C Or dans un triangle isocèle la hauteur issue du sommet principal est aussi une médiane

Donc (CD) médiane issue de C

Donc D est le milieu de [AB]

Il n'y a pas ici de " On a » pour introduire les données. Cela permet d'alléger le style. Ceci dit, de tels allégements ne

B A E C D

Montrer que BCDE

est un trapèze. x y

Montrer que :

A O B C www.automaths.com - La démonstration en géométrie plane

14Thalès ( 4 - 3 )

On a dans le triangle ABC : - M ( AB )

- N ( AC ) - ( MN ) // ( BC )

D'après le théorème de Thalès,

On a donc AM

AB

2 = 4 6

2 AB = 24

AB = 12

Comparons AM

AB

D'où AM

AB

On a dans le triangle ABC :

- A, M, B alignés dans le même ordre que A, N, C AM AB

D'après la réciproque de Thalès,

Les droites (MN) et (BC) sont donc parallèles. Comparons AM ABquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17