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Durée : 4 heures

?Baccalauréat S Centres étrangers juin 2004?

EXERCICE14 points

2.On suppose queM?Δ. AlorsMa pour affixez=x-2i avecxréel.

M ?a pour affixez?=-2(x-2i)+2i=-2x-4i+2i=-2x-2i doncM??Δ.

Interprétation géométrique : AM?= 2AM

4.On suppose queM?=A. Doncz?=?2i.

a.Onsaitque?-→u,--→AM? =arg? z AM? =arg(z-a)=arg(z+2i)=θmodulo 2π. b.(z+2i)?z?+2i?=(z+2i)(2z+4i)= -2(z+2i)(z-2i)= -2(z+2i)(z+2i)= -2|z+2i|2. Orz+2i?=0. D"où|z+2i|2>0 et (z+2i)(z?+2i) est un réel strictement négatif. c.On en déduit que arg(z+2i)(z?+2i)=π[2π]. Donc arg(z+2i)+arg?z?+2i?=π[2π].

Puis arg(z?+2i)=π-θ[2π].

d.Nous avons?-→u,---→AM?? , toutes ces

égalités étant modulo 2π

Par conséquent les demi-droites [AM) et [AM?)sont symétriques par rap- port à l"axe?

O ;-→v?

5.Étant donné un pointMdistinct de A, on sait que AM?= 2AM. DoncM?ap-

partient au cercleCde centre A et de rayon 2AM. De plus le pointM?appar- tient à la demi-droite image de [AM) par la réflexion d"axe?

O ;-→v?

. Comme cette demi-droite a pour origine le point A, elle coupe le cercleCen un seul pointM?. -22

2-2-4-6+

O-→u-→

v B ?AA?B

ΔMM

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE24 points

Enseignementobligatoire

R n pn? Rn+1 1 20

Rn+119

20 Rn+1 qn? Rn+1 1 5 Rn+14 5

1. a.L"énoncé dit quep

Rn(Rn+1)=15etpRn(Rn+1)=120.

Sur l"arbre pondéré on place ces deux probabilités. b.Par définition : p (Rn∩Rn+1)=pRn(Rn+1)×p(Rn)=1 20pn.

De même :

p?

Rn∩Rn+1?

=pRn(Rn+1)×p?Rn? =15qn. c.La loi des probabilités totales permet d"écrire que : p (Rn+1)=p(Rn∩Rn+1)+p?

Rn∩Rn+1?

soit : p n+1=1

20pn+15qn.

d.Commepn+qn=1, l"égalité précédente peut s"écrire : p n+1=1

20pn+15?1-pn?=15-320pn.

2. a.Quel que soit l"entiern,vn+1=pn+1-4

23=15-320pn-423=23-205×23-

3

20pn=3115-320pn=-320?

p n-423? =-320pn.

Cette égalité montre que la suite

(vn)nest une suite géométrique de rai- son-3 20.

Son premier terme estv1=p1-4

23=-423.

b.Doncpourtoutentiernaturelnnonnul,vn=? -3 20? n-1 -423? =-423? -320? n-1

On en déduit quepn=vn+4

23=-423?

-320? n-1 +423.
c.On a-1<-3

20<1 , donc limn→+∞?

-320? n-1 =0 et limn→+∞-423×? -320? n-1 0.

Finalement lim

n→+∞pn=4 23.

EXERCICE24 points

Enseignementde spécialité

1.N2est premier.N3n"est pas premier car divisible par 3.N4n"est pas premier

car 1111=11×101.

Centres étrangers2juin 2004

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On sait que pour tout réelx?=1, 1+x+x2+...+xp-2+xp-1=1-x(p-1)+11-x=

x p-1 x-1. En particulier, en prenantx=10, on obtientNp=10p-1

10-1=10p-19.

D"où 10

p-1=9×NpavecNp?N?. Donc 10p-1 est divisible par 9. (Ou :Np

étant naturel 10p-1 est divisible par 9).

3.Notons [1] l"égalité suivante :xn-1=(x-1)?1+x+···+xn-2+xn-1?.

a.AvecNp=N2q=102q-1

9=100q-19Or d"après [1] avecx=100 etn=q,

on a : 100 ParconséquentNp=11×?1+100+···+100q-2+100q-1?estdivisible par 11.

Autre méthode : N

montre queN2qest divisible par 11. b.Np=N3q=103q-1

9=1000q-19.

Or d"après [1] avecx=1000 etn=q, on a :

1000
Par conséquentNp=111×?1+x+···+xq-2+xq-1?est divisible par 111. Autre méthode :On peut faire des paquets de trois termes qui sont mul- tiples de 111 c.Np=Nkq=10kq-1

9=(10k)q-19.

Or en appliquant [1] avecx=10ketn=q, on a :

9= 10k-1 Or ?1+x+···+xq-2+xq-1?est un entier naturel non nul. FinalementNp est divisible parNk.

4.Sipn"est pas premier, alorsNpn"est pas premier (carNpest divisible parNk

avec 1Problème9 points

Partie A

1.g(0)=0 etg(1)=1.

La fonction exp est dérivable surRalors la fonctionx?-→ex-1est dérivable sur [0; 1] donc par produit la fonctiongest dérivable sur [0; 1]. g ?(x)=ex-1+xex-1=(1+x)ex-1.Orex-1>0 et pourx?[0 ; 1], 1+x>0. Donc pour toutx?[0 ; 1],g?(x)>0. Doncgest strictement croissante sur [0; 1]. Donc la fonctiongvérifie les conditions (1) et (2).

Centres étrangers3juin 2004

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.g(x)-x=xex-1-x=x?ex-1-1?=x?exe-1?

=xex-ee. g(x)-x=x e(ex-e).

0?x?1?e0?ex?e1??1?ex?e. Donc ex-e?0.

La fonctiongvérifie la condition (3).

3.Le graphe est dessiné ci-dessous

00,20,40,60,8

0 0,5

Partie B

1.Remarque : On admet que la fonctionfest continue sur [0; 1], cette hypo-

thèse a été omise dans l"énoncé. Les fonctionsx?-→xetfsont continues sur l"intervalle [0; 1]. Deplus quel que soitx?[0 ; 1],x?f(x). Doncl"intégrale? 1 0 (x-f(x))dxest l"aire exprimée en unité d"aire de la surface limitée par la droite d"équation y=x, la courbe représentantfet par les droites verticales d"équationsx=0 etx=1.

En conséquence I=?

1 0 (x-f(x))dx

2.Ig=?

1 0 (x-g(x))dx=? 1 0 xdx-? 1 0 g(x)dx.

Or d"une part

1 0 xdx=?x2 2? 1

0=12et d"autre part?

1 0 g(x)dx=? 1 0 xex-1dx. Pour calculer cette dernière intégrale on pose : u(x)=x v ?(x)=ex-1d"oùu?(x)=1 nues, on intègre par parties : 1 0 g(x)dx=?xex-1?10-? 1 0 ex-1dx=1-?ex-1?10=1-1+e-1=1 e.

Finalement I

g=1 2-1e.

3. a.In=?

1 0 (x-fn(x))dx=? 1 0 xdx-? 1 0 fn(x)dx=1 2-un.

Centres étrangers4juin 2004

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Pour tout entiern?2 et pour toutt?[0 ; 1],t?1 donct×tn?1×tn donctn+1?tn. De plus 1+t>0 ainsi que son inverse, donc pour t?[0 ; 1],tn+1

1+t?tn1+t.

Donc quel que soitt?[0 ; 1],2tn+1

1+tet en intégrant sur [0; 1] on obtient

u n+1?un.

Donc la suite

(un)est décroissante.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7