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Année 2007-20081èreSSVT
La démonstration par récurrence
Dans toute la suitenappartientàN.
La démonstrationparrécurrencesertlorsqu"onveut démontrerqu"une propriété,dépendantde n, est vraie pour toutes les valeurs den. On appelle dans ce casPnla propriétéen question. On est ainsi amené à montrer que la propriétéPnest vraiepour toutesles valeursden. P1?P0?P2?P3?P4?······
Exemple :Prenons un exemple simple pour illustrer le raisonnement par récurrence. On veut montrer par récurrence la propriété : ??pour tout entiernon a : 0+1+2+···+n=n(n+1) 2.??Pour n"importe quel entiernon appellePnla propriété (à démontrer):??1+2+···+n=n(n+1)
2??. On peut à présent démontrer par récurrence que :??0+1+2+···+n=n(n+1)2pour tout entiern??.
La démonstration par récurrencese fait en trois étapes : •Initialisation: on vérifie que la propriété est vraie pour la première valeur den(souvent n=0).On vérifie donc queP0est vraie.
P 1?P0vraieP2?P3?P4?······
Exemple :
•Initialisation: icin=0 doncn(n+1)2=0×(0+1)2=0 et ainsi la propriétéP0est vraie. •Hérédité:on démontre la propriété suivante :??si la propriété est vraie pour un certain rangk(n"importe lequel)
alors la propriété est vraie pour le rang juste après c"est-à-dire pour le rangk+1??.PkvraiePk+1?transmission
La propriété se transmet de la valeur de l"indicekà la valeur de l"indicek+1.On dit que la propriété est
héréditaire.Page 1/2
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Exemple :•Transmission:
Sila propriétéPkest vraie(pour un certain k)montrons qu"alorsPk+1est vraie aussi . On sait (par hypothèse de récurrence) : 0+1+2+···+k=k(k+1) 2. On veut démontrer que : 0+1+2+···+(k+1)=(k+1)?(k+1)+1?2=(k+1)(k+2)2.
On a 0+1+2+···+(k+1)=0+1+2+···+k+(k+1) . Par ailleurs d"après l"hypothèse de récurrence 0+1+2+···+k=k(k+1)2donc 0+1+2+···+(k+1)=k(k+1)2+(k+1) .
On a ensuite
k(k+1)2+(k+1)=k(k+1)2+2(k+1)2=(k+1)(k+2)2et donc il suit que
0+1+2+···+(k+1)=(k+1)(k+2)
2.La propriétéPk+1est ainsi vraie.
On a donc bien montré que si
Pkest vraie alorsPk+1l"est aussi.
•Conclusion:les deux étapes précédentes permettent de conclure que la propriété est vraie pour tous les entiersn.
En effet la propriétéest vraie au rang 0 donc avec l"étape d"hérédité elle devient vraie au rang 1. On peut
alors réappliquer l"étape d"hérédité au rang 1 et la propriété devient vraie au rang 2.
En réappliquant l"étape d"hérédité de proche de proche, il suit que la propriété est vraie pour tous les
entiersn.