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Chapitre 1

Nombres reels

Avertissement

L'integralite de ce chapitre n'est pas a strictement parler au programme de ce cours. On a juge qu'il serait

interessant de revoir ici des notions elementaires sur les nombres entiers, rationnels ou reels mais egalement,

pour certains etudiants, de voir comment le mathematicien s'y prend pour donner aux nombres reels un cadre

strictement formel. On repart donc de zero (et un peu plus) en donnant une denition desnombres entiers naturels, des

operations sur ces nombres et leurs proprietes. Les nombres naturels doivent leur nom au fait qu'ils servent a

compter, et la denition mathematique essaie de repartir de cet usage, mais la formulation reste delicate : la

limite entre ce qui est intuitif et ce qui est mathematique n'est pas facile a cerner en premiere lecture.

On introduit ensuite lesnombres entiers relatifset lesfractions rationnelles. Ils sont assez faciles a denir,

et les dicultes se concentrent plus sur leur manipulation et sur l'ecriture decimale, ou l'ecriture en baseb.

Le chapitre culmine avec l'introduction desnombres reels. On en donne deux denitions (mais on ne cherchera

pas a montrer qu'elles sont equivalentes). La premiere denition s'appuie sur l'usage qui consiste a donner une

ecriture decimale des nombres. Cette ecriture est en realite plus dicile a ma^triser et a manipuler qu'il n'y

para^t au premier abord. La deuxieme denition s'appuie sur la notion de coupure. C'est une notion nouvelle et

abstraite, mais elle permet de donner une denition des nombres reels exempte d'ambigute. Ces deux denitions

seront utilisees pour donner une demonstration du premier theoreme du prochain chapitre : le theoreme de la

borne superieure. (L'etudiant pourra choisir d'admettre ce theoreme. La demonstration n'est pas essentielle

dans la suite cours.)

Sommaire1.1 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1.1 Denitions, notations et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.3 Divisibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1 Denitions, notations et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.3 Divisibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.1 Denitions, notations et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.3Ecriture en base b et ordre lexicographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

1.4 Nombres reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.2 Denition des nombres reels par leur ecriture en base b . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.3 Coupures deQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1.4.4 Denition des nombres reels a partir des coupures deQ. . . . . . . . . . . . . . . .29

1.4.5 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4.6 Racine n-ieme d'un nombre reel et puissance fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . .

30 m
aj 28 ao^ut, 20179Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018

Chapitre 1. Nombres r

eels1M001Analyse et Algebre pour les Sciences1.1 Entiers naturels A quelques exceptions pres, les enonces de cette section sont admis sans demonstration.

1.1.1 Denitions, notations et operationsLes nombres entiers naturels sont les nombres 0, 1, 2, 3, etc. Il y a un nombre initial qui est 0; il a un successeur

qui est 1, qui a lui-m^eme un successeur qui est 2, et ainsi de suite. 1 On noteN t0;1;2;3;:::ul'ensemble des nombres entiers naturels. C'est un ensemble inni.

On noteN t1;2;3;4;:::ul'ensembleNprive de 0.

On ecrit :

|mPNpour signier quemest un nombre entier naturel, |pm;nq PN2pour signier quemetnsont deux nombres entiers naturels, |pm;nq PNNpour signier quemest un nombre entier naturel etnun nombre entier naturel non nul, etc.

Il est d'usage de representer les nombres entiers naturels par des points sur une droite (souvent horizontale),

equidistants les uns des autres, le point representant un nombre etant situe au milieu des points representant

son predecesseur et son successeur. On comprend aisement que tous les points sont situes sur une demi-droite

d'extremite 0 (souvent a droite de 0). Cela donne la gure suivante, qu'on appelle l'axe des entiers :0 1 2 3 4 5 6 7 8 9On donnera au fur et a mesure de l'avancement du cours les usages qu'on peut faire de cette representation.

Denition 1.1Soits:NÑNl'application qui a tout entier associe son successeur. (Tout nombre non nul

est le successeur d'exactement un nombre.) On denit l'addition, la multiplication et la puissance surNcomme

suit : pour toutmPN:m0m (i)$ pour toutmPN:m00 pour toutmPN:m01 pour toutpm;nq PN2:mspnq spmnq (ii)$ pour toutpm;nq PN2:mspnq pmnq m pour toutpm;nq PNN:mspnq pmnq m Ce qui est equivalent a dresser les tables de ces operations, en procedant comme suit : la p ropriete(i) p ermet de remplir la premi erecolonne (p ourlaquelle n0 dans les tables ci-dessous) etla propri ete(i i)p ermetde remplir les autres colonnes succ essivement : m mn n0123 spqñspqñspqñspqñ00123 11234
22345

33456.

..m mn n0123 mñmñmñmñ00000 10123
20246

30369.

..m m nn0123 mñmñmñmñ11111 21248

313927

4141664.

..1. Il est evidemment problematique de donner une denition des nombres entiers naturels alors que ceux-ci sont deja connus.

La propriete essentielle sur laquelle on s'appuie est elementaire : il y a un premier nombre et chaque nombre a un successeur.

On peut ainsi en donner la construction suivante qui s'appuie sur la theorie des ensembles : les nombres entiers naturels sont des

ensembles; on prend pour nombre initial (c.-a-d. 0) l'ensemble videtu, et on prend pour successeur d'un nombren(qui est un

ensemble) l'ensemblenYtnu, autrement dit, le successeur denest l'ensemble dont les elements sont ceux den, auxquels on ajouten

lui-m^eme; la succession des nombres entiers naturels est donc la suivante :

0 tu, 1 t0u tu(, 2 t0;1u !

tu; tu() , 3 t0;1;2u " tu; tu(;! tu; tu()* , etc.

Cela permet de denir les entiers naturels en dehors de tout contexte autre que la theorie des ensembles, mais cela n'apporte rien

d'essentiel a la comprehension de ce qui suit. UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen10maj 28 ao^ut, 2017

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 1. Nombres reelsOn dit que :

|mnest la somme demetn, |mnest le produit demetn(on le note egalementmnou tout simplementmn), |mnest la puissancen-ieme dem. Sur l'axe des entiers, l'addition consiste en un decalage vers la droite :0 1 2 3 4 5

3`26 7 8 9`2et la multiplication par un changement d'echelle (la longueurmnest mesuree par la longueurmrepeteenfois) :0 1 2 3 4 5 6

2ˆ37 8 9`2`2`2

ˆ3Remarque 1.2

0 1 2 3 4 5

3`26 7 8 9`2(1)Les paren thesesdans l'expression pmnqmindiquent qu'on eectue d'abord l'operation de multiplication

mnpuis qu'on additionne le resultat de cette operation avecm. Il en va de m^eme dans l'expression pmnq m. (2)

T outefois,l'usage v eutque, dans une expression o ul'addition ,la m ultiplicationet l apuissance in ter-

viennent, on eectue en premier les operations de puissance, puis celles de multiplication et enn celles

d'addition. Ainsi on peut ecriremnm, a la place depmnqmetmnma la place depmnqm. (3) Comme sp0q 1, la denition de l'addition montre quem1 n'est rien d'autre quespmq. On ecrira donc m1 en lieu et place despmq. On peut alors reformuler la denition de l'addition ainsi : pour toutmPN: m0met pour toutpm;nq PN2:m pn1q pmnq 1. (4)

On con vient egalementque 0

n0 pour toutnPN, mais l'usage est de ne pas donner de valeur a 00.

Theoreme et Denition 1.30 1 2 3 4 5

3`26 7 8 9`2L'addition et la multiplication verient surNles proprietes suivantes :

(NeA) p ourtout nPN:n00nn; on dit que 0 est element neutre pour l'addition; (CoA) p ourtout pm;nq PN2:mnnm; on dit que l'addition est commutative; (AsA) p ourtout pm;n;pq PN3:pmnq pm pnpq; on dit que l'addition est associative; (NeM) p ourtout nPN:n11nn; on dit que 1 est element neutre pour la multiplication; (AbM) p ourtout nPN:n00n0; on dit que 0 est un element absorbant pour la multiplication; (CoM) p ourtout pm;nq PN2:mnnm; on dit que la multiplication est commutative; (AsM) p ourtout pm;n;pq PN3:pmnq pm pnpq; on dit que la multiplication est associative; (DiMA) p ourtout pm;n;pq PN3:pmnq p pmpq pnpqetm pnpq pmnq pmpq; on dit que la multiplication est distributive par rapport a l'addition; (Int) p ourtout pm;nq PN2:mn0 si et seulement sim0 oun0.

Remarque 1.40 1 2 3 4 5

3`26 7 8 9`2L'addition et la multiplication etant associative, on peut desormais omettre l'usage des pa-

rentheses dans les expressionspmnqpetmpnpqet ecriremnp, et faire de m^eme pour le produit mnp. Cela permet d'ecrire, sinPN:mnmm mlooooooooomooooooooon nfoisetmnmm mlooooooooomooooooooon nfois.

Proposition 1.50 1 2 3 4 5

3`26 7 8 9`2La puissance verie les proprietes suivantes :

(a) p ourtout pm;p;qq PNN2:mpmqmpqetmpqmpq; (b) p ourtout pm;n;pq P pNq2N:mpnp pmnqp. (Ces relations sont vraies egalement, pour toutpp;qq P pNq2, sim0 oun0.) m aj 28 ao^ut, 201711Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018

Chapitre 1. Nombres r

eels1M001Analyse et Algebre pour les SciencesLemme 1.6 (a) P ourtout pm;n;pq PN2N, on amnsi et seulement simpnp. (b) P ourtout pm;n;pq PN2N, on amnsi et seulement simpnp. (c) P ourtout pm;n;pq PN2N, on amnsi et seulement simpnp. Denition 1.7On denit la soustraction et la division et l'extraction de racine surNcomme suit : si pm;nq PN2et s'il existe un nombrepPNtel quempn, on dit alors quepest la dierence dem et denet on ecritpmn. si pm;nq PNNet s'il existe un nombrepPNtel quempn, on dit alors quepest le quotient dem parnet on ecritpmn si pm;nq PNNet s'il existe un nombrepPNtel quempn, on dit alors quepest la racinen-ieme demet on ecritpn?m. Sur l'axe des entiers, la soustraction consiste en un decalage vers la gauche :0 1 2 3

5´24 5

3`26 7 8 9´2et pour la division, le quotientpmn

indique quel est la longueurpqui, repeteenfois, permet de mesurer la longueurm:0 1 2 6

33 4 5 6

2ˆ37 8 9`2`2`2

ˆ3Proposition 1.8

(a) Soit pm;r;n;sq PN4; on suppose qu'on peut soustrairendemetsder, alorsmnrssi et seulement simsrn. (b) Soit pm;r;n;sq PN2 pNq2; on suppose qu'on peut divisermparnetrpars, alorsmn rs si et seulement simsrn. (c) Soit pm;r;n;sq PN2 pNq2; on suppose qu'on peut extraire la racinen-ieme demet la racines-ieme der, alorsn?ms?rsi et seulement simsrn.

1.1.2 Ordre

Denition 1.9Soitpm;nq PN2. S'il existepPNtel quenmp, on dit quemest inferieur ou egal an

0m n`pProposition et Denition 1.10La relation

(Re) exive; (ASy) (Tr) Denition 1.11On appelle relation d'ordre une relation qui, comme la relation exive, anti- symetrique et transitive. UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen12maj 28 ao^ut, 2017

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 1. Nombres reelsProposition et Denition 1.12La relation

(To) (CpA) avec l'addition; (CpM) avec la multiplication. que m n(oun¡m). Proposition 1.15(a)P ourtout pm;nq PN2:m nsi et seulement s'il existepPNtel quenmp. (b) (c)

La relation

! "est transitive et antisymetrique, mais elle n'est pas re exive. (Ce n'est donc pas une relation d'ordre au sens deni ci-dessus.) (d)

La relation

! "est compatible avec l'addition, la multiplication.

Theoreme et Denition 1.16(Arch)P ourtout pm;nq P pNq2, il existepPNtel quem pn; on dit queNest archimedien.

1.1.3 Divisibilite

Denition 1.17Soitpm;nq P pNq2. S'il existeqPNtel quenmq, on dit que!nest multiple dem", ou que !mest un diviseur den", ou encore que!mdivisen", et on ecrit :!m|n". Simn'est pas un diviseur den, on ecrit!m-n".

Sim|n, alors, sur l'axe des entiers naturels, le segmentr0;nspeut-^etre subdivise en plusieurs segments de

longueurm.0m2mn"mq`m`m`m`m

ˆqExemple 1.18

(1) T outnom breen tiernaturel ¥2 possede au moins deux diviseurs dansN: 1 et lui m^eme. (2) Les diviseurs de 60 dans Nsont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. (3)

7 -60.

Proposition 1.19La relation

!|"est une relation d'ordre surN. (Ce n'est pas une relation d'ordre totale; on dit que c'est une relation d'ordre partielle.) Denition 1.20On dit qu'un nombre entier naturel non nulpest premier s'il a exactement deux diviseurs dansN: 1 et lui m^eme (ce qui sous-entend quep1).

Exemple 1.21Les nombres premiers compris entre 1 et 100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,

41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Denition 1.22On dit que deux nombres entiers naturels non nuls sont premiers entre eux s'ils ont un unique diviseur en commun dansN, a savoir 1. m aj 28 ao^ut, 201713Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018

Chapitre 1. Nombres r

eels1M001Analyse et Algebre pour les SciencesExemple 1.23 (1)

8 et 15 son tpremie rsen treeux car les divi seursde 8 son t1, 2, 4 et 8 et les diviseurs de 15 son t1, 3, 5 et 15.

(2)

6 et 15 ne son tpas premiers en treeux car 3 est un diviseur comm unde 6 et de 15.

(3) Si pest un nombre premier et sinPNet sip-nalorspetnsont premiers entre eux. Denition 1.24On appelle pgcd de deux nombres entiers naturelsmetnnon nuls le plus grand nombre entier natureldtel qued|metd|n. Ce nombre est note pgcdpm;nqoum^n. Lemme 1.25Soitpm;nq P pNq2,dpgcdpm;nqetaetbtels quemadetnbd. Alorsaetbsont premiers entre eux

Preuve :En eet, soitkun diviseur commun deaetb. Il existe alors des entiers naturels non nulsuetvtels

queauketbvk. On a alorsmukdetnvkdce qui montre quekdest un diviseur commun demetn.

Ordest le plus grand diviseur commun demetn, d'ouk1.Theoreme et Denition 1.26(Division euclidienne)Soitpa;bq PNN. Il existe un unique couplepq;rq PN2tel que :

(i)abqr, (ii) On appelleqle quotient, etrle reste, de la division euclidienne deaparb. Preuve :On montre tout d'abord l'existence depq;rqveriant les proprietes voulues. donc 0PE. De plus, commeNest archimedien, il existe un entierNtel quea bNet on a alors pour tout N

1¥N:a bN1. Cela montre queEest un ensemble ni (inclus danst0;1;:::;N1u); il possede donc un

bqrbq1r1on deduit donc l'egalite :bpq1qq rr1. Mais alors, on a :bpq1qq ¥b, carq1q¥1,

On en deduit queq q1est impossible, et on montre de la m^eme maniere queq1 qest egalement impossible,

ce qui montre queqq1, et il en decoule querr1.Exemple 1.2717532 est la division euclidienne de 17 par 5.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5ˆ316 17

5ˆ3`218 19 20`5`5`5`2

ˆ31.2 Entiers relatifs

On veut etendre l'ensemble des entiers naturels de sorte que, dans le nouvel ensemble obtenu,yxsoit deni

pour toutxet touty. Cela permet egalement d'etendre l'axe des entiers naturels vers la gauche. UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen14maj 28 ao^ut, 2017

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 1. Nombres reels1.2.1 Denitions, notations et operations

Denition 1.28Les nombres entiers relatifs sont de trois types : les nom bresen tiersstrictemen tp ositifs,not esn(ou tout simplementn), ounPN, les nom bresen tiersstrictemen tn egatifs,not esn, ounPN, le nom bren ulnot e0. L'entier naturelns'appelle la valeur absolue des entiers relatifsn(oun) etn. On ecritn |n| |n|.

On note :

|Zl'ensemble des entiers relatifs, |ZNl'ensemble des entiers relatifs positifs ou nuls (0 ou un nombre de la formenounPN), |Zl'ensemble des entiers relatifs negatifs ou nul (0 ou un nombre de la formenounPN). |Zl'ensemble des entiers relatifs non nuls (de la formenounavecnPN), |ZNl'ensemble des entiers relatifs strictement positifs (de la formenounPN),

|Zl'ensemble des entiers relatifs strictement negatifs (de la formenounPN).´5´4´3´2´10 1 2 3 4 5Denition 1.29On denit surZl'addition et la multiplication par :

p ourtout nPZ: 0nn0net 0nn00, p ourtout pm;nq PN2:pmq pnq pmnqetpmq pnq pmnq, p ourtout pm;nq PN2:pmq pnq pnq pmq $ %pnmqsim n,

0 simn,

pmnqsim¡n, p ourtout pm;nq PN2:pmq pnq pmq pnq pnmqetpmq pnq pnq pmq pnmq L'addition est representee ainsi sur l'axe des entiers :´6´5´4´3´2´10 1 2 3 4 5 6 `5 ´3On peut convenir que la multiplication par un nombre positif soit representee par une eche orientee dans le m^eme sens que le terme multiplie :

´6´5´4´3´2´10 1 2 3 4 5 6

`2`2`2 ˆ3

2ˆ3

´2´2´2

ˆ3 p´2q ˆ3et que la multiplication par un nombre negatif soit representee par une eche orientee dans le sens contraire du terme multiplie :

´6´5´4´3´2´10 1 2 3 4 5 6

´2´2´2

ˆp´3q

p´2q ˆ p´3q `2`2`2

ˆp´3q

2ˆ p´3qRemarque 1.30Les denitions qui precedent, notamment les regles des signes dans la multiplication, sont

posees de telle sorte que les proprietes de l'addition et de la multiplication surNsoient egalement vraies surZ,

d'ou l'enonce suivant. m aj 28 ao^ut, 201715Laurent Koelblen|UPMC 2017{2018

Chapitre 1. Nombres r

eels1M001Analyse et Algebre pour les SciencesTheoreme et Denition 1.31L'addition et la multiplication verient surZ(comme surN) les proprietes

suivantes (cf. Theoreme 1.3) : (NeA)

0 est elementneutre p ourl'addition ;

(CoA) l'addition est comm utative; (AsA) l'addition est asso ciative; (NeM)

1 est elementneutre p ourla m ultiplication;

(AbM)

0 est elementabsorban tp ourla m ultiplication;

(CoM) la m ultiplicationest comm utative; (AsM) la m ultiplicationest asso ciative; (DiMA) la m ultiplicationest distributiv epar rapp ort al'addition ; (Int)Zest integre; auxquelles s'ajoute : (Opp) p ourtout mPZil existenPZtel quenm0; on dit que tout entier relatif a un oppose; on noteml'oppose demet on a :pmq mpour toutmPZ. Denition 1.32On appelle anneau commutatif unitaire integre tout ensemble muni de deux operations, "et!", veriant les dix proprietes ci-dessus. Denition 1.33On denit la puissance surZcomme suit : p ourtout mPZ:m01. p ourtout mPZetnPN:mnmm mlooooooooomooooooooon nfois; Proposition 1.34La puissance verie les proprietes suivantes : (a) p ourtout pm;p;qq PZN2:mpmqmpqetmpqmpq; (b) p ourtout pm;n;pq P pZq2N:mpnp pmnqp. (Ces relations sont vraies egalement, pour toutpp;qq P pNq2, sim0 oun0.) Denition 1.35On denit la soustraction, la division et l'extraction de racine surZcomme suit : p ourtout pm;nq PN2:mnm pnq; p ourtout pm;nq PZZ, s'il existepPZtel quempn, on ecritpmn p ourtout pm;nq PZN, s'il existepPZdu m^eme signe quemet tel quempn, on ecritpn?m.

1.2.2 Ordre

On denit une relation d'ordre totale surZde la maniere suivante :

Proposition et Denition 1.38La relation

dans le sens ou elle verie les proprietes suivantes : (CpA) Theoreme et Denition 1.39On dit queZest archimedien dans le sens ou : (Arch) p ourtout pm;nq PZ, il existepPNtel que|m| p|n|. UPMC 2017{2018|Laurent Koelblen16maj 28 ao^ut, 2017

1M001Analyse et Algebre pour les Sciences Chapitre 1. Nombres reels1.2.3 Divisibilite

La plupart des proprietes de divisibilite des entiers naturels d'etendent aux entiers relatifs, a condition de

modier un peu les denitions et les enonces. En voici quelques uns. Denition 1.40Soitpm;nq P pZq2. S'il existeqPZtel quenmq, on dit que!nest multiple dem", ou que !mest un diviseur den", ou encore que!mdivisen", et on ecrit :!m|n". Simn'est pas un diviseur den, on ecrit!m-n".

Denition 1.41On dit que deux nombres entiers relatifs non nuls sont premiers entre eux s'ils ont un unique

diviseur en commun dansN, a savoir 1. Denition 1.42On appelle pgcd de deux nombres entiers relatifsmetnnon nuls le plus grand nombre entier natureldtel qued|metd|n. Ce nombre est note pgcdpm;nqoum^n.

Theoreme et Denition 1.43(division euclidienne)Soitpa;bq PZZ. Il existe un unique couplepq;rq PZ2tel que :

(i)abqr, (ii) On appelleqle quotient, etrle reste, de la division euclidienne deaparb. Denition 1.44Soientpm;n;pq PZ2Z. S'il existekPZtel quenmkp, on dit quemetnsont congrus modulopet on ecritnmrps. Deux nombres sont congrus modulopsi et seulement si leurs restes, dans la division euclidienne parp, sont egaux. Exemple 1.45|17 532 est la division euclidienne de 17 par 5.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5ˆ316 17

5ˆ3`218 19 20`5`5`5`2

ˆ3|17 p5q p3q 2 est la division euclidienne de 17 par5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

p´5qˆp´3q16 17 p´5qˆp´3q`218 19 20´5´5´5`2 ˆp´3q|17 p5q 43 est la division euclidienne de17 par5.

´20

p´5qˆ4´19´18´17

p´5qˆ4`3´16´15´14´13´12´11´10´9´8´7´6´5´4´3´21 0´5´5´5´5

`3 ˆ4|175 p4q 3 est la division euclidienne de17 par 5.

´20

5ˆp´4q´19´18´17

5ˆp´4q`3´16´15´14´13´12´11´10´9´8´7´6´5´4´3´21 0`5`5`5`5

`3

ˆp´4qm

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