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3 1 Consigne donnée aux élèves 8 des élèves et leur capacité à reproduire une figure à partir d'une amorce qui n'a ni les Cette séance était une activité portant sur les programmes de construction et le récit ( voir Écris un programme de construction valide à partir de celui que tu viens d' utiliser

savoir écrire un programme (simple) de construction Exercice 1 : Exercice Reproduire les figures suivantes puis écrire un programme de construction pour chacune d'entre elles Exercice 4 : un programme de construction pour cette figure

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Etre capable de rédiger un programme de construction en géométrie Produire un écrit de type descriptif/prescriptif et rendre compte de sa lecture Vous devez demander à votre voisin de reproduire cette figure géométrique en lui donnant élèves ont fait des figures assez complexes car la consigne de l'activité était

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fréquent dans cette matière : le programme de construction Les élèves copient la leçon notée au tableau par l'enseignant - Écrit, collectif 10 ? Écrire des étapes, l'enseignant s'assure que les consignes sont bien Construis la figure en suivant le programme de construction : dessine-la d'abord à main levée dans le

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Cette année, nous avons voulu travailler de manière approfondie le début de l' enseignement de la géométrie au de leurs productions (à l'oral comme à l'écrit) Construire une figure à partir d'un programme de construction o En règle générale, l'obstacle rencontré dans la première consigne est lié au vocabulaire La

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Rapport de stage

Magistère de Mathématiques de Rennes,1ereannée

Raisonnement en géométrie :

les programmes de construction à la transition école-collège

Stagiaire :

JulietteLegrandMaître de stage :

M. JorisMithalal

LDAR

17 Mai 2016 - 11 Juin 2016

Laboratoire de didactique André Revuz

Université Paris Diderot

Remerciements

Je remercie très chaleureusement mon maître de stage Joris Mithalal, qui a su prendre le temps de s"occuper de moi alors qu"il était déjà très occupé. Je le remercie d"avoir pris le temps de m"expliquer ce qu"était la didactique, de m"avoir fourni beaucoup de littérature sur le sujet et de m"avoir montré en quoi consistait le métier de chercheur. Je remercie les membres du laboratoire de didactique André Revuz pour leur accueil très sympathique et particulièrement Julia Pilet, Julie Horoks et Maha Abboud-Blanchard pour m"avoir prêté à tour de rôle leur bureau. 1

Sommaire

Remerciements 1

Introduction 3

1 Résumé de la partie expérimentale du stage 4

2 Aspects théoriques 4

2.1 La Didactique des Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 La géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Analysea priori8

3.1 Consigne donnée aux élèves . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Enjeu global de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 La construction à partir du texte . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Analysea posteriori12

4.1 Première question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Premier élève (E1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Deuxième élève (E2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Troisième élève (E3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Quatrième élève (E4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Cinquième élève (E5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7 Deuxième question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8 Troisième question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Conclusion 27

6 Annexes 29

6.1 Première séance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Production des élèves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
2

Introduction

Le but de ce travail de recherche est d"étudier l"apparition dans l"activité des élèves des programmes de construction à la transition école-collège. En particulier mon travail s"est porté sur la préparation du passage de la géo- métrie instrumentée à la géométrie déductive. Mon stage s"est déroulé en plusieurs étapes. Dans un premier temps j"ai effectué un travail de bibliographie afin d"avoir les connaissances nécessaires en didactique des mathématiques et de comprendre les enjeux de la recherche que j"ai menée. La lecture des ces articles m"a introduit à la didactique, do- maine que je ne connaissais pas avant de faire mon stage. Loin de comprendre tous les tenants et les aboutissants de ce domaine de recherche, j"ai à présent une idée assez claire de ce que c"est, et ce non seulement grâce aux lectures que j"ai effectuées mais aussi (et principalement) grâce à l"aide et aux conseils de Joris Mithalal qui a pris le temps de m"expliquer en quoi consistait sa re- cherche. J"ai ensuite élaboré des expérimentations que nous avons par la suite menées dans une classe de CM1/CM2 à l"École Romainville (59 rue de Ro- mainville, 75019 Paris) avec mon maitre de stage Joris Mithalal et Dimitri Schlessinger, Maître formateur. Ce travail a été effectué en adéquation avec les hypothèses que nous voulions prouver. La dernière partie de mon stage a consisté à travailler sur l"analysea prioriet l"analysea posterioride l"expérimentation menée. Dans le cadre de l"ingénierie didactique elles permettent, en les confrontant, de valider nos hypothèses. 3

1 Résumé de la partie expérimentale du stage

Durant mon stage, j"ai eu la chance de préparer et mener deux séances d"expérimentations dans une classe de CM1/CM2. La première séance consistait en une activité de restauration de figure : un modèle à reproduire est donné aux élèves, ainsi qu"une amorce qui est le point de départ de la reproduction. Trois figures ont été préparées (voir annexe 6.1), mais seule la première figure a été abordée par les élèves et peu d"élèves l"ont finie. Nous avions mal évalué les connaissances géométriques des élèves et leur capacité à reproduire une figure à partir d"une amorce qui n"a ni les mêmes dimensions, ni la même inclinaison. La tâche proposée

s"étant révélée trop difficile pour les élèves, nous n"avons pas poursuivi l"étude

de cette première séance. Pour la deuxième séance, nous nous sommes servis du fait qu"à présent les élèves avaient une bonne connaissance de la première figure (qui avait été travaillée avec l"instituteur au tableau en fin de première séance). Cette séance était une activité portant sur les programmes de construction et le récit (voir paragraphe 3.1). L"entrée est alors textuelle : nous avons proposé aux élèves un programme de construction sur le modèle de ce que peut pro- poser un élève en début de classe de CM1/CM2 (je me suis appuyée sur les textes produits par ces mêmes élèves lors d"une précédente expérimentation, effectuée en début d"année scolaire), le but étant de montrer la nécessité de la bascule d"une géométrie perceptive à une géométrie instrumentée (ce point est détaillé dans toute la suite du mémoire, puisqu"il est notre fil directeur).

2 Aspects théoriques

2.1 La Didactique des Mathématiques

Le but de ce paragraphe est de présenter ce qu"est la Didactique des Mathématiques, d"en donner une définition et de décrire ses objets d"étude. Pour cela, je me suis appuyée sur le cours de didactique de Bécu-Robinault. Pour commencer, voici une définition donnée par Douady (1984) qui donne une idée assez précise de la Didactique :"La didactique des ma- thématiques est l"étude de processus de transmission et d"acquisition des dif- férents contenus de cette science, et qui se propose de décrire et d"expliquer les phénomènes relatifs aux rapports entre son enseignement et son appren- tissage. Elle ne se réduit pas à chercher une bonne manière d"enseigner une notion fixée"(Bécu-Robinault, 2005, p. 2). La didactique des mathématiques ce n"est donc ni de la pédagogie ni produire des situations d"enseignement. Mais plutôt analyser comment on peut réorganiser et contextualiser les sa- voirs pour la classe (par exemple on n"enseigne pas l"addition en commençant 4 par l"étude du groupe(N;+)). L"hypothèse de fond est que l"on peut caractériser les savoirs par les problèmes qu"ils résolvent. Par exemple lors de son apprentissage, la mul- tiplication peut être vue comme une addition itérée ou comme un produit cartésien. Dans le premier cas on ne voit pas la commutativité de la multi- plication.

2.2 La géométrie

"La géométrie est un domaine de connaissance qui exige l"articulation cognitive de deux registres de représentation très différents : la visualisation de formes pour représenter l"espace et le langage pour en énoncer des pro- priétés et pour en déduire de nouvelles"(Duval, 2005, p. 5). Le travail que nous avons fait porte précisément sur l"articulation de ces deux registres. La difficulté de la géométrie réside dans le fait que ces deux registres sont utili- sés de manière contraire à leur fonctionnement cognitif normal. Pour illustrer cette opposition, on peut prendre l"exemple de la description d"une table : l"intuition naturelle est de décrire la forme générale de la table (la table est ronde, carrée, haute, basse,...) alors que si l"on se place dans le cadre de la géométrie, la description part du plus petit au plus grand (on décrit les pieds, puis comment les pieds sont reliés au dessus de la table, puis la forme du dessus de table,...). Le cheminement de l"apprentissage de la géométrie est le suivant : géométrie p erceptive(cycle 2) ; géométrie instrumen tée(cycle 3) ; géométrie déductiv e(à partir de la cla ssede 5e). Ici, le but est de travailler le passage de la géométrie instrumentée à la géométrie déductive. On ne s"intéresse pas à la mise en place de la démons- tration, mais à des conditions nécessaires à son émergence. Notamment, la rigueur d"expression est ici un enjeu d"apprentissage, qu"on peut travailler tôt et qui permet d"entrer dans des discours mathématiques. L"étude du passage de l"instrumenté au déductif s"appuie sur trois no- tions : L"utilisation du dessin p ourp ermettreune "déconstruction visuelle des formes perceptives élémentaires qui s"imposent au premier coup d"oeil"par l"ajout de tracés supplémentaires sur le dessin afin de dé- couvrir une"procédure de résolution"(Duval, 2005, p. 11); L"étude des ob jetsidéaux mi sen jeu : les élèv esde primaire s"appuien t sur des expériences sensibles (ils matérialisent des symétries par des pliages par exemple) alors que la géométrie déductive s"intéresse à des objets idéaux."La géométrie s"exerce ainsi sur des objets maté- riels, avant que l"institution ne demande un changement de point de 5 vue radical[:::], la géométrie s"intéresse dès lors à des objets idéaux" (Mithalal, 2010, p. 6), ce changement est désigné comme le"passage dessin-figure". Houdement et Kuzniak (2006) décrivent trois paradigmes géométriques : géométrie naturelle (ou géométrie I), géométrie axiomatique naturelle (ou géométrie II) et géométrie axiomatique (ou géométrie III). Dans le cadre du stage, avec des élèves de cycle 3, on se place en géométrie naturelle. Celle-ci"a pour source de validation la réalité, le sensible" (Houdement et Kuzniak, 2006, p. 180), ce qui la distingue très for- tement de la géométrie axiomatique où la démonstration est centrale (débute en début de classe de 5e). La source de validation de la géométrie II se fonde elle sur"les lois hypothético-déductives dans un système axiomatique aussi précis que possible"(Houdement et Kuzniak, 2006, p. 181), ce paradigme est mis en jeu dans l"enseignement secondaire. Alors que pour la géométrie III, les"axiomes ne sont plus fondés sur le sensible et la primauté du raisonnement logique l"emporte"(Houdement et Kuzniak, 2006, p. 181).
L"articulation cognitiv een trele dessin et le langage : "la visualisation de formes pour représenter l"espace et le langage pour énoncer des propriétés et pour en déduire de nouvelles"(Duval, 2005, p. 1).

2.3 Contexte

Le programme de construction permet une première mise en mots d"une description séquentielle des objets (très présent dans l"enseignement) et prend en charge le passage du dessin au texte. Une activité classique est celle des "fi- gures téléphonées" qui consiste à"faire produire des écrits destinés à rendre possible la reproduction d"une figure par un autre élève qui ne voit pas la figure décrite"(Rauscher, 2015, p. 3), cependant très souvent les élèves arrivent à reproduire la figure en devinant les informations manquantes. L"enseignant reprend alors la main en reproduisant au tableau une figure correspondant à un énoncé faux ou en donnant directement l"énoncé juste aux élèves ce qui ne les intéressent pas car pour eux ils ont rempli le contrat consistant à reproduire la figure à partir du message reçu. Dans ses travaux, Rauscher (2015) met en place une deuxième phase de travail qui consiste à faire ob-

server aux élèves les défauts et l"hétérogénéité des messages produits :"nous

les avons engagés dans une réflexion sur la qualité d"un échantillon d"écrits initiaux avant qu"ils ne rédigent un nouveau texte"(Rauscher, 2015, p. 3). C"est sur ce modèle que nous avons mené l"expérimentation (voir 3.1). Le travail sur le texte permet d"identifier les points qui posent problème, de mettre en valeur des connaissances mathématiques qui ne sont pas expli- 6 cites et d"être confronté à des tournures problématiques. On parle alors de récit réticent, Tauveron (1999, p. 18) en donne la définition suivante : récit qui"prend sa source dans l"ensemble des moyens qui sont utilisés, en rupture délibérée avec les lois élémentaires de la communication naturelle, pour ne pas rendre la saisie du message immédiate et laisser ainsi une part de travail au lecteur". Le récit réticent favorise le libre parcours du lecteur, l"oblige au déchiffrage. Cette première question a donc dans le cas de notre expérimen- tation un double objectif. Le principal objectif étant de montrer à l"élève où sont les points de blocages, sans ce travail il n"aurait pas su repérer directe- ment dans le texte les passages à problèmes. Le second objectif est de forcer la lecture d"un récit réticent et ainsi le familiariser au langage mathématique. L"expérimentation que j"ai effectuée pendant mon stage avec Joris Mi- thalal est la suite d"une expérimentation déjà en cours menée par Marianne

Moulin et Joris Mithalal.

Organisation de l"atelier mené en début d"année : Mise en situation : Réécrit urede programmes de construction ; Appro chedes programm esde construction par le r écit; Mise en situation : Analyse de p roductionsd"élèv eset discussion. Au cycle 3, les élèves ont peu de repères sur le langage mathématique. L"entrée pertinente par le texte amène alors à la construction d"auteur et lecteur modèle décrite par Eco (1979) et reprise dans les travaux de Moulin et al.(2013) : le texte est une"machine paresseuse qui exige du lecteur un travail coopératif acharné pour remplir les espaces de non-dit ou de déjà-dit restés en blanc"Eco (1979, p. 29) et c"est ce lecteur modèle qui est capable de remplir ces blancs au meilleur de sa connaissance. Bien que l"on entre par les textes dans l"expérimentation, on a tout de même besoin du dessin. Comme dit dans l"analysea priori(paragraphe 3.4), l"étude du texte seul est trop difficile pour travailler sur les programmes : en construisant la figure, les élèves prennent connaissance des problèmes pré- sents dans les programmes de construction. Enfin certains aspects sont hors de portée pour l"élève (par exemple la structure du texte spécifique aux mathématiques), d"où l"intérêt de proposer des textes où on contrôle les problèmes. Par exemple, dans le programme de construction donné aux élèves, on impose les problèmes suivant : la description par de sformes d"une figure géométrique : un rectangle avec une pointe en haut et en bas; les connaissances à mobiliser : trace un carré; le caractère plu so umoins op érationneldes instructions : relie les milieux consécutifs deux à deux; ainsi que le nom donné aux ob jets. 7

3 Analysea priori

L"analysea prioriessaie d"associer à des connaissances (valides ou non) des stratégies de résolution, ce qui permet une base solide pour interpréter les observations dans l"analysea posteriori. C"est un élément essentiel de la méthode de l"ingénierie didactique.

3.1 Consigne donnée aux élèves

Tout d"abord, trace un carré de côté 8cm. Trace ensuite les milieux de chaque côté. Relie les milieux consécutifs deux à deux. Puis trace les milieux des quatre nouveaux segments que tu viens de tracer. Enfin relie-les de façon à obtenir un rectangle avec une pointe en haut et en bas. 1. Dans un premier temps, réalise le dessin dé critpar les instructions. Il faut respecter toutes les instructions mais faire tout ton possible pour que le dessin soit différent du modèle de la semaine dernière. 2. Ensuite, indique sur le texte les passages qui te sem blentp oserpro- blème. 3. Écris un p rogrammede constructio nv alideà partir de c eluique tu viens d"utiliser. L"exercice s"effectue en trois parties. Dans un premier temps, l"élève doit tracer la figure décrite par le programme de construction. Ensuite, il doit indiquer dans le texte les points qui lui semblent poser problème et enfin réécrire le programme de construction valide.

3.2 Enjeu global de la situation

L"enjeu du travail sur le texte est de permettre à l"élève d"identifier les points qui posent problèmes, soit parce les connaissances mathématiques liées à l"instruction ne sont pas explicitées (par exemple sur le tracé du carré), soit parce que la formulation pose problème (voir le problème de syntaxe dans le paragraphe 3.4.3). L"enjeu de la première question est alors de mettre en fonctionnement un programme sur lequel l"élève manque de recul. Par exemple un élève de CM2 n"aura aucun problème à tracer un carré sans programme de construction puisqu"il a les connaissances suffisantes et il peut aisément anticiper la construction. Cependant pour des instruction tout aussi peu précises mais sur des objets qu"il connait moins bien, sur lesquels il n"a pas de repère, l"élève ne pourra pas faire ce travail d"anticipation (voir le paragraphe 3.4.2). Un des enjeux est aussi d"interroger l"élève sur les modalités de descrip- tion des figures géométriques. Laborde et Capponi (1994, p. 169) montrent 8 qu"un "dessin renvoie aux objets théoriques de la géométrie dans la mesure où celui qui le lit décide de le faire". L"exemple qu"ils prennent est celui du dessin d"une surface de Schwarz qui peut être vu effectivement comme une surface de Schwarz ou être vu comme une lanterne chinoise. Selon le contexte où on se place et les connaissances mathématiques du lecteur, diffé- rentes interprétations d"un même dessin sont possibles. Le travail demandé aux élèves a alors comme objectif de leur montrer la nécessité de se placer dans un cadre mathématique pour décrire des figures géométriques et donc d"utiliser un vocabulaire spécifique (Duval, 2005, p. 30). D"un point de vue plus global, l"enjeu de la situation est de montrer aux élèves les contraintes pesant sur un programme.

3.3 Hypothèses

Les hypothèses de cette activité sont :

le passage par le dessin p ermetde mettre en évidence les problèmes du texte (première question); souligner ces problèmes p ermetleur form ulationet donc l"iden tifica- tion des problèmes ainsi que des contraintes (deuxième question); la mise en fonctionnemen tdes connaissances en traineune c aracté- risation des contraintes, des manières efficaces de parler (troisième question ainsi que mise en commun).

3.4 La construction à partir du texte

L"enjeu principal de cette question de traduction d"un texte probléma-

tique en dessin vise à montrer à l"élève là où il bloque. Sans ce travail préli-

minaire, les élèves n"auraient pas su voir directement sur le texte les passages problématiques. Nous détaillons ici les différents éléments potentiellement délicats dans le texte.

3.4.1 Tracé du carré

Lors du tracé du carré, deux déterminants interviennent. Premièrement celui de l"appréhension du dessin : l"élève, avec une ap- proche "botaniste"

1, va avoir tendance à orienter le carré "droit" sans trop1. Duval (2005, p. 9) classifie les manières de voir dans les activités géométriques. Le

"botaniste" sait"reconnaitre des formes à partir de qualités visuelles d"un contour"et

pour lui il n"y a"pas de liens entre les différentes propriétés [et donc] pas de définition

mathématique possible". Ensuite, l""arpenteur géomètre" est capable de"mesurer les bords

d"une surface"et pour lui"les propriétés [géométriques] sont des critères de choix pour les

mesures à faire, elles ne sont utiles que si elles renvoient à une formule permettant un cal-

cul". Ces deux premières entrées dans la géométrie sont liées à une visualisation iconique,

9 se poser de question. Pour Duval (2005, p. 15), cela renvoie à une vision iconique du dessin :"les formes apparaissent comme étant stable". Si l"on prend un carré avec un des sommets vers le bas les élèves verront un losange et non un carré. L"élève se rattache alors au profil de l"objet réel et non à ses propriétés géométriques. Le deuxième point est celui des connaissances mathématiques. Pour que l"élève trace des perpendiculaires et mesure bien 8 cm il lui faut connaitre les procédures instrumentées s"y référant. Sans ces connaissances mathéma- tiques, il peut tout aussi bien tracer une perpendiculaire à l"oeil (ça a une tête d"angle droit) ou encore en glissant son équerre par rapport au dessin modèle (cette action a ici été empêchée par l"inclinaison de l"amorce [AB]). Il lui faut aussi connaitre le programme de construction du carré, cela renvoie à la fois à une connaissance sur les formes géométriques et une connaissance sur la procédure instrumentée comme on vient de le voir.

3.4.2 Tracer les milieux

Du point de vue des connaissances mathématiques, les problèmes de me- sure pour placer le milieu des segments renvoient à une connaissance de procédure instrumentée avec l"utilisation de la règle, mais aussi une connais- sance sur les nombres par la division que doit effectuer l"élève (ici c"est un choix délibéré d"avoir pris 8 cm afin qu"il n"y ait pas de problème de divi- sion mais on verra par la suite qu"il peut y en avoir avec des nombres moins "sympathiques"). L"énoncé compact oblige à effectuer un travail de déconstruction séquen- tielle : pour rendre l"énoncé opérationnel, l"élève doit transformer une seule instruction en une suite d"instructions ou d"actions. Cette décomposition est nécessaire car contrairement à la première instruction"trace un carré" l"élève n"a pas de repère, l"instruction n"est pas adaptée à ses connaissances. Il doit donc de lui-même décomposer en différentes étapes la construction pour convertir un texte très synthétique en une suite d"instructions réalisables par l"élève (comme il a l"habitude de les voir dans un énoncé de géométrie "valide").

3.4.3 Relier les milieux consécutifs deux à deux

Deux termes dans cette phrase sont durs à rendre opérationnels par les élèves et appellent une réécriture de leur part et donc à un travail de conver- sion texte-dessin. D"une part, "consécutif" pose deux types problèmes :

un problème de v ocabulaire,sur le sens du mot ;c"est-à-dire que l"élève se rattache au profil d"un objet réel, que la"figure reste un objet

indépendant des opérations que l"on effectue sur elle"(Duval, 2005, p. 14). Duval propose ensuite deux autres entrées, liées à la visualisation non-iconique

1, celle du "constructeur"

et celle de "l"inventeur-bricoleur" 2 10 -un problème d"o pérationnalisationde la form ulation,c"est-à-dire réu s- sir à décomposer en plusieurs étapes l"instruction pour la rendre opé- rationnelle, réalisable. Et d"autre part, "deux à deux" pose un problème d"interprétation (Com- bien de segment doit-on tracer en tout?).

3.4.4 Milieux des 4 nouveaux segments

Il est de nouveau question de tracer des milieux de segments (comme en 3.4.2), sauf qu"ici l"élève va utiliser comme procédure une division plus élaborée puisque les côtés n"ont plus des mesures entières. De plus, si la procédure d"opérationnalisation n"a pas été effectuée cor- rectement lors de l"étape 3.4.3 (à cause d"une mauvaise interprétation des termes), l"élève peut être bloqué lors de sa confrontation avec le nombre de segments qu"il a effectivement tracé et celui donné par l"énoncé.

3.4.5 Un rectangle avec une pointe en haut et en bas

Tout d"abord l"utilisation d"un vocabulaire non spécifique aux mathé- matiques (haut/bas) permet d"interroger la possibilité ou non d"utiliser le langage de tous les jours pour décrire une figure géométrique. Ici on voit que si l"on tourne sa feuille, on n"aura plus la même définition de "haut" et de "bas" qu"avant. L"accent est alors mis sur la différence entre la description du réel et la description mathématique. Ensuite le fait de décrire le dessin par des formes avec lerectangle avec une pointea pour but d"interroger sur la possibilité (ou non) de décrire strictement par des formes une figure géométrique. Cela permet alors de montrer que pour un même énoncé, plusieurs représentations sont possibles, d"autant plus si l"on reste dans une description "naïve" du dessin. Cet énoncé volontairement vague permet de rendre nécessaire pour l"élève le caractère rigoureux du langage en géométrie. C"est par la diversité des formes obtenues que l"on voit qu"un même énoncé peut conduire à une mul- titude de figures différentes. Pour être compris de tous, il faut donc utiliser un vocabulaire technique mais aussi savoir le mettre en relation. Duval (2005, p. 33) parle"d"articulation cognitive entre le registre de la visualisation et celui du langage". 11

4 Analysea posteriori

4.1 Première question

Dans cette première question, les élèves devaient réaliser le dessin dé- crit par les instructions (pour rappel voir 3.1). Les élèves travaillaient seuls et devaient suivre autant que possible le programme donné. Pour rappel, les élèves avaient travaillé sur la figure demandée la semaine précédente, ils avaient donc une idée de la figure à obtenir à la fin et celle-ci était affichée au tableau durant l"exercice. On peut d"ores et déjà remarquer que le tracé du carré n"a posé de pro- blème majeur pour aucun élève. Comme vu lors de l"analysea priori(paragraphe 3.4.1) les élèves tracent le carré "droit" car c"est la manière courante de voir un carré, celle que l"on apprend dans l"enseignement. De plus, les procédures instrumentées mises en jeu lors de la construction d"un carré sont maitrisées (mesure de 8 cm et tracé des perpendiculaires) pour la quasi-totalité de la classe.

4.2 Premier élève (E1)

Production de E1 :Voir annexe pour le programme de construction rédigé par E1. Pour ce premier élève, le tracé du carré et le tracé des milieux n"a pas posé de problème ce qui traduit une maitrise des connaissances mathématiques mises en jeu. Ensuite E1 a bien relié les côtés consécutifs deux à deux et la compa- cité de l"énoncé (comme vu en 3.4.3) n"a pas posé de problème : l"élève a su 12 rendre opérationnel l"énoncé. Pour tracer les milieux des quatre nouveaux segments, le fait que la mesure ne soit pas entière n"a pas posé de problème majeur (précision à

0:2cm). A ce stade, E1 a su appliquer correctement ses connaissances sur

la division avec des nombres non-entier et sur les procédures instrumentées (règle graduée). Lors de la dernière instruction, E1 a été confronté à un problème de stratégie en reliant les milieux opposés entre eux. Ce problème est révélé par le milieu lorsque E1 s"aperçoit qu"il ne peut pas obtenir de rectangle. On voit que l"élève a tracé en trait légers le résultat qu"il aurait du obtenir. Sur son dessin, l"élève indique"j"ai relié mais pas consécutivement", on peut supposer que cela désigne le "consécutif" manquant pour former le carré à l"intérieur. E1 souligne donc le problème que pose l"instruction, et montre que si l"on applique mot à mot le programme de construction donné, c"est- à-dire sans chercher à relier les consignes entre elles, on se retrouve bloqué.

Passages relevés par E1 sur le texte :

L"élève a encadré "8 cm" dans la première instruction et a indiqué : "pas besoin de la mesure". Il a aussi encadré "relie-les" dans l"instruction"Enfin relie-les de façon a obtenir un rectangle[:::]"

Production de l"élève :

1. tr aceun c arré. 2. p ointele milieu de chaque c ôté. 3. nomme les milieu A, B, C et D. 4. lie les p ointsc onsécutifs. 5. p oienteles milieus de ABCD. 6. r elieles milieus c onsécutifsen un c arré. 7. sur le c arréde dép artchoisi 2 c ôtésp aralèles. 8. fait ensorte qu"il y ai un esp aceentr ele pr emierc arréet le tr oisième au niveau des 2 côtés que tu as choisi Tout d"abord l"élève a séparé le programme en plusieurs étapes numé- rotées, cela lui permet de donner des instructions courtes et claires, et de marquer la temporalité de la construction : chaque numéro correspond à une action précise et les actions se suivent dans le temps. Ensuite, l"élève a utilisé le mot "pointe" plutôt que "trace" pour pla-quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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