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La Martinière Monplaisir
Cours de MPSI
14 septembre 2021
2
Table des matières
ITrigonométrie et nombres ima-
ginaires 7 1
Relation de congruence modulo
un réel . . . . . . . . . . . . . . 8 2
Les fonctions sinus, cosinus et
tangente . . . . . . . . . . . . . 8 3
Modes de repérage dans le plan
et angles orientés . . . . . . . . 10
4 Trigonométrie . . . . . . . . . . 14
5 Nombres imaginaires . . . . . . 21
II Fonctions usuelles 31
1 Rappels d"analyse. . . . . . . . . 32
2
Effet d"une transformation sur
le graphe. . . . . . . . . . . . . . 36 3
Composée de fonctions, réci-
proque. . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Fonction valeur absolue . . . . . 41
5
Fonctions puissances entières,
polynomiales et rationnelles . . 43 6
Fonctions exponentielles, loga-
rithmes et puissances quelconques44
7 Fonctions circulaires réciproques 48
8 Fonctions hyperboliques . . . . . 51
III Un peu de calcul 55
1 Le symbole somme :Σ. . . . . 56
2 Le symbole produit :Π. . . . . 60
3 Quelques formules à connaître . 60
4
Systèmes linéaires et pivot de
Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 64
IV Quelques fondamentaux 69
1 Propositions. . . . . . . . . . . . 70
2 Connecteurs logiques. . . . . . . 703
Quantificateurs universel et exis-
tentiel. . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Raisonnements par récurrence. . 76
V Nombres complexes 85
1 L"inégalité triangulaire . . . . . 86
2
Propriétés supplémentaires de
l"exponentielle complexe et des arguments . . . . . . . . . . . . 86 3
GroupeUdes nombres com-
plexes de module1. . . . . . . 87
4 Équations du second degré . . . 87
5 Racines énièmes. . . . . . . . . . 89
6 Techniques de calcul . . . . . . . 90
7 L"exponentielle complexe . . . . 91
8
Nombres complexes et géomé-
trie plane . . . . . . . . . . . . . 91 VI
Équations différentielles linéaires97
1 Résultats d"analyse . . . . . . . 98
2
Généralités sur les équations dif-
férentielles linéaires. . . . . . . . 104 3
Équations linéaires du premier
ordre. . . . . . . . . . . . . . . . 107 4
Équations différentielles du se-
cond ordre à coefficients constants.109
VII Théorie des ensembles 115
1 Un peu d"histoire. . . . . . . . . 116
2 Définitions. . . . . . . . . . . . . 118
3 Interprétation logique . . . . . . 124
VIII Notion d"application 125
1 Vocabulaire. . . . . . . . . . . . 126
2 Restriction, prolongement . . . . 127
3 Composition d"applications . . . 128
4 Injectivité, surjectivité, bijectivité128
TABLES DES MATIÈRES
5 Image directe, tiré en arrière. . . 132
IX Calcul matriciel 135
1 Définitions élémentaires . . . . . 136
2 Systèmes linéaires . . . . . . . . 144
XRelations d"ordre et d"équiva-
lence. 147
1 Relations binaires. . . . . . . . . 148
2 Relations d"équivalence. . . . . . 149
3 Relations d"ordre. . . . . . . . . 150
4
Majorants, minorants et compa-
gnie. . . . . . . . . . . . . . . . 150
5 Relation d"ordre naturelle surN. 154
6 Relation d"ordre naturelle surR. 154
XI
Entiers relatifs et arithmétique
deZ159
1 Divisibilité. . . . . . . . . . . . . 160
2 PGCD, PPCM. . . . . . . . . . 161
3 Nombres premiers. . . . . . . . . 167
XII Suites réelles et complexes 171
1 Vocabulaire. . . . . . . . . . . . 172
2 Limite d"une suite réelle. . . . . 173
3 Résultats de convergence. . . . . 178
4
Traduction séquentielle de cer-
taines propriétés. . . . . . . . . 181
5 Suites particulières. . . . . . . . 181
6
Suites définies par une relation
de récurrence d"ordre 1. . . . . . 185
7 Suites à valeurs complexes. . . . 187
8
Premiers exemples de séries nu-
mériques. . . . . . . . . . . . . . 189 9
Annexe : unification des no-
tions de limites. . . . . . . . . . 189
XIII Groupes, anneaux, corps 193
1 Lois de composition internes. . . 194
2 Structure de groupe. . . . . . . 196
3 Anneaux . . . . . . . . . . . . . 201
4 Structure de corps. . . . . . . . 204
XIV Limite d"une fonction 207
1 Préliminaires. . . . . . . . . . . 208
2
Définitions de la limite d"une
fonction. . . . . . . . . . . . . . 2093
Propriétés des limites de fonctions.214
4 Théorèmes d"existence. . . . . . 216
5
Cas des fonctions à valeurs com-
plexes. . . . . . . . . . . . . . . 218
XV Continuité 221
1
Définitions et premières proprié-
tés. . . . . . . . . . . . . . . . . 222
2 Les grands théorèmes. . . . . . . 225
3
Extension au cas des fonctions
à valeurs complexes. . . . . . . . 230
XVI Polynômes 231
1K [X]: définitions et résultats algébriques. . . . . . . . . . . . 232
2 Décomposition. . . . . . . . . . 240
3 Dérivation des polynômes. . . . 245
4 Arithmétique deK[X]. . . . . . 248
5
Formule d"interpolation de La-
grange. . . . . . . . . . . . . . . 254
6 Annexe : construction deK[X]256
7
Annexe : fonctions polyno-
miales à valeurs dans un anneau 258
XVII Dérivabilité 261
1
Définitions et premières proprié-
tés. . . . . . . . . . . . . . . . . 262
2 Les grands théorèmes. . . . . . . 268
3
Extension au cas des fonctions
complexes. . . . . . . . . . . . . 275
4 Convexité. . . . . . . . . . . . . 275
XVIII Fractions rationnelles 283
1
Corps des fractions rationnelles
K(X). . . . . . . . . . . . . . . . 284
2
Étude locale d"une fraction ra-
tionnelle. . . . . . . . . . . . . . 288
3 Application au calcul intégral. . 293
XIX Espaces vectoriels 295
1
Espaces vectoriels et combinai-
sons linéaires. . . . . . . . . . . 296
2 Sous-espaces vectoriels. . . . . . 298
3 Translations, sous-espaces affines.304
XX Analyse asymptotique 309
4
TABLES DES MATIÈRES
1Comparaison asymptotique de
suites. . . . . . . . . . . . . . . . 310
2 Comparaison de fonctions. . . . 313
3 Développements limités. . . . . 316
4
Théorèmes de comparaison pour
les séries. . . . . . . . . . . . . . 324 XXI
Applications linéaires et fa-
milles de vecteurs 327
1 Applications linéaires. . . . . . . 328
2 Familles de vecteurs. . . . . . . 331
3 Endomorphismes particuliers. . 341
XXII Intégration 345
1 Continuité uniforme. . . . . . . 346
2 Construction de l"intégrale. . . . 347
3
Le théorème fondamental du cal-
cul différentiel. . . . . . . . . . . 353
4 Méthodes de calcul. . . . . . . . 354
5 Formules de Taylor. . . . . . . . 354
6
Cas des fonctions à valeurs com-
plexes. . . . . . . . . . . . . . . 356
7 Approximation d"intégrales. . . 356
8 Comparaison série-intégrale. . . 359
9 Annexes. . . . . . . . . . . . . . 360
XXIII Dénombrement 363
1 Cardinal d"un ensemble fini. . . 364
2 Dénombrement. . . . . . . . . . 366
XXIV
Espaces vectoriels de dimen-
sion finie 371
1 Notion de dimension. . . . . . . 372
2
Sous-espaces vectoriels en di-
mension finie. . . . . . . . . . . 377 3
Applications linéaires en dimen-
sion finie. . . . . . . . . . . . . . 380
4 Formes linéaires et hyperplans. . 383
XXV Probabilités sur un univers fini 3851 Événements, probabilités. . . . . 386
2 Variables aléatoires. . . . . . . . 396
XXVI Matrices et algèbre linéaire 415
1 Structure deMn,p(K). . . . . . 416
2
Matrices, familles de vecteurs et
applications linéaires. . . . . . . 417
3 Matrices remarquables. . . . . . 425
4 Rang d"une matrice. . . . . . . . 427
5 Systèmes d"équations linéaires. . 432
6 Matrices semblables et trace. . . 433
7 Matrices par blocs (HP). . . . . 436
XXVIIDéterminants 441
1 Groupe symétrique. . . . . . . . 442
2 Applications multilinéaires. . . . 446
3
Déterminant d"une famille de
vecteurs. . . . . . . . . . . . . . 449 4
Déterminant d"un endomor-
phisme. . . . . . . . . . . . . . . 452 5
Déterminant d"une matrice carrée.454
XXVIIISéries numériques 459
1 Prolégomènes . . . . . . . . . . 460
2 Séries à termes réels positifs . . 462
3 Comparaison série-intégrale . . . 464
4 Séries absolument convergentes . 466
5 Familles sommables . . . . . . . 468
XXIX
Espaces euclidiens et préhilber-
tiens réels 479 1
Produit scalaire, norme et dis-
tance. . . . . . . . . . . . . . . . 480
2 Orthogonalité. . . . . . . . . . . 483
XXX Fonctions de deux variables 491
1
Fonctions numériques à deux va-
riables . . . . . . . . . . . . . . 492
2 Introduction au calcul différentiel494
5
TABLES DES MATIÈRES
6
Chapitre I
Trigonométrie et nombres imaginaires
Sommaire
1 Relation de congruence modulo un réel 8
2 Les fonctions sinus, cosinus et tangente 8
2.1 Définitions géométriques . . . . . . . . 8
2.2 Résultats admis . . . . . . . . . . . . . 9
3Modes de repérage dans le plan et
angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . 10
3.2 Angles orientés de vecteurs . . . . . . 11
3.3 Angles orientés de droites . . . . . . . 12
3.4 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . 13
3.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . 14
4 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1 Angles remarquables . . . . . . . . . . 14
4.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . 16
4.3 Équations trigonométriques . . . . . . 16
4.4 Formules trigonométriques . . . . . . . 16
4.5
Régularité des fonctions trigonomé-
triques circulaires . . . . . . . . . . . . 19
5 Nombres imaginaires . . . . . . . . . . . 21
5.1 Bref aperçu historique . . . . . . . . . 21
5.2 Une définition géométrique . . . . . . 22
5.3 Écriture trigonométrique d"un complexe 24
5.4 Multiplication de deux complexes . . . 25
5.5
Conjugué et module d"un nombre com-
plexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.6 Inverse d"un nombre complexe non nul 28
5.7 Technique de l"angle moitié . . . . . . 28
CHAPITRE I. TRIGONOMÉTRIE ET NOMBRES IMAGINAIRESNous nous placerons dans tout ce chapitre dans le planR2, muni de son repère orthonormal cano- nique(O,-→ı ,-→?). 1
Relation de congruence mo-
dulo un réelDéfinition 1.0.1.
Soitθ?R. On dit que deux réelsaetbsont
congrus moduloθs"il existek?Ztel quea= b+kθ. On note alorsa≡b[θ], ou aussia=b[θ]. Exemple 1.0.2.•π2,-π2et5π2sont congrus moduloπ; •π4 ,9π4 et-15π4 sont congrus modulo2π.
Remarque 1.0.3.
La relationa=b[θ]se lit aussi "aetbsont
égaux à un multiple deθprès ».Proposition 1.0.4.
Soitθ?R, eta,b,c,dquatre réels.
1.
On aa≡a[θ](on dit que la relation de
congruence moduloθestréflexive). 2. Sia≡b[θ], alorsb≡a[θ](on dit que la relation de congruence moduloθestsymé- trique). 3. Sia≡b[θ]etb≡c[θ], alorsa≡c[θ](on dit que la relation de congruence moduloθ esttransitive). 4. Sia≡b[θ]etc≡d[θ], alorsa+c≡b+d[θ]. 5.
Si a≡b[θ], alorsa≡b[-θ].
6.
Si n?Zeta≡b[nθ], alorsa≡b[θ].
7.
Si a≡b[θ], alorsac≡bc[cθ].
Une relation vérifiant les trois premiers points de cette proposition est appelée unerelation d"équi- valence.
Démonstration.
C"est immédiat en revenant à la définition. 1.
On a a=a+ 0θ, donca≡a[θ].2.
Soitk?Ztel quea=b+kθ, alorsb=a+(-k)θ, or
-k?Z, doncb≡a[θ]. 3.
Soitk,??Ztels quea=b+kθetb=c+?θ, alors
a=c+ (k+?)θ, ork+??Z, donca≡c[θ]. 4.
Soitk,??Ztels quea=b+kθetc=d+?θ,
alorsa+c=b+d+ (k+?)θ, ork+??Z, donc a+c≡b+d[θ]. 5.
C"est un cas particulier du point suivant (avecn=
-1). 6.
Soitk?Ztel quea=b+knθ, alorsa=b+ (nk)θ,
ornk?Z, donca≡b[θ]. 7.
Soitk?Ztel quea=b+kθ, alorsac=bc+k(cθ),
ork?Z, doncac≡bc[cθ].Exercice 1.0.5. Parmi la famille de réels suivants, déterminer les- quels sont congrus entre eux modulos2π. Même question pourπ,π2 et2π3 •α= 1 •β= 3π •γ= 4π •δ=-π2 •ε=5π6
Au besoin, vous placerez les points/angles cor-
respondants sur le cercle trigonométrique (voir partie 3.4).
Remarque 1.0.6(Irrationnalité deπ).
Tout au long de cette année, vous pourrez utiliser le résultat suivant :
π /?Q.
Ce résultat sera démontrable en milieu d"année de MPSI. 2
Les fonctions sinus, cosinus et
tangente 2.1
Définitions géométriques
Soit(ABC)un triangle du plan, rectangle en
B. On suppose les troins pointsA,B,Cdeux à
deux distincts. On noteαl"angle (non orienté) \BAC. Alors nous posons : •cosα=ABAC 8 CHAPITRE I. TRIGONOMÉTRIE ET NOMBRES IMAGINAIRES •sinα=CBAC •tanα=CBAB =sinαcosα.En particulier, dans le cas oùAC= 1, grâce au théorème de Pythagore nous obtenons que : cos
2α+ sin2α=AB2+CB2=AC2= 1.
Cette relation entre sinus et cosinus est la
première formule de trigonométrie à connaître !
Vous connaissez ces définitions depuis la fin
du collège. Elles sont bien sûr historiquement et géométriquement fondamentales, mais posent quelques problèmes théoriques : tout d"abord, qu"est-ce qu"un angle ? Comment définir cette notion ? Ensuite, avec cette définition, tous les sinus et cosinus sont positifs. Pour obtenir des quantités algébriques, donc avec des signes, il fautorienter toutes les quantités en jeu : aussi bien les angles que les longueurs. Et cela oblige à quelques contorsions. Enfin, comment définir le sinus et le cosinus d"un angle droit ?
Dans les mathématiques " modernes », les
choses sont introduites différemment : les fonc- tions sinus et cosinus sont introduites grâce à la notion desérie entière, que vous étudierez en se- conde année. Et c"est à partir de ces fonctions que l"on peut définir ce qu"est un angle, et retrouver toutes les propriétés géométriques habituelles.
Nous allons dans la suite adopter ce point de
vue : tout ce que nous admettrons, c"est qu"il existe deux fonctions réelles sinus et cosinus, dont nous admettrons quelques propriétés, en particu- lier que pour toutt?R,cos2t+ sin2t= 1.
Finalement, en MPSI peu importe le point de
vue, vous devrez uniquement connaître les liens entre angles et fonctions trigonométriques (vous les connaissez déjà pour la plupart). 2.2
Résultats admis
Nous admettons qu"il existe deux fonctions si-
nus et cosinus, dont les graphes sont représentés figure I.1, et vérifiant les propriétés suivantes :cossin -11
2π3π22π-
π2-π-
3π2-2π0
Figure I.1- Fonctionscosetsin.Proposition 2.2.1.1.
Les fonctions sinus (sin)
et cosinus (cos) sont définies surRet sont
2π-périodiques ;
2.
La fonction cosinus est paire et la fonction
sinus est impaire ; 3.
La fonction cos est strictement décroissante
sur[0,π]établit une bijection de[0,π]dans [-1,1]; cela signifie que pour toutx? [-1,1], il existe un unique réelt?[0,π]tel quex= cost; 4.
Pour toutt?R,cost=sin?
t+π2 ?(le graphe de cos n"est donc que le translaté de celui de sin, et la connaissance d"une seule de ces deux fonctions permet de connaître l"autre) ; 5.
Si t?R,
cost= 0ssit≡π2 sint= 0ssit≡0 [π] cost= 1ssit≡0 [2π] cost=-1ssit≡π[2π] sint= 1ssit≡π2 [2π] sint=-1ssit≡ -π2 [2π] 6.
P ourtout t?R,cos2t+ sin2t= 1.
Nous pouvons alors démontrer le lemme suivant,
quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
[PDF] Analyse 1 – Croissances comparées