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F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015
Fiche aide-mémoire 2 :
Croissances comparées
On regroupe sous ce vocable pas mal de résultats permettant de résoudre les formes indé-terminées impliquant des exponentielles, logarithmes, puissances...On retient en général que
l"exponentielle l"emporte sur les puissances, qui l"emportent sur le logarithme.1 Exponentielles et puissances
Moralement : en cas de formes indéterminées impliquant des exponentielles et des polynômes, l"exponentielle l"emporte. 1. exx !x!+1+1(c"est-à-direx=x!+1o(ex)).2.xex!x!10.
Plus généralement,
3.8 >0;exx
!x!+1+1.4.8 >0; xex!x!10.
2 Puissances et logarithmes
Moralement : en cas de formes indéterminées impliquant des polynômes et des logarithmes, la puissance l"emporte. 1. ln(x)x !x!+10(c"est-à-direln(x) =x!+1o(x)).2.xln(x)!
x!0+0.Plus généralement,
3.8 >0;8 >0;(ln(x))x
!x!+10.4.8 >0;8 >0; x(ln(x))!
x!0+0.3 Exercices d"application
Déterminer les limites suivantes, en vous basant, le cas échéant, sur les croissances comparées
(CC). Attention à vérifier d"abord que vous êtes bien en présence de formes indéterminées
(FI). Parfois, il faut faire des changements de variables (CV).1.limx!+1xe
x0par CC.2.limx!+1xex+1mais pas FI.
3.limx!1e
xx0mais pas FI.
1/2 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 4.lim x!0e xx1mais pas FI.
5.limx!1xe
x0par CC avec CVX=x.6.limx!+1xex0par CC.
7.limx!+1ex+x2+ 1 +1mais pas FI.
8.limx!+1exx21 +1par CC.
9.lim x!01x 2e1x0par CC avec CVX=1x
10.limx
to+1e 2xx2e2x+x21par CC.
11.lim
x!2e1x2x20par CC avec CVX=1x2.12.limx!+1xln(x)+1par CC.
13.limx!+1ln(x)x2+ 2x+ 11par CC.
14.limx!+1x5x4ln(x) +1par CC.
15.limx!+13exx
6ln(x)+1par CC.
4 Le cas des suites numériques
S"ajoute généralement aux exponentielles et aux logarithmes, dans le cadre de l"étude de suites, la factorielle, qui l"emporte sur (presque) tout! (Attention, les limites sont enn)1.8 >0;(ln(n))n!!n!+10.
2.8x2R;xnn!!n!+10.
3. enn!!n!+10.5 Cas d"utilisation
On est amené à utiliser les croissances comparées dans tous les cas de recherche de limites avec
formes indéterminées faisant intervenir des exponentielles et/ou des logarithmes, notamment : •Recherche de limites de fonctions ou de suites; •Étude de branches infinies de courbes représentatives de fonctions.Attention, les croissances comparées ne résolvent pas tous les problèmes. Il convient de savoir
utiliser équivalents et développements limités!Lire les fiches consacrées aux limites, aux branches infinies, aux équivalents et aux dévelop-
pements limités. 2/2quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14