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Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane?

11 septembre2013

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Restitution organiséede connaissances

PartieB

1. Affirmation1:Δest orthogonale à toute droite du plan P.Δa pour vecteur directeurδ(1 ; 3 ;-2)

La droite (AB) a pour vecteur directeur--→AB(4 ;-2 ;-1). La droite (AC) a pour vecteur directeur--→AC(-1 ;-1 ;-2). Orδ·--→AB=4-6+2=0 etδ·--→AC=-1-3+4=0.

DoncΔest orthogonale à deux droites (AB)et (AC)sécantes du plan P: elle est orthogonale àce plan.

VRAIE.

2. Affirmation2: les droitesΔet (AB) sont coplanaires.

On a vu queΔet (AB) étaient orthogonales, donc elles ne sont pas parallèles. Si elles sont coplanaires elles sont donc sécantes en un point.

En traduisant l"égalité vectorielle--→AM=t?--→AB, on obtient une équation cartésienne de la droite (AB) :???x=4t?

y= -2t?-1 z= -t?+1avect?appartenant àR. S"il existe un point commun aux deux droites ses coordonnéesvérifient le système :???t=4t?

3t-1= -2t?-1

-2t+8= -t?+1?????t=4t?

12t?= -2t?

-8t?= -t?-7système qui n"a manifestement pas de solu- tion.FAUSSE

3. Affirmation3: Le plan P a pour équation cartésiennex+3y-2z+5=0.

On a4+3×(-3)-2×0+5=0?? -5=0, qui signifie que les coordonnées deB ne vérifient pas cette

équation de plan.FAUSSE

4.On appelle D la droite passant par l"origine et de vecteur directeur-→u(11 ;-1 ; 4).

Affirmation4: La droite D est strictement parallèle au plan d"équationx+3y-2z+5=0. On"appartientpasauplan:siladroiteDestparallèleauplan,elleestorthogonaleauvecteur-→n(1; 3;-2) normal au plan.

Or-→u·-→n=11-3-8=0. Les vecteurs sont bien orthogonaux, la droite D est strictement parallèle au

plan d"équationx+3y-2z+5=0.VRAIE

EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

PartieA : Étude du cask=1

1(x)=xe-x.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Comme limx→-∞e-x=+∞, on a limx→-∞f1(x)=-∞.

1(x)=x

ex. On sait que limx→+∞e xx=+∞donc limx→+∞f1(x)=0. Donc l"axe des abscisses est asymptote horizontale àC1en+∞.

2.f1produit de fonctions dérivables surRest dérivable surR:

f ?1(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).

Comme e

-x>0 surR, le signe def?1(x) est celui de 1-x. Doncf?1(x)>0 six<1 etf?1(x)<0 six>1. D"où le tableau de variations : x-∞1+∞ f ?1(x)+0- f(x)e -1 0

3.g1(x)=-(x+1)e-x

1étant dérivable, on a pour tout réel,

g Doncg1est bien une primitive de la fonctionf1surR.

4.Comme pour tout réelx, ex>0,f1(x)=0??x=0.

Le tableau de variations ci-dessus montre donc quef1(x)<0 sur ]-∞;0[ etf1(x)>0 sur ]0 ;+∞[.

5.Comme la fonction est positive sur ]0 ;+∞[, elle l"est aussi sur ]0 ; ln10], donc l"aire cherchée est en

unités d"aire égale à l"intégrale : ln10 0

Comme e

-ln10=1 eln10=110, l"aire est égale à :

1-1+ln10

10=910-ln1010≈0,67 u. a.

PartieB : Propriétésgraphiques

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbesC2,CaetCboùaetbsont des réels strictement

positifs fixés et T la tangente àCbau point O origine du repère.

0,20,40,6

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-0,2

T Ca Cb C2 1 e

Antilles-Guyane211 septembre 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.De façon évidentefk(0)=k×0×e0=0, donc les courbesCkpassent par l"origine.

2. a.Produit de fonctions dérivables surR, la fonctionfkl"est aussi et :

f k(x)=ke-kx-k×kxe-kx=ke-kx(1-kx). b.kstrictement positif, et e-kx>0, pour tout réelx, donc le signe de la dérivéef? k(x) est celui de 1-kx.

Or 1-kx<0??1

k0??1k>x; 1-kx=0??1k=x.

Il en résulte que la fonctionfkest :

croissante sur? -∞;1 k? , et décroissante sur?1k;+∞? elle admet donc un maximum en 1 k: f k?1 k? =k×1k×e-k×1 k=1e-1=1e≈0,368. Conclusion : toutes les fonctions ont le même maximum e -1pourx=1 k. c.Le maximum pourk=2 est obtenu pourx=1

2=0,5, donc le maximum pourfaest obtenue pour

une valeur 1 ainférieure à 0,5 donca>2.

Note : enfait on peutpenser que l"abscissedu minimum estàpeu prèségale à0,1, ce qui correspond

à a=10.

d.Une équation de cette tangente est : y=f? k(0)(x-0)+fk(0)??y=k(1-0)e0x+0??y=kx. e.Le coefficient directeur de la droite (T) est égal à0,6

0,2=3.

Donc la courbeCbcorrespond à la valeurb=3.

EXERCICE34 points

Commun à tous lescandidats

3. a.Les deux évènementsDetLétant indépendants on a :

P (D∩L)=P(D)×P(L)≈0,981.

La probabilité qu"une pièce ne soit pas acceptée est donc 1-0,981≈0,02 arrondi à 10-2.

b.DetLsont indépendants doncDet

Lle sont aussi d"après le cours.

On a donc :P

L(D)=P(D)=p2.

EXERCICE45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

PartieA: modélisation et simulation

1.(-1 ; 1) : non carx<0 ce qui n"est pas possible;

(10; 0) : oui par exemple en choisissant 10 fois la valeur 0 poury; (2; 4) : non cary>2;

(10; 2) : oui par exemple en choisissant dans cet ordre8 fois la valeur 0 puis deux fois la valeur 1 pour

Antilles-Guyane311 septembre 2013

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Pour que Tom ait réussi la traversée, il faut qu"il soit arrivé au bout des 10 étapes, c"est-à-dire que

x=10 et qu"il ne tombe pas lors de cette dernière étape, ce qui est encore possible si sa position à

l"étape précédente était (9;1)ou(9;-1); il faut donc tester également siyn"est pas plus grand que 1 ou plus petit que-1 en fin d"algorithme.

On remplace dans l"algorithme la ligne :

Afficher "la position de Tom est»?x;y?

par :

Six=10 ety?-1 ety?1

alors Afficher "Tom a réussi la traversée» sinon Afficher "Tom est tombé»

Fin du si

PartieB

Pour toutnentier naturel compris entre 0 et 10, on note : A nl"évènement "aprèsndéplacements, Tom se trouve sur un point d"ordonnée-1». B nl"évènement "aprèsndéplacements, Tom se trouve sur un point d"ordonnée 0». C nl"évènement "aprèsndéplacements, Tom se trouve sur un point d"ordonnée 1». On notean,bn,cnles probabilités respectives des évènementsAn,Bn,Cn.

1.Au départ, Tom se trouve à l"origine O donc son ordonnée est 0;donc l"évènementB0est réalisé :

0=0,b0=1 etc0=0.

2.On va représenter sur un arbre pondéré le passage de l"étatnà l"étatn+1; une branche vers le haut

signifie que le nombre choisi au hasard est-1, une branche du milieu signifie que le nombre est 0 et une branche vers le bas signifie que ce nombre vaut 1. Il est dit dans le texte queSreprésente l"évènement "Tom traverse le pont» donc

Sdésigne l"évène-

ment "Tom est tombé à l"eau». A n anquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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Durée : 4 heures

11 septembre2013

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Restitution organiséede connaissances

PartieB

1. Affirmation1:Δest orthogonale à toute droite du plan P.Δa pour vecteur directeurδ(1 ; 3 ;-2)

VRAIE.

2. Affirmation2: les droitesΔet (AB) sont coplanaires.

3t-1= -2t?-1

12t?= -2t?

3. Affirmation3: Le plan P a pour équation cartésiennex+3y-2z+5=0.

équation de plan.FAUSSE

4.On appelle D la droite passant par l"origine et de vecteur directeur-→u(11 ;-1 ; 4).

EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

PartieA : Étude du cask=1

1(x)=xe-x.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Comme limx→-∞e-x=+∞, on a limx→-∞f1(x)=-∞.

1(x)=x

2.f1produit de fonctions dérivables surRest dérivable surR:

Comme e

3.g1(x)=-(x+1)e-x

1étant dérivable, on a pour tout réel,

4.Comme pour tout réelx, ex>0,f1(x)=0??x=0.

5.Comme la fonction est positive sur ]0 ;+∞[, elle l"est aussi sur ]0 ; ln10], donc l"aire cherchée est en

Comme e

1-1+ln10

10=910-ln1010≈0,67 u. a.

PartieB : Propriétésgraphiques

0,20,40,6

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2-0,2

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Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.De façon évidentefk(0)=k×0×e0=0, donc les courbesCkpassent par l"origine.

2. a.Produit de fonctions dérivables surR, la fonctionfkl"est aussi et :

Or 1-kx<0??1

Il en résulte que la fonctionfkest :

2=0,5, donc le maximum pourfaest obtenue pour

à a=10.

0,2=3.

Donc la courbeCbcorrespond à la valeurb=3.

EXERCICE34 points

Commun à tous lescandidats

3. a.Les deux évènementsDetLétant indépendants on a :

Lle sont aussi d"après le cours.

On a donc :P

L(D)=P(D)=p2.

EXERCICE45 points

PartieA: modélisation et simulation

1.(-1 ; 1) : non carx<0 ce qui n"est pas possible;

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Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.Pour que Tom ait réussi la traversée, il faut qu"il soit arrivé au bout des 10 étapes, c"est-à-dire que

On remplace dans l"algorithme la ligne :

Afficher "la position de Tom est»?x;y?

Six=10 ety?-1 ety?1

Fin du si

PartieB

1.Au départ, Tom se trouve à l"origine O donc son ordonnée est 0;donc l"évènementB0est réalisé :

0=0,b0=1 etc0=0.

2.On va représenter sur un arbre pondéré le passage de l"étatnà l"étatn+1; une branche vers le haut

Sdésigne l"évène-