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DERNIÈRE IMPRESSION LE12 octobre 2017 à 9:08
Composition de fonctions, dérivées
successives et fonction réciproque
Table des matières
1 Dérivée de la composée2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Variation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Le théorème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Dérivées successives5
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Relation de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Interprétation de la dérivée seconde. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Dérivée de la fonction réciproque7
3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone. . . . . . . . . . . . 7
3.2 Représentation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
1 Dérivée de la composée
1.1 Définition
Définition 1 :Fonction composée defparg
On appelleg◦fdéfinie surDfpar :g◦f(x) =g[f(x)] Remarque :Celarevientàappliquersuccessivementlafonctionfetlafonctiong. x f----→y=f(x)g----→z=g(y) =g[f(x)]=g◦f(x) Cela nécessite la conditionf?Df??Dg, i.e. :?x?Df,f(x)?Dg. soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement parf(x) =x+3 etg(x) =lnx. La fonctiong◦fest telle queg◦f(x) =ln(x+3) La fonctionfest définie surR, mais comme on applique ensuite la fonction ln, il est nécessaire d"avoirf(x)>0, soitx+3>0?x>-3.
On réduit doncDfà]-3 ;+∞[
?La composée de deux fonctions n"est pas une opération commutative. En effet dans la plupart des casg◦f?=f◦gcomme sur l"exemple suivant : Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =x-2 etg(x) =4x+3. Les deux fonctions étant définies surR, les fonctionsg◦fetf◦gsont donc aussi définies surR. On a alors : g◦f(x) =g(x-2)=4(x-2) +3=4x-5 f◦g(x) =f(4x+3)= (4x+3)-2=4x+1 Exemple :Décomposer les fonctionsf1,f2etf3suivantes en fonctions élémen- taires en précisant leur ensemble de définition : f
1(x) =1
3x-1f2(x) =?4-x2f3(x) =ln(ex+2)
f1est définie surR-?13?
et l"on décomposef1=h◦gavec : g(x) =3x-1 eth(x) =1 x f2est définie sur[-2 ; 2]et l"on décomposef2=k◦h◦gavec : g(x) =x2h(x) =4-xetk(x) =⎷ x f3est définie surRet l"on décomposef3=k◦h◦gavec : g(x) =exh(x) =x+2 etk(x) =lnx Remarque :La composition de fonctions est une opération associative : h◦(g◦f) = (h◦g)◦f=h◦g◦f
PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
1.2 Variation d"une fonction composée
Théorème 1 :Soit les fonctionsfetgdéfinies respectivement sur I etf(I). Sifetgontmême variationresp.t sur I etf(I)alors la fonctiong◦fest croissantesur I. Sifetgont desvariations opposésresp. sur I etf(I)alors la fonctiong◦f estdécroissantesur I. Démonstration :Nous ferons la démonstration pour une fonctionfcroissante sur I et une fonctiongdécroissante surf(I). fest croissante sur I :?x1,x2?I,x1
On a donc :?x1,x2?I,x1g[f(x2)] La fonctiong◦fest décroissante sur I.
Exemple :Soit la fonctionhdéfinie sur]-∞;1]parh(x) =⎷ 1-x 1) Décomposerhen deux fonctions élémentaires.
2) Déterminer les variations deh.
1) La fonctionhse décompose eng◦f, avec :f(x) =1-xetg(x) =⎷x
2) On sait que la fonction :
fest décroissante sur]-∞; 1]etf(]-∞; 1]) = [0 ;+∞[ gest croissante sur[0 ;+∞[
d"après le théorème des fonctions composées,hest décroissante sur]-∞; 1] ?Il n"est donc pas nécessaire pour ce cas particulier de déterminer le signe de la dérivée pour connaître les variations de la fonctionh. 1.3 Le théorème
Théorème 2 :Soituetvdeux fonctions dérivables respectivement sur les intervalles I et J tel queu(I)?J. Soit la fonctionfdéfinie sur I par :f=v◦u
La fonctionfest dérivable sur I et :f?=u?×v?◦u. Démonstration :Soitaun point de I etxun point de I du voisinage dea. Calculons le taux de variation de la fonctionfena. PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
1. DÉRIVÉE DE LA COMPOSÉE
f(x)-f(a) On poseX=u(x)etA=u(a), on a donc :
f(x)-f(a) x-a=v(X)-v(A)X-A×u(x)-u(a)x-a SurIlafonctionuestcontinuecardérivable,donc limx→aX=limx→au(x) =u(a) =A. Commeuetvsont dérivables respectivement sur I et J, on passe à la limite : lim X→Av(X)-v(A)
X-A=v?(A)
lim x→au(x)-u(a) Par produit, on a :
lim x→af(x)-f(a)x-a=u?(a)×v?(A) La fonctionfest dérivable en tout point de I, commeA=u(a), on a alors : f ?=u?×v?◦u. 1.4 Applications
Déterminer la dérivée de la fonctionf(x) =cos?x-12x+1? On décompose la fonctionfen :???u(x) =x-1
2x+1 v(x) =cosx La fonctionuest une fonction rationnelle donc dérivable surR-? -1 2? La fonctionvest dérivable surR.
La fonctionfest donc dérivable surR-?
-1 2? . On dérive alors la fonc- tionf: f ?(x) =u?(x)×v?◦u(x) =(2x+1)-2(x-1) (2x+1)2×? -sin?x-12x+1?? -3 (2x+1)2sin?x-12x+1? Soit la fonctionfdéfinie pour toutx?=1 par :f(x) =x2+1x-1 a) Calculer la dérivéef?de la fonctionf. b) En déduire la dérivée des fonctionsgethsuivantes : g(x) =x+1 ⎷x-1eth(x) =x4+1x2-1 a) On dérive la fonctionf:f?(x) =2x(x-1)-(x2+1) (x-1)2=x2-2x-1(x-1)2 PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
2. DÉRIVÉES SUCCESSIVES
b) Ondécompose alorslesfonctionsgethàl"aidedelafonctionfet d"une autre fonction élémentaire. g(x) =x+1 ⎷x-1=(⎷ x)2+1⎷x-1eth(x) =x4+1x2-1=(x2)2+1(x2)-1 On pose alors les fonctionsuetvdéfinies par :u(x) =⎷ xetv(x) = x 2 On a donc :g=f◦ueth=f◦v
Ensembles de dérivation :
gest dérivable sur]0 ; 1[?]1 ;+∞[ hest dérivable surR-{-1 ; 1} On dérive alors les fonctionsgeth, à l"aide de la composée de fonc- tions : g ?(x) =u?(x)×f?◦u(x) =1 2⎷x×(⎷
x)2-2⎷x-1 (⎷x-1)2=x-2⎷ x-1 2⎷x(⎷x-1)2
h ?(x) =v?(x)×f?◦u(x) =2x×(x2)2-2(x2)-1 ((x2)-1)2=2x(x4-2x2-1)(x2-1)2 2 Dérivées successives
2.1 Définition
Définition 2 :Soit une fonctionfdérivable surD. Sa fonction dérivéef?est appelé dérivée première (ou d"ordre 1) de la fonctionfsurD. dérivée seconde (ou d"ordre 2) de la fonctionf. Par itération, pour tout natureln?2, on définit la fonction dérivéen-ième (ou d"ordren), notéef(n)comme étant la fonction dérivée de la fonction dérivée d"ordre(n-1), soit : f (n)=? f(n-1)?? Exemple :Déterminer les dérivées d"ordre 1, 2 et 3 des fonctions suivantes: f(x) =x3-2x2+x-1
f ?(x) =3x2-4x+1 ,f??(x) =6x-4 ,f(3)(x) =6 g(x) =cos2x+sin2x
g ?(x) =-2sin2x+2cos2x,g??(x) =-4cos2x-4sin2x=-4g(x) g (3)(x) =8sin2x-8cos2x=-4g?(x) PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
2. DÉRIVÉES SUCCESSIVES
2.2 Relation de récurrence
Soit la fonctionfdéfinie sur]-1 ;+∞[par :f(x) =ln(x+1) a) Calculer les dérivées d"ordre 1, 2, 3 et 4. En déduire une conjecture quant à la la dérivée d"ordren. b) Démontrer par récurrence cette conjecture. a)f?(x) =1x+1f??(x) =-1(x+1)2f(3)(x) =2(x+1)3 f (4)(x) =-2×3 (x+1)4 On s"aperçoit que les dérivées successives ont alternativementun signe "+», quand l"ordre de la dérivée est impair, et un signe "-», quand l"ordre de la dérivée est pair. La puissance au dénominateur augmente de 1 à chaque fois que l"on dérive. La puissance est liée à l"ordre de la dérivée. Le coefficient du numérateur est quant à lui multiplié, à chaque dérivation, par la puissance du dénominateur. On peut raisonnablement conjecturer que : ?n?N?,f(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n b) Soit la propriétéPn, pourn?1 :f(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n Initialisation :Pourn=1,f?(x) =1
x+1=(-1)00!(x+1). La propositionP1 est vérifiée. La proposition est initialisée. Hérédité :Soitn?N?, supposons quef(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n, montrons alors quef(n+1)=(-1)nn! (x+1)n+1 On rappelle que
?1 un? =-nun+1 Si l"on dérivef(n), on obtient alors :
f (n+1)=-(-1)n-1(n-1)!×n (x+1)n+1=(-1)nn!(x+1)n+1 La proposition est héréditaire.
Par initialisation et hérédité :?n?N?,f(n)=(-1)n-1(n-1)! (x+1)n PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE
2.3 Interprétation de la dérivée seconde
Définition 3 :Lorsque la dérivée secondef??d"une fonctionfest positive sur I, la fonction dérivéef?est alors croissante. La courbeCfde la fonctionfest alors toujours au dessus de sa tangente en un point quelconque de I. On dit alors que la courbeCfestconvexe. Dans le cas où la dérivée seconde est négative, la fonction dérivéef?est alors décroissante. La courbeCfest alors toujours au dessous de sa tangente, la courbe C fest ditesconcave. Lorsque la dérivée seconde s"annule enx=a, la courbe possède au pointA d"abscissex=aunpoint d"inflexion, c"est à dire que d"un côté du pointAla courbeCfest au dessus de la tangente et de l"autre côté en dessous. Point d"inflexion
f ??(a) =0? Concave
Convexe
La courbe est au
dessus de la tan- gentef??(x)>0La courbe est endessous de la tan-gentef??(x)<0B A I a 3 Dérivée de la fonction réciproque
3.1 Fonction réciproque d"une fonction monotone
Théorème 3 :Soit une fonctionfmonotone de I dansf(I) =J. La fonction fdéfinit alors une bijection de I sur J. La fonctionfadmet alors une fonction réciproque, notéef-1, monotone de J dans I telle que : y=f(x)?x=f-1(y) PAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR
3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE
Exemple :
La fonction carrée est monotone (croissante) deR+dansR+. racine carrée. La fonction exp est monotone (croissante) deRdansR?+. Elle admet une fonction réciproque deR?+dansRqui est la fonction ln. La fonction sinus est monotone (croissante) de? -π2;π2? dans[-1 ; 1]. Elle admet donc une fonction réciproque de[-1 ; 1]dans? 2;π2?
qui est la fonction arcsin ou sin -1. Propriété 1 :On a les relations suivantes :
?x?I,f-1◦f(x) =xet?x?J,f◦f-1(x) =x Exemple :On retrouve ces relations avec les fonctions exp et ln, en effet : ?x?R, lnex=xet?x?R?+,elnx=x ?Il faut faire attention aux ensembles sur lesquelles ces relations sont définies. Théorème 4 :Soit une fonctionfmonotone de I dansf(I)=J. Les fonctionsfetf-1ont même variation respectivement sur I et J. Démonstration :Dans le cas oùfest croissante sur I. Raisonnons par l"absurde. Supposons quef-1est décroissante sur J. On a alors : ?y1>y2. Cela est contradictoire doncf-1est croissante sur J. 3.2 Représentation graphique
Propriété 2 :La représentation graphique de la fonctionf-1est symétrique, par rapport à la première bissectrice (droite d"équationy=x), à la représentation de la fonctionf. PAUL MILAN8VERS LE SUPÉRIEUR
3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE
y=x Cf Cf-1 xy x y? ?M M" 3.3 Dérivabilité
Théorème 5 :Soit la fonctionfmonotone et dérivable de I dansf(I) =J et si f ?(x)?=0 sur I, alors sa fonction réciproquef-1est dérivable de J dans I et : f-1??=1 f?◦f-1 ?L"hypothèsef?(x)?=0 estimportanteenraisondudénominateurpour?f-1?? Exemple :
tion exp. Comme la fonction ln est la réciproque de la fonction exp, on a alors : ln ?(x) =1 exp?◦ln(x)=1exp◦ln(x)=1x Soit la fonction sin qui est croissante de?
-π2;π2? sur[-1 ; 1]. Elle admet une fonction réciproque, arcsin, croissante de[-1 ; 1]sur? 2;π2?
La fonction sinus est dérivable sur
2;π2?
et sin?=cos qui est stricte- ment positif de? 2;π2?
sur]-1 ; 1[. La fonction arcsin est donc dérivable sur]-1 ; 1[et : arcsin ?(x) =1 cos◦arcsin(x)?=1? 1-sin2[arcsin(x)]=1
⎷1-x2 * car cos 2x=1-sin2xet comme cosx>0, on a : cosx=?
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