[PDF] [PDF] Chapitre 12 Intégrales à paramètre - Alain Camanes

[PDF] Intégrales dépendant dun paramètre - Maths-francefr

∂x, elle indique la variable par rapport à laquelle on a dérivé et dans (x, t), elle précise en quel point D'après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonction F est continue sur R (un calcul de l'intégrale de Gauss : ∫

[PDF] Intégrales dépendant dun paramètre - Exo7 - Cours de

∂ f ∂ x (x, t) dt On peut retenir l'abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx ∫ b

[PDF] Intégrales dépendant de paramètres - Département de

[Continuité d'une intégrale à paramètre] Si, au voisinage d'un point fixé (ii) pour tout x ∈ E, la fonction t ↦− → f(x, t) est dérivable, de dérivée : ∂f ∂t (x, t);

[PDF] Chapitre 17 :Intégrales dépendant dun paramètre

paramètre Fonctions d'une variable réelle, dérivation et intégration Page 1 sur 26 FG xgxf q q p p + = + ≤ Mais u et v sont intégrables sur I, d'intégrale 1

[PDF] Fonctions définies par une intégrale dépendant dun paramètre

23 déc 2012 · – On peut remplacer l'intervalle I de R par un ouvert Ω de Rn, les conditions de majorations étant alors sur chacune des dérivées partielles Page 

[PDF] 239 Intégrales dépendant dun paramètre Exemples et - Ceremade

6 jan 2010 · sur ]0, ∞[ Théorème 5 Pour tout (t, x) la dérivée partielle en x existe et est continue, pour tout t l'intégrale 

[PDF] Principaux théorèmes dintégration

Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions mesurables de E dans C, et f une fonction mesurable de E dans C Théorème (Théorème de dérivation sous l'intégrale)

[PDF] 1 Intégrales à Paramètres

Ici il est nécessaire de vérifier l'intégrabilité car seulement celle de la « dérivée » est assurée par la do- mination ▷ On peut remplacer, ici aussi, la domination 

[PDF] Chapitre 12 Intégrales à paramètre - Alain Camanes

Alors, pour tout entier naturel n, fn est intégrable, f est intégrable et ∫ Intégrales dépendant d'un paramètre Théorème 4 (Dérivation sous le signe intégral)

[PDF] Intégrales à paramètres

pose plusieurs questions : la dérivée de la limite est elle la limite des intégrale à paramètre donne lieu à des énoncés souvent plus agréables, et fort utiles;

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Notations.

K???????R??C?

Exercice 1.1.????fn=1n

R f n????Z R limnfn

2.???? ???? ?????? ???????n? ?? ????f(x) =n2x??x20;1n

??f(x) =n22n x??x21n ;2n Z [0;1]f n! Z [0;1] limnfn (i)?Régularité.8n2N; fn2C(I;K)? '2L1(I;R+)?

8 n2N;jfnj6'?

Z I lim n!+1fn = lim n!+1 Z I f n

Exercice 2.

1.??????? ???limn!+1Z

R +?t1 +ntn= 1?

2. Intégrale de

G AUSS.???? ????n2N??x2R? ?? ????fn(x) =

1x2n n?[0;pn[(x)? a)??????? ???Z R +f n!Z +1 0 ex2?x? +1 0 ex2?x? Z 2

0cos2n+1(t)?t!p

2 (i)?Régularité & Intégrabilité.8n2N; fn2L1(I;K)? (iii)?Régularité de la limite.+1P n=0f n2C(I;K)? (iv)?Domination.PZ I +1P n=0f Z I +1X n=0f n! =+1X n=0 Z I f n

Exercice 3.??????? ???

1. Z +1 0 +1X n=1e ntn 2! ?t=+1X n=11n 3? 2. Z 1

0ln(1 +x)x

?x=+1X +1 0 +1X n=1(1)nepnt ?t=+1X n=1(1)npn Théorème 3 (Continuité sous le signe intégral)?????f:IJ!K????? ??? (iii)?Domination.?? ??????'2L1(J;R+)??? ???8(x;t)2IJ;jf(x;t)j6'(t)? ??????x7!Z J J f(x;t)?t? (an)2S(I)????? ???an!x? Z J f(an;t)?t!Z J f(x;t)?t

1.????F:x7!Z

+1

1?tx+t3?

+1 0

3.????F:x7!Z

+1 0 extsinh(t)t ?t? (i)?Régularité en le paramètre.8t2J; x7!f(x;t)??? ?? ??????C1???I? (iii)?Régularité de la dérivée.8x2I; t7!@f@x (iv)?Domination de la dérivée.?? ??????'2L1(J;R+)????8(x;t)2IJ;@f@x (x;t)6'(t)? ??????g:x7!Z J f(x;t)?t??? ?? ??????C1???I??

8x2I; g0(x) =Z

J@f@x (x;t)?t:

Exercice 5.

1.??????? ???? ???? ????x >0?Z

+1

0sin(t)t

ext?t=2 arctan(x)?

2.????Fn(x) =Z

+1

0?t(t2+x2)n+1? ??????? ???F0n(x) =2(n+ 1)xFn+1(x)? ?? ??????? ????

???? ???? ???? ??? ????Fn(x) =(2n)!(2x)2n+1(n!)2?

Corollaire 5???????f:IJ!K?':J!R+??k2N?????? ???

(i)?Régularité en le paramètre.8t2J; x7!f(x;t)??? ?? ??????Ck???I? (ii)?Régularité des dérivées.8j2J0;kK;8x2I; t7!@jf@x ???J? (iii)?Domination des dérivées.

8j2J0;kK;9'j2L1(J;R+) ;8(x;t)2IJ;@jf@x

j(x;t)6'j(t): ??????g:x7!Z J f(x;t)?t??? ?? ??????Ck???I??

8j2J0;kK;8x2I; g(j)(x) =Z

J@ jf@x j(x;t)?t:

Exercice 6.

2. Fonction de

+1 0e t1 +xt?t? 0 a)t7!1?b)t7!et?c)t7!tn?

2.?? ??????? ???f??? ??????? ??????? ???L(f)??? ?????? ?? ?? ??????C1???R+?

3. Théorème de la valeur finale.?? ??????? ????? ?????? ?? ????`??? ??? ??? ???lim+1f(x) =`?

R +1?quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50