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? Le rectangle :

Considérons un jouet d"enfant constitué de 4 pièces métalliques ( ou en bois ) ; deux ont même longueur

et les deux autres ont également même longueur. En les assemblant comme indiqué sur la figure ci-contre, nous obtenons un quadrilatère. Ce quadrilatère a ses côtés opposés de la même longueur, donc ce quadrilatère est un parallélogramme ( Cf. les propriétés du parallélogramme )

Comment obtenir un rectangle ?

Il suffit de " redresser » un côté de ce parallélogramme afin d"obtenir un angle droit.

Définition :

Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit.

Propriétés du rectangle :

Un rectangle est, d"après la définition, un parallélogramme particulier. Par conséquent, un rectangle a

toutes les propriétés du parallélogramme ? Les côtés opposés sont parallèles. ? Les côtés opposés ont même longueur. ? Les diagonales ont même milieu

? Les angles opposés ont même mesure. ( et les angles consécutifs sont supplémentaires ).

Autres propriétés propres au rectangle :

Considérons un rectangle ABCD . Nous savons que ce rectangle a un angle droit ( par exemple, l"angle

DABˆ ).

THEME :

PARALLELOGRAMMES PARTICULIERS

RECTANGLE - LOSANGE - CARRE

Rappelons une propriété établie en classe de Sixième : Si deux droites sont parallèles, toute droite

perpendiculaire à l"une est perpendiculaire à l"autre

Dans le rectangle ABCD,

? Les droites ( AD) et (BC) sont parallèles ( Un rectangle a des côtés opposés parallèles, puisqu"un rectangle est un parallélogramme. ) ? La droite (AB) est perpendiculaire à la droite (AD) ( L"angle DABˆ est un angle droit ) Donc d"après la propriété énoncée ci-dessus, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (BC) et par suite, l"angle

CBAˆ est un angle droit .

Remarque :

Il était également possible d"utiliser le fait que, dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires. Nous pouvons réutiliser cette démarche ( utilisation de la propriété établie en Sixième ) pour démontrer que l"angle

DCBˆ est également

un angle droit , puis recommencer pour démontrer que l"angle

ADCˆest également un angle droit.

Autre façon de démontrer que les deux autres angles sont droits :

Le rectangle étant un parallélogramme ( particulier ), les angles opposés ont même mesure.

Les angles

DAB et DCBˆˆ sont, dans la quadrilatère ABCD, des angles opposés , donc : DAB DCBˆˆ== 90° , donc DCBˆ est un angle droit

De même

CBA et ADCˆˆ sont, dans la quadrilatère ABCD, des angles opposés , donc °==

90 CBA ADCˆˆ , donc ADCˆ est un angle droit .

Propriété :

Dans un rectangle, les quatre angles sont droits .

Autre propriété :

Dans un parallélogramme, les diagonales ont même milieu, appelé le centre du parallélogramme. Cette propriété est donc vérifiée pour le rectangle. Nous constatons ( sans démonstration ) que les diagonales ont

également même longueur.

AC = BD

Propriété :

Dans un rectangle, les diagonales ont même mesure .

Remarque :

Comme les diagonales ont même milieu et ont même longueur , nous avons :

OA = OB = OC = OD

Il existe donc un cercle de centre O et de rayon cette valeur commune ( OA ou OB ou OC ou OD ) qui passe par les quatre sommets du rectangle.

Ce cercle s"appelle le

cercle circonscrit au rectangle. A noter que ce cercle est le plus petit cercle qui contienne le rectangle.

Remarque :

Un parallélogramme non rectangle n"a pas de cercle circonscrit.

Comment démontrer qu"un quadrilatère est un

rectangle ?

Nous disposons de trois méthodes

( trois outils ) Méthode 1 : ( utilisation de la définition )

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un parallélogramme . ? le quadrilatère a un angle droit . ? Attention , il est nécessaire de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Démontrer uniquement que le quadrilatère a un angle droit ne suffit pas.

Méthode 2 : ( propriété des diagonales )

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un parallélogramme . ? le quadrilatère a des diagonales de même longueur. ? Attention , il est nécessaire de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Démontrer uniquement que le quadrilatère a des diagonales de même longueur ne suffit pas. ? Faut-il donc nécessairement démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme pour démontrer que cette figure est un rectangle ? Il existe une méthode qui évite de " passer » par le parallélogramme.

Méthode 3 :

Il suffit de démontrer que le

quadrilatère a

3 angles droits

Remarque :

Il est inutile de démontrer qu"il y a quatre

angles droits, trois suffisent. ? Le losange :

Définition :

Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.

Pour démontrer qu"un quadrilatère est un losange, le seul outil dont nous disposons est de prouver que les

quatre côtés ont même mesure. Existe-t-il d"autres méthodes ? ? Suffit-il d"avoir trois côtés de même longueur ? Il suffit de montrer qu"une figure qui a trois côtés de même longueur n"est pas un losange en utilisant un contre-exemple. ? Suffit-il d"avoir deux côtés de même longueur ? Tout parallélogramme a deux côtés de même mesure ( dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même mesure ). Donc, deux côtés de même longueur ne permettent pas de définir un losange.

Par contre :

Propriété :

Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange . Considérons un parallélogramme ABCD tel que AB = BC. Un parallélogramme a des côtés opposés de même longueur, donc AB = CD et BC = AD

Comme AB = BC , alors

AB = BC = AD = CD

Les quatre côtés ont même longueur, donc le quadrilatère

ABCD est un losange.

? Tous les nombres ( entiers ) se terminant par 5 sont divisibles par 5 .

Cette phrase est-elle vraie ? Il semble que oui, mais, encore faut-il le prouver. La preuve, c"est à dire la

démonstration, n"est pas nécessairement facile. ? Tous les nombres ( entiers ) se terminant par 3 sont divisibles par 3 .

Cette phrase est-elle vraie ? Le nombre 13 se termine par 3 , mais n"est pas divisible par 3. La phrase précédente

est donc fausse.

Un exemple n"est pas une preuve, mais un

contre-exemple est une preuve qui permet d"affirmer qu"une phrase est fausse.

Propriétés du losange :

Un losange est, d"après la propriété précédente, un parallélogramme particulier. Par conséquent, un

losange a toutes les propriétés du parallélogramme ? Les côtés opposés sont parallèles. ? Les côtés opposés ont même longueur. ? Les diagonales ont même milieu

? Les angles opposés ont même mesure. ( et les angles consécutifs sont supplémentaires ).

Autres propriétés propres au losange :

Les quatre côtés ont même longueur.

Les diagonales, comme dans tout parallélogramme, ont même milieu. Elles ne sont pas de même longueur, comme dans le rectangle . Par contre, nous constatons ( sans démonstration ) que les diagonales sont perpendiculaires.

Propriété :

Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires .

Propriété :

Les diagonales d"un losange sont des axes de symétrie .

Remarque :

Un losange a donc un centre de symétrie ( le point de rencontre des diagonales ) et deux axes de symétrie ( les diagonales ). Ces deux axes sont les bissectrices des angles du losange. Comment démontrer qu"un quadrilatère est un losange ?

Nous disposons de trois méthodes

( trois outils )

Méthode 1 : ( concernant les côtés )

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un parallélogramme . ? le quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur .

? Attention , il est nécessaire de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Démontrer

uniquement que le quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur ne suffit pas.

? Attention , les deux côtés de même mesure doivent être consécutifs ( qui se suivent )

Méthode 2 : ( concernant les diagonales )

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un parallélogramme . ? le quadrilatère a des diagonales perpendiculaires . ? Attention , il est nécessaire de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Démontrer uniquement que le quadrilatère a des diagonales perpendiculaires ne suffit pas.

Méthode 3 : Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère a 4 côtés de même longueur . ? Le carré :

Un carré est un rectangle particulier ( donc un parallélogramme particulier ). C"est un rectangle qui a

deux côtés consécutifs de même longueur. Mais un carré est également un losange particulier. C"est un losange qui a un angle droit.

Définition :

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois rectangle et losange .

Propriétés du carré :

Un carré est, d"après la propriété précédente, un rectangle particulier et un losange particulier. Par

conséquent, un carré a toutes les propriétés du rectangle et toutes les propriétés du rectangle ? Les côtés opposés sont parallèles. ( propriété du parallélogramme ) ? Les côtés opposés ont même longueur. ( propriété du parallélogramme ) ? Les quatre côtés ont même longueur. ( propriété du losange ) ? Les quatre angles sont droits. ( propriété du rectangle ) ? Les diagonales ont même milieu. ( propriété du parallélogramme ) ? Les diagonales ont même longueur. ( propriété du rectangle ) ? Les diagonales sont perpendiculaires. ( propriété du losange )

Axes de symétrie et centre de symétrie :

Le carré a un centre de symétrie ( le point de rencontre des diagonales ) et quatre axes de symétrie

Comment démontrer qu"un

quadrilatère est un carré ?

Méthode :

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un rectangle. ? le quadrilatère est un losange.

Dans la rédaction devront figurer,

après démonstration, les phrases : ? ??????? ( démonstration )

Le quadrilatère ABCD est un rectangle.

? ??????? ( démonstration )

Le quadrilatère ABCD est un losange.

? Le quadrilatère ABCD étant à la fois un rectangle et un losange, le quadrilatère ABCD est un carré.

RESUME :

COMMENT DEMONTRER QU"UN

QUADRILATERE EST UN RECTANGLE ?

Méthode 1 : ( Propriété concernant les côtés. )

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un parallélogramme. ? a un angle droit ( c"est à dire deux côtés perpendiculaires ). Méthode 2 : ( Propriété concernant les diagonales. )

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un parallélogramme. ? a des diagonales de même longueur. Méthode 3 : ( Cette méthode permet de ne pas démontrer que la figure est un parallélogramme. ) Il suffit de démontrer que le quadrilatère possède trois angles droits.

COMMENT DEMONTRER QU"UN

QUADRILATERE EST UN LOSANGE ?

Méthode 1 : ( Propriété concernant les côtés. )

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un parallélogramme. ? a deux côtés consécutifs de même longueur. Méthode 2 : ( Propriété concernant les diagonales. )

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un parallélogramme. ? a des diagonales perpendiculaires. Méthode 3 : ( Cette méthode permet de ne pas démontrer que la figure est un parallélogramme. ) Il suffit de démontrer que le quadrilatère a quatre côtés de même longueur.

COMMENT DEMONTRER QU"UN

QUADRILATERE EST UN carre ?

Méthode :

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un rectangle. ? est un losange.

NOTATIONS EN GEOMETRIE : ( rappels )

Notation d"une droite : (AB)

Notation d"un segment : [AB]

Notation d"une demi-droite : [Ax) ou [AB)

Notation de la longueur d"un segment : AB

Remarque :

Dans les notations d"une droite, d"une demi-droite ou d"un segment, le crochet " [ » (ou " ] ») indique

une extrémité ( que l"on ne franchit pas ) et la parenthèse " ( » ou " ) » indique une orientation

( l"extrémité est franchissable ).quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23